安庆市初中数学锐角三角函数的专项训练解析含答案

安庆市初中数学锐角三角函数的专项训练解析含答案
一、选择题
1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )
A ．4
B ．83
C ．6
D ．43
【答案】B
【解析】
【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.
【详解】
设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，
由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，
∴∠OAB =60°，
在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43，
∴光盘的直径为83．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.
2．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）
A ．22
B ．223
C ．23
D ．322
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．
【详解】
∵AD ⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90︒
在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒
∴AD=CD=22 在Rt △ADB 中，AD=22，∠ABD=60︒
∴BD=3AD=26． ∵BE 平分∠ABC ，
∴∠EBD=30°．
在Rt △EBD 中，BD=263
，∠EBD=30° ∴DE=3BD=223 ∴AE=AD −DE=22-
223=423
故选：C
【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
3．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2
sin cos θθ-=( )
A ．15
B 5
C ．355
D ．95
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解． 【详解】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5， ∴55cos 55sin 5θθ-=， ∴5cos sin 5θθ-=
， ∴()21sin cos 5
θθ-=
． 故选：A ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin θθ-=． 4．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )
A 83
B 43
C ．8
D ．83【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠性质可得BE=12
AB ，A′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′，可得∠EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA ′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt △ABM 中，利用∠ABM 的余弦求出BM 的长即可.
【详解】
∵对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，AB=4，
∴BE=12
AB=2，∠BEF=90°， ∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A’处，并使折痕经过点B ，
∴A ′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′，
∴∠EA ′B=30°，
∴∠EBA ′=60°，
∴∠ABM=30°，
∴在Rt △ABM 中，AB=BM ⋅cos ∠ABM ，即4=BM ⋅cos30°，
解得：BM=83， 故选A. 【点睛】
本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
5．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）
A ．53
B ．35
C ．22
D ．23
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，
∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，
∴∠BED ＝∠CDF ，
设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，
∴DF ＝FA ＝2﹣x ，
∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，
CF 2+CD 2＝DF 2，
即x 2+1＝（2﹣x ）2，
解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
6．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）
A ．2＋3
B ．23
C ．3＋3
D ．33
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 设AC=x ，在Rt △ABC 中，∠ABC=30°，即可得AB=2x ，BC=3x ，
所以BD=BA=2x ，即可得CD=3x+2x=（3+2）x ，
在Rt △ACD 中，tan ∠DAC=
(32)32CD x AC +==+， 故选A.
7．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且AB ＝BD ，则tan D 的值为（ ）
A ．3
B ．33
C ．23
D ．23
【答案】D
【解析】
【分析】 设AC ＝m ，解直角三角形求出AB ，BC ，BD 即可解决问题．
【详解】
设AC＝m，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC＝3AC＝3m，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m+3m，
∴tan∠ADC＝AC
CD
＝
23
m m
＝2﹣3．
故选：D．
【点睛】
本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB，则GH长为（）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝3BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题．
【详解】
解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．
∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，
∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝3
∵AG分别平分∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∵GM⊥AD，
∴∠AMG＝90°，
∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝GM
AG
，cos∠GAM＝
AM
AG
，
∴GM ＝AG•sin30°＝3，AM ＝AG•cos30°＝3，
同理可得HT ＝3，CT ＝3，
∵∠AMG ＝∠B ＝∠BAD ＝90°，
∴四边形ABNM 为矩形，
∴MN ＝AB ＝23，BN ＝AM ＝3，
∴GN ＝MN ﹣GM ＝3，
∴GN ＝HT ，
又∵GN ∥HT ，
∴四边形GHTN 是平行四边形，
∴GH ＝TN ＝BC ﹣BN ﹣CT ＝10﹣3﹣3＝4，
故选：B ．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，O e 是ABC V 的外接圆，AD 是O e 的直径，若O e 的半径是4，
1sin 4
B =，则线段A
C 的长是（ ）．
A ．2
B ．4
C ．32
D ．6
【答案】A
【解析】
【分析】 连结CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD ＝90︒，∠D ＝∠B ，则sinD ＝sinB ＝
14
，然后在Rt △ACD 中利用∠D 的正弦可计算出AC 的长．
【详解】
连结CD ，如图，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD ＝90︒，
∵∠D＝∠B，
∴sinD＝sinB＝1
4
，
在Rt△ACD中，∵sinD＝AC
AD
＝
1
4
，
∴AC＝1
4
AD＝
1
4
×8＝2．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）
A3B．3C．3
2
D
23
【答案】A 【解析】连接OC，
∵OA=OC ，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC 是⊙O 切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC •tan30°=3，
