2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点22 立体几何的综合问题 文

考点22 立体几何的综合问题
【考点剖析】
1.最新考试说明：
（1）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
（2）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 .
2.命题方向预测：
纵观近五年的高考命题，文科立体几何高考命题的热点主要有四个．一是以考查点、线、面的位置关系为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；二是以考查三视图与面积体积计算为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；三是以考查平行、垂直关系为主的中档题，其基本题型为解答（证明）题，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力；四是以考查平行、垂直关系及面积或体积计算为主的中档题，“证算并重”考查逻辑推理能力、空间想象能力以及运算求解能力．关于垂直关系的证明多于平行关系的证明，体积计算的考查多于面积计算的考查，较少涉及角或距离的计算.
3.考点交汇展示：
(1)立体几何与最值交汇
【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】在长方体中，，，
，点在平面内运动，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
（2）立体几何与基本不等式交汇
【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】已知多面体的每个顶点都在球的表面上，四边形
为正方形，，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点分类】
热点1 立体几何与球有关的最值问题
1.【2018届河南省八市重点高中高三9月测评】三棱锥A BCD
-的一条长为a，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD
-的体积最大时，它的外接球的表面积为( )
A. 5
3
π
B.
5
4
π
C.
5
6
π
D.
5
8
π
【答案】A
【解析】不妨设a
BC=
底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，
由于四面体的一条棱长为a ，其余棱长均为1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径
22
2125113312R π⎫⎫=⨯+⨯=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
； 经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S=254π3
R π
=； 故选A ．
2.【2018届河南省洛阳市高三期中】已知菱形ABCD 边长为2， 060A =，将ABD ∆沿对角线BD 翻折形成四面体ABCD ，当四面体ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．
【答案】
203
π
【方法规律】
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2
＝a 2
＋b 2
＋c 2
求解． （3）立体几何中的最值问题，往往要考虑点线面位置的“极端情况”. 【解题技巧】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
热点2 空间平行、垂直关系与几何体的体积问题
1.【2017届云南省师范大学附属中学高考适应性月考（八）】如图，矩形AB DE '（6,5AE DE ==），被截去一角（即BB C ∆'），3AB =， 135ABC ∠=，平面PAE ⊥平面ABCDE ， 10PA PE +=.
（1）求五棱锥P ABCDE -的体积的最大值； （2）在（1）的情况下，证明： BC PB ⊥. 【答案】（1）
112
3
（2）见解析
试题解析：（Ⅰ）解：因为3AB =， 135ABC ∠=︒， 所以45B BC ∠='︒， 532BB AB AB -='=-='， 所以截去的BB C '是等腰直角三角形， 所以1
6522282
ABCDE AB DE BB C
S S S ''=-=⨯-⨯⨯=．
如图3，
过P 作PO AE ⊥，垂足为O ，
因为平面PAE ⊥平面ABCDE ，平面PAE ⋂平面ABCDE AE =， PO ⊂平面PAE ， 所以PO ⊥平面ABCDE ， PO 为五棱锥P ABCDE -的高．
在平面PAE 内， 106PA PE AE +=>=， P 在以A E ，为焦点，长轴长为10的椭圆上， 由椭圆的简单的几何性质知：点P 为短轴端点时， P 到AE 的距离最大， 此时5PA PE ==， 3OA OE ==，（指出即可，未说明理由不扣分） 所以max 4PO =， 所以()max max 11112
·284333
P ABCDE ABCDE V S PO -=
=⨯⨯=
．
2.【2017届湖南省浏阳一中高三6月】如图，正三棱柱
中，为
中点，为
上的一点，
.
（1）若平面，求证：
.
（2）平面将棱柱
分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的
体积为，求
.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】试题分析： (1)由题意可得
四点在同一个平面上，则易知
.
(2)由题意转化顶点可求得棱锥的体积，.
试题解析：
（1）如图，取中点，连接.
棱柱为正三棱柱，
为正三角形，侧棱两两平行且都垂直于平面.
，
平面，，平面，
平面，，四点在同一个平面上.
平面，平面，平面平面，
，，，为中点，即.
（2）正三棱柱的底面积，则体积.
下面一个几何体为四棱锥，底面积，因为平面平面
，过点作边上的高线，由平面与平面垂直的性质可得此高线垂直于平面，故四棱锥的高，则，从而.
【方法规律】
(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．
(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．
【解题技巧】
求多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体
的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径. 热点3 空间平行、垂直关系与几何体的面积问题
1.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一）】设正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上， E ， F 分别是AB ， BC 的中点， EF DE ⊥，且1EF =，则球O 的表面积为__________． 【答案】12π
【解析】
E F 、分别是AB BC 、的中点， //EF AC ∴，又,EF DE AC DE ⊥∴⊥，取BD 的中点O ，连接
,AO CO .
