汕头一中期中数学试题(理)

2008届广东省汕头市一中高三期中考试数学试题（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求的。

1．设集合}3,2{},2,1{==N M ，集合P （M ∪N ），则P 的个数是 ( )
A ．6
B ．8
C ．7
D ．5
2．已知函数)2008(,4)2008
1
(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为 ( )
A ．－4
B ．2
C ．0
D ．－2
3．等差数列==--=1815183,18,6,}{S S S S S n a n n 则若项和为的前 ( )
A ．36
B ．18
C ．72
D ．9
4．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期。

若将方程)(x f =0
在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5
5．已知等比数列8050202991,01610,,0,}{a a a x x a a a a n n 则的两根为方程中=+->的值为 ( )
A ．32
B ．64
C ．128
D ．256
6．曲线y y x x y 在和直线2
1
)4
cos()4
sin(2=
-
+
=π
π
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3，…，则|P 2P 4|等于 ( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
7．若
ααπ
ααsin cos ,2
2
)
4
sin(2cos +-=-
则的值为 ( )
A ．2
7-
B ．2
1-
C ．
2
1 D ．
2
7 8．定义域为R 的函数0)()(,2,
12
|,2|lg )(2=++⎩⎨
⎧=≠-=c x bf x f x x x x x f 的方程若关于恰有5个不
同的实数解)(,,,,,5422154321x x x x x f x x x x x ++++则等于 ( )
A ．0
B ．221g
C ．231g
D ． 1
9．已知n n S n a a a 项和且它的前若
为等差数列,1,}{10
11
-<有最大值，
那么当S n 取得最小正值时，n = ( )
A ．11
B ．20
C ．19
D ．21
10．定义在R 上的函数)(2
1
)5(,1)1()(,0)0()(x f x f x f x f f x f ==-+=满足,且当
1021≤<≤x x 且当 时，=≤)2008
1
(
),()(21f x f x f 则 ( )
A ．
2
1
B ．
16
1 C ．32
1
D ．
64
1 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡的相应位置上。

11．数列n a a b n n a a n n n n n 的前中1
1
,321,}{+=++++= 项和为 。

12．若βαβαβαtan tan ,5
3
)cos(,51)cos(⋅=-=
+则= 。

13．函数)1,()32(log 2
2
1-∞+-=在mx x y 上为增函数，则实数m 的取值范围是 。

14．设p q x x q a x p 是若,01
21
:,|12:|>-->+的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 。

15．给出下列命题：
①若812484,,,,}{S S S S S n S a n n --则项和是前成等比数列成等比数列；
②已知函数2),0()sin(2=<<+=y x y 其图象与直线为偶函数πθθω的交点的横坐标为2
,2,||.,2121π
θωπ的值为的值为则的最小值为若x x x x -；
③函数a x x f y ==的图象与直线)(至多有一个交点； ④函数).0,12
()62sin(2π
π
的图象的一个对称点是-
=x y
其中正确命题的序号是 。

（把你认为正确命题的序号都填上）。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知函数).,(2cos )6
2sin()6
2sin()(为常数a R a a x x x x f ∈++-
++
=π
π
（I ）求函数的最小正周期； （II ）求函数的单调递减区间；
（III ）若.,2)(,]2
,0[的值求的最小值为时a x f x -∈π
17．（本小题满分12分）
已知.42
4)2()(,b
a a x f x f R
b R a x x +-+⋅=∈∈为奇函数，且
（I ）求)()(1
x f x f -的反函数及其定义域；
（II ）设)()(],3
2
,21[,1log )(12
x g x f x k x x g ≤∈+=-若恒成立，求实数k 的取值范围.
阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券……
（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，
以此类推）。

（I ）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？ （II ）在一般情况下，顾客有a 元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品
按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠？
19．（本小题满分12分）
已知数列.5),2(122}{11=≥-+=-a n a a a n n n n 且满足
（I ）若存在一个实数λλ
λ请求出为等差数列使得数列
,}2{,n
n a +的值 （II ）在（I ）的条件下，求出数列.n n S n a 项和的前
设a x t
x x g x tx x x f 且,3
2)(,ln 321)(22-+=+-=
、b 为函数)0()(b a x f <<的极值点 （I ）判断函数),()(a b x g --在区间上的单调性，并证明你的结论；
（II ）若曲线1)(=x x g 在处的切线斜率为－4，且方程)0(0)(≤=-x m x g 有两个不等的实
根，求实数m 的取值范围。