故选A
11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.1米，参考数据：3 1.73370.60sin ≈︒≈,，
370.80370.75cos tan ︒≈︒≈,)（ ）
A ．23.0米
B ．23.6米
C ．26.7米
D ．28.9米
【答案】C
【解析】
【分析】 如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，根据坡度及AB 的长可求出BN 的长，进而可求出CN 的长，即可得出ME 的长，利用∠MBE 的正切可求出CM 的长，利用∠DCM 的正切可求出DM 的长，根据DE=DM+ME 即可得答案．
【详解】
如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，
∵沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，
∴
BN 1AN 2.4
=， ∴AN=2.4BN ， ∴BN 2+（2.4BN ）2=262，
解得：BN=10（负值舍去），
∴CN=BN+BC=11.6，
∴ME=11.6，
∵∠MCE=30°，
∴CM=ME tan 30︒
=11.63， ∵∠DCM=37°， ∴DM=CM·
tan37°=8.73， ∴DE=ME+DM=11.6+8.73≈26.7（米），
故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．
12．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )
A ．asinα+asinβ
B ．acosα+acosβ
C ．atanα+atanβ
D ．tan tan a a αβ
+ 【答案】C
【解析】
【分析】 在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．
【详解】
在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，
∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ， 故选C ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．
13．在一次数学活动中，嘉淇利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD .如图，嘉淇与假山的水平距离BD 为6m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，嘉淇的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60︒刻度线，则假山的高度CD 为（ ）
A ．()23 1.6m +
B ．()22 1.6m +
C ．()43 1.6m +
D ．23m
【答案】A
【解析】
【分析】 根据已知得出AK=BD=6m ，再利用tan30°=
6
CK CK AK =，进而得出CD 的长． 【详解】
解：如图，过点A 作AK ⊥CD 于点K
∵BD=6米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，
∴DB=AK ，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，
∴tan30°=6
CK CK AK =， 解得：3即3（3+1.6）m ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，解答关键是应用锐角三角函数定义.
14．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－
1
2
x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝
1
2
x刻画，下列结论错误的是( )
A．斜坡的坡度为1: 2
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．小球落地点距O点水平距离为7米
D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
【答案】D
【解析】
【分析】
求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5
y=时，x的值，判定D．
【详解】
解：
2
1
4
2
1
2
y x x
y x
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
解得，1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
2
2
7
7
2
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
7
2
∶7=1∶2，∴A正确；
小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；
2
1
4
2
y x x
=-
2
1
(4)8
2
x
=--+，
则抛物线的对称轴为4
x=，
∴当4
x>时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正
确，
当7.5y =时，217.542
x x =-， 整理得28150x x -+=，
解得，13x =，25x =，
∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．
15．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）
A ．4
B ．23
C ．33
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．
【详解】
解：∵//DE BC ，
∴ADE ~ABC V V ，
∵2DE BC =，
∴点D 是AB 的中点，
∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =
∴∠B ＝30°，
∴AB 6cos30BF =
=︒
， ∴DF=3，
故选：D ．
此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．
16．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )
A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30303)
+n mile 【答案】D
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=CD AC
，
∴CD=AC•cos∠ACD=60×
3
303
2
=．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴3
∴3
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（3）nmile．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ）
A ．a•tanα
B ．a•cotα
C ．a•sinα
D ．a•cosα 【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
【详解】
如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，
∵cot αAC BC
=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.
18．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA 的值是（ ）
A ．45
B ．35
C ．43
D ．34
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理，得22AC BC +
cosA=
AC AB =35
故选：B ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
19．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）
A．15m B．C．20m D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解:∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，
∴AC===m．
∴AB=m．
故选C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．
20．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里B．45海里C．3D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答
案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：=
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．。