三棱锥A BCD -为正三棱锥， ,AO BD CO BD ∴⊥⊥ ， BD ∴⊥平面AOC ，
又AC ⊂平面AOC ， AC BD ∴⊥，又DE BD D ⋂=，则AC ⊥平面ABD ，
AC AB ∴⊥ ，同理可知：正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，
1EF = ，则2AC AB AD ===，侧棱长均为2，将正三棱锥恢复为棱长为2的正方体，其外接球为
同一球，正方体的体对角线长为外接球的直径.因此R =
= ，球O 的表面积为2412R ππ= . 2.【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中， PB AB ⊥.
（1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）若4
43
PB AB BC ===，平面PAB ⊥平面ABCD ，求三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积之差.
【答案】(1)见解析；(2) 8.
（2）解：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD AB =， AD AB ⊥，
∴AD ⊥平面PAB ，∴AD PA ⊥，∴PAD ∆的面积为1
32
⨯⨯=又//AD BC ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC PB ⊥，∴PBC ∆的面积为1
4362
⨯⨯=.
又CD ⊥平面PBC ，∴CD PC ⊥，∴PCD ∆的面积为1
4102
⨯=.
又PB AB ⊥，∴PAB ∆的面积为8.
而ABD ∆的面积与BCD ∆的面积相等，且三棱锥P BCD -与三棱锥A PBD -的公共面为PBD ∆，
∴三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积之差为(()81068+-+=. 热点3 立体几何中的“动态”问题
1.【2017届甘肃省兰州第一中学高三冲刺模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
3AB =， AD = 45ABC ∠=︒， P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，
2BE EA =，M 在线段CD 上，且2
3
CM CD =．
（Ⅰ）证明： CE ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）在线段AD 上确定一点F ，使得平面PMF ⊥平面PAB ，并求三棱锥P AFM -的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
1
3
．
（Ⅱ）取F 是AD 的中点，作//AN EC 交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形，
1CN AE ==，则//AN EC .
在AND ∆中， F ， M 分别是AD ， DN 的中点，则//FM AN ，所以//FM EC . 因为CE ⊥平面PAB ，所以FM ⊥平面PAB .
又FM ⊂平面PFM ，所以平面PFM ⊥平面PAB .
111
3sin45=232AFM
S
︒
=⋅⋅ . V = 11
33AFM S PE ⋅= .
2. 【2017年北京市昌平区高三第二次统一练习】在四棱锥P ABCD -中， PAD ∆为正三角形，平面
PAD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， AB AD ⊥， 224CD AB AD ===.
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -的体积；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点E ，使得//BE 平面PAD ?若存在，请确定点E 的位置并证明；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；（2（3）存在，证明见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先证明CD AD ⊥，再根据面面垂直的性质定理可得CD ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）先根据面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ，再根据棱锥的体积公式可得结果；（Ⅲ） E 为PC 的中点时， //BE 平面PAD ，根先证明平面BEF 平面PAD ，从而可得结果.
试题解析：（Ⅰ）因为//AB CD ， AB AD ⊥， 所以CD AD ⊥.
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面PAD . 因为CD ⊂平面PCD ,
所以平面PCD ⊥平面PAD .
（Ⅲ）在棱PC 上存在点E ，当E 为PC 的中点时， //BE 平面PAD . 分别取,CP CD 的中点,E F ，连结,,BE BF EF . 所以//EF PD . 因为//AB CD ， 2CD AB =， 所以//,AB FD AB FD =.
所以四边形ABFD 为平行四边形. 所以BF
AD .
因为,BF EF F AD PD D ⋂=⋂=, 所以平面BEF 平面PAD . 因为BE ⊂平面BEF ，
所以BE 平面PAD .
【热点预测】
1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）
【答案】A 【解析】
2.【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】 已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都
在表面积为100π的球O 的球面上，若4AB AC ==， BC = ）
A. B. 13
2
D. 【答案】D
【解析】2
=41005S r r ππ=⇒=球， (2
22
44161
cos 244
322
A +--=
=
=-⨯⨯， 0120A =，
011sin 44sin120822ABC S AB AC A ∆=
⋅⋅=⨯⨯⨯==ABC ∆
的外接圆半径
42sin BC A ==
，三棱柱的高为6=
，三棱柱的体积为6= D.