21．（本小题满分14分）
已知定义在R 上的函数)(x f ，满足条件：①2)()(=-+x f x f ；②对非零实数x ，都
有.31
2)1
()(2++
=+x
x x f x f （I ）求函数)(x f 的解析式； （II ）设函数)(2),0(2)()(2x g y x n y x x x f x g =-=≥-=
分别与函数直线，
n A x g y 交于)(1-=、}{|,|);(,*n n n n n n a S B A a N n B 为数列设其中两点=∈的前n 项
和，求证：当).32(
2,23
22
n
S S S S n n n +++>≥
参考答案
CCADB ACCCC 11．
22+n n 12．2
1
13．21≤≤m 14．)0,(-∞ 15．③④ 16．（I ）a x a x x a x x x f ++=++=++=)6
2sin(22cos 2sin 32cos 6
cos
2sin 2)(π
π
ππ
==∴2
2)(T x f 的最小正周期
………………4分
（2）当
)(,)(3
262326222x f Z k k x k k x k 函数时即∈+≤≤++
≤+
≤+
π
ππππππ
ππ单调递减，故所
求区间为)](32,6[Z k k k ∈++π
πππ ………………8分
（3）2]67,
6[62,]2,0[π
ππππ=∴∈+∈x x x 时时 .1.2)6
2
2s i n (2)(-=∴-=++
⋅∴a a x f π
π
取得最小值
………………12分
17．解：（I ）由.22
2)(424)2(b
a a x f
b a a x f x
x x x +-+⋅=+-+⋅=，得 .11l o g )(,1
212)(1)1()1(.1,012
2)0(,)(2
1x x
x f x f b f f a b
a f R x f x x
-+=+-=∴=∴=-==+-=
∴-得又得上的奇函数是 由此得.11,0112<<-∴>-+=
y y
y
x
故反函数)(1
x f
-的定义域为（－1，1）
………………6分
（II ）当,)()(,]3
2,21[1
恒成立时x g x f
x ≤∈-
2
222
22
1)(,1,0,01,01],32,21[,01)1(11,1log 11log x x h x k k x x x k x k
x x x k x x x -=-≤∴>>->+∴∈>++≤-++≤-+∴令且由即
则.3
50,95,95)32
()(2min ≤<≤∴=
=k k h x h 故 ………………12分
18．解：（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次
尽可能使用100元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获得最多货物，
第一次使用7000元，可得奖励券
2100301007000
=⨯ 第二次使用2100元，可得奖励券
630301002100
=⨯ 第三次使用600元，可得奖励券18030100
600
=⨯（此时剩下奖励券30元） 第四次使用200元，可得奖励券60元（此时剩下奖励券10元） 最后一次使用70元，没有奖励券
故共可购回7000+2100+600+200+70=9970（元）货物 ………………6分
（2）设阳光商场用a 元钱最多能购回m 元钱的货物， 则由（1）小题知：7
.03.011)3.03.01(2
a
a a m =-⋅=+++<
新世纪百货用a 元钱能购回7
.0a
元钱的货物，故新世纪的优惠比重百更多。

………………12分
19．解：（1）假设存在实数n a a n n n n 必为与则
符合题意1
122,--+-+λ
λλ无关的常数。

.
1,021,22,211212222211111-==++-++-=--=--=+-+-----λλ
λλλ
λλλλ得则无关的常数是与要使n n n n n n
n n n n n n n n n n a a a a a a 故存在实数}2{.1n
n a λ
λ+-=使得数列
为等差数列. ………………6分
（II ）由（I ）可得
.224
21,1,12
12111
1==-=∴=-----a d a a n n n n 且首项为 ,
2)1()(12)1(,1)1(22
1n n n n
n n
n T n n b n n a n n a 项和为且其前令+=∈++=∴+=-+=-∴
+N n
n n T 2)1(2423223
2
+++⨯+⨯+⨯=∴ ①
1322)1(223222+++⨯++⨯+⨯=n n n n n T ②
①－②得11
3
2
2)1()22(22
)1(2224+++-+++=+-++++=-n n n n
n n n T
11122)1(2+++⋅-=+-=n n n n n
.2,211n n S n T n n n n +⋅=∴⋅=∴++
………………12分
20．解：（I ）依题设方程0303
3)(22=+-=+-=
+-='tx x x
tx x x t x x f 即方程的两根分别为a 、⎩⎨
⎧=+=∴ab
b
a t
b 3
上单调递增
在区间时且当由上知),3(),3,()(0)(3),(,0330)3()
3()
)((2)3())((2)3()3(2)(2
2222222a b x g x g x a b x a b b a x x b x a x x ab x b a x x tx x x g ----∴>'-≠--∈∴<-<-<-∴<<
<±≠-++-=-+++-=-++='∴
（注：写成g (x )在区间（a b --,）上单调递增不扣分） ………………6分
（II ）由2
22)
3()
3)(1(2)(342)(4,44)4(2)(-++-='∴-+=∴=-=+-
='x x x x g x x x g t t x g 得， )(),(,)0,(130)(x g x g x x x g '-∞--=='上变化时在当或时的变化情况如下：
有两个不等根时
方程的大致图象如右图)0(0)()
0()(≤=-∴≤∴x m x g x x g
)0,31(1,34-⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡--
∈ m ………………13分
21．解：（I ）当312)1
()(2,0++=+≠x
x x
f x f x 时 故32
)()1
(2++=
+x x
x f x f 两式联立可得， .1)(;1)0(,0),0(1)(+=∴==≠+=x x f f x x x x f 有时又当 ………………4分 （II ）由（I ）可得12)1()(22+=-+=
x x x x g ，
联立⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎩⎪⎨⎧-=+=n n n n B n n n n A x
n y x y n n 2212,2212,2212,221221
22222由此得得交点，
所以n n n n n n n n n B A a n n n 1
2212221222122212||2
22222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--==
………………8分
]
)1(1
321211[1)13121(1)
13121(1)32(2:2
12,)1(112,12,2,121222222322
222
1222
122212
2
1222211-++⨯+⨯->+++-+++-++++=-=----=--=-≥∴+-=∴=-
------n n n
n n S S S S n S S S n n S S S n n S S S n n n S S S S n S n n n n n n n n n n n n n 又累加得时当
01
)1113121211(1>=--++-+-
-=n
n n )32(23
22
n
S S S S n n +++>∴ ………………14分。