高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》知识点总复习

新高考数学《不等式》专题解析
一、选择题
1．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1-
B ．2
C ．7
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.
【详解】
解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：
当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.
2．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．()223
f x x =+D ．()4
2x
x f x e e
=+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案.
【详解】 A. ()1
f x x x
=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. (
)2f x =
=
，故(
)3
f x ≥
，C 错误； D. (
)4222x
x f x e e =+-≥=，当4x
x
e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．若,x y 满足约束条件360601
x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则122y
x
⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )
A ．
116
B ．
18
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，
因为1222y
x
x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为min 314z =--=-，
则1222y
x
x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
的最小值为4
1216-=. 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤()2
n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
()22
m n m n
m n m +--=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨
-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
5．设实数满足条件
则
的最大值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，
有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
6．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数
223
2
3()1a c ac f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '
，当函数[]()ln ()g x f x '=的定
义域为R 时，B Ð的取值范围为( )
A ．,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
B ．,6ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求出函数的导数，依题意即222
3()320a c ac
f x x bx +-'=+>恒成立，所以
()
222(2)430b a c ac ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；
【详解】
解：因为223
2
3()1a c ac
f x x bx x +-=+++，
所以222
3()32a c ac
f x x bx +-'=++()
g x 的定义域为R ，则有
()
222(2)430b a c ac ∆=-+-<，即2223a c b ac +->，结合余弦定理，
222cos 2a c b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】
本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.
7．已知α，β均为锐角，且满足()
sin 2cos sin αβαβ
-=，则αβ-的最大值为（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则
,22
ππαβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝
⎭
，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差
的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由
()
sin 2cos sin αβαβ
-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=，
即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，
化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以
()2
tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββ
αβαββ
ββ
--=
==+++，
又因为β为锐角，所以tan 0β>，
根据基本不等式
2
1
33tan tan ββ
≤
=
+，
当且仅当tan 3
β=时等号成立， 因为,22ππαβ⎛⎫-∈-
⎪⎝⎭
，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增，
则αβ-的最大值为6
π
. 故选:B . 【点睛】
本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基
本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.
8．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，若点
， 则
的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
10．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则2x y y +=的最大值为（ ）
A ．512
B ．8
C ．256
D ．64
【答案】C 【解析】 【分析】
作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】
作出可行域，如下图阴影部分所示，
令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2
x y
y +=的最大值为256.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
12225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭
⎭ ()122152522333
n m m n ⎛≥+⨯=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m
n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
12．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
13．已知函数24,0()(2)1,0
x x f x x x x ⎧+>⎪
=⎨
⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程
()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A
【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
14．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5， 因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，
故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
15．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()1212
0f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎡
⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．[3,2]-- C ．[2,3)- D ．[3,2]-
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围.
【详解】
解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()1212
0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数； 又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，
则()()()
222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.
16．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩
，则由不等式组确定的可
行域的面积是( )
A ．14π
B ．1
2π C ．π D ．32
π 【答案】A
【解析】
画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．
【详解】
实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩
………的可行域如图： 可行域是扇形，14
个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
17．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 【答案】B
【解析】
【分析】
由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y
+= ()212222225529x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭
（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
18．若 x y ，满足约束条件0
2323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
，则z x y =-的最小值是（ ）
A ．0
B ．3-
C ．32
D ．3 【答案】B
【解析】
可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3
(0,),(0,3),(1,1)2
A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.
19．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4
B ．3 C
．2 D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得
263
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】 解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+．
得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)2
n n n S n +-∴==， ∴()()2221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++．
令1t n =+，则26
4422223n n S t t a t t
+=+-≥⋅-=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴
263
n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．
【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.
【详解】
将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，
设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，
因为三棱锥外接球的表面积为8π，
则284R π=π，
解得2R =
，所以体对角线为2， 所以2228x y z ++=，
111222
S yz xy xz =++侧面积
由于()()()()222
222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥， 所以416S ≤，故4S ≤，
即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，
故选：B.
【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。