3.【2018届四川省乐山外国语学校高三上练习三】三棱锥P ABC -中， ,,PA PB PC 互相垂直，
1PA PB ==， M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC
所成角的正切的最大值是
2
，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ） A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π 【答案】B
【解析】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵,,PA PB PC 互相垂直，∴AMP ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM BC ⊥时直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大．
此时
AP PM =，
PM =PBC 中，
··PB PC BC PM PC PC =⇒=⇒=
三棱锥P ABC -
2=， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为1R =，
∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2
44R ππ=．
选B.
4.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA
⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π 【解析】
试题分析：取SC 的中点O ，连接,OA OB 因为,SA AC SB BC == 所以,OA SC OB SC ⊥⊥ 因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =
31111
23323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
所以31
933
r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=
5.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】
92
π
6.【2017届广东省惠州市高三一调】已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，
2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）
A ．
3
B ．1
C ．2
【答案】A
7.【2016高考四川文科】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，
1
2
BC CD AD ==
. （I ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； （II ）证明：平面PAB ⊥平面PBD.
P
【答案】（Ⅰ）取棱AD 的中点M ，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析. 【解析】
P
（II ）由已知，PA ⊥AB, PA ⊥ CD, 因为AD ∥BC,BC=
1
2
AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥ BD. 因为AD ∥BC,BC=
1
2
AD ， 所以BC ∥MD,且BC=MD. 所以四边形BCDM 是平行四边形. 所以BM=CD=
1
2
AD ，所以BD ⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD ⊥平面PAB. 又BD ⊂ 平面PBD, 所以平面PAB ⊥平面PBD.
8.【2017届四川省资阳市高三上学期期末】如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中， 2,1AC CE ==，平面ABC ⊥平面ACEF ． M 是线段EF 上的一个动点．
（1）若BM AC ⊥，确定M 的位置，并说明理由； （2）求三棱锥C ABM -的体积．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）C ABM V -=
.
（2）由题1
3
C ABM B ACM ACM V V S h --∆==
， 由（1）和三角形ABC 为等边三角形得O 为AC 的中点， ∴BO 为三棱锥B ACM -的高h ，
于是h =
又∵无论M 是EF 上的何点， M 到AC 的距离不变，即为三角形ACM 底边AC 的高， ∴1
2112
ACM S ∆=
⨯⨯=，
∴113C ABM B ACM V V --==
⨯=． 9.【2017课标1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P-ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）326+． 【解析】
（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．
由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．
设AB x =，则由已知可得AD =
，PE x =
．
故四棱锥P ABCD -的体积311
33
P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得
318
33
x =，故2x =．
从而2PA PD ==，AD BC ==PB PC ==
可得四棱锥P ABCD -的侧面积为
21111
sin 6062222
PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+ 10.【2017课标II ，文18】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD ,
01
,90.2AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=
（1）证明：直线//BC 平面PAD ;
（2）若△PAD 面积为，求四棱锥P ABCD -的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
11.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC ⊥BD ；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
【答案】（1）详见解析；（2）1
【解析】试题分析：（1）取AC 中点O ，由等腰三角形及等比三角形性质得OD AC ⊥，OB AC ⊥，再根据线面垂直判定定理得⊥AC 平面OBD ，即得AC ⊥BD ；（2）先由AE ⊥EC ，结合平几知识确定EC AE =，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1.
试题解析：（1）证明：取AC 中点O ，连OB OD ,
∵CD AD =，O 为AC 中点，
∴OD AC ⊥，
又∵ABC ∆是等边三角形，
∴OB AC ⊥，
又∵O OD OB = ，∴⊥AC 平面OBD ，⊂BD 平面OBD ，
∴BD AC ⊥.
12.【2018届江苏省泰州中学高三上学期开学】在直三棱柱中，
是的中点，分别是上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求证：平面.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）分析棱柱易得平面，得，又由得
，即，进而得线面垂直；
（2）利用即可得体积；
（3）连，设，连，易得，进而得线面平行.
试题解析：
证明：（1）∵为中点，∴.
在直三棱柱中，∵底面，底面，∴.
∵平面，
∵平面，∴.
在矩形中，∵，
∴，∴，∴，
∵平面.
（2）∵平面，∴.
（3）连，设，连，
∵，∴四边形为矩形，∴为中点，
∵为中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
13.【2017届河北省衡水中学高考猜题卷（一）】如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且.
（I）证明：平面平面；
（II）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）先根据正六边形分析边边的位置关系，再利用面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用等体积法合理选择三棱锥的顶点进行求解.
（2）连接AE、CE,则AG为三棱锥的高，GC为
的高．在正六边形ABCDEF中，，
故， ..9分
所以． 12分
14.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
【答案】详见解析
【解析】
（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，
所以平面BDE ⊥平面PAC .
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC
平面BDE DE =， 所以PA DE ∥.
因为D 为AC 的中点，所以112
DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =
⋅⋅=.。