高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计

任意角的三角函数（1）
教学目标：
1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

教学过程： 一、复习引入： 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式
)
Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 练习1.
.____________tan600o
的值是 D 3.D 3.C 3
3
.B 33.A --
练习2. .________,0cos sin 在则若θθθ> B
第二、四象限 第一、四象限第一、三象限
第一、二象限.D .C .B .A
练习3. ____
0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且 C
第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A 讲解新课：
当角的终边上一点(,)P x y
1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2．三角函数线的定义：
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交
与点P (,)x y ，
过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边
或其反向延长线交与点T .
当角α sin 1y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan MP AT
AT x OM OA
α====
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

说明：
（1）三条有向线段的位置：
正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：
正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：
三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）3
π； （2）56π； （3）23π-； （4）136π-．
解：图略。

例2. .1cos sin 2
0>+<<ααπ
α，证明若
π
ππππ
π5
4
tan 32tan )(35
4
cos 32cos )(254sin 32sin )(1.3与与与比较大小：例
)(
2
1
sin ]20[.4的取值范围是的上满足，在例x x ≥π
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡πππππππ，，，65.D 326.C 656.B 6,0.A 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．
;21sin )1(-<x .21
cos )2(>x
答案：（1）71122,66k x k k Z ππππ+<<+∈；
（2）22,66
k x k k Z ππ
ππ-+<<+∈； 三、巩固与练习：P17面练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业： 作业4
任意角的三角函数（2）
教学目的：
知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角
函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。

公式一是本小节的另一个重点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数
值分别用他们的集合形式表示出来.
教学过程：
一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余
弦、正切依次为,,a b a
sinA cosA tanA c c b
=== ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y
，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么
（1）比值
y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x
r α=；
（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y
x
α=；
（4）比值
x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y
α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当()2
k k Z π
απ=
+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标
x 都等于0，
所以tan y
x
α=
无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值
y r 、x r 、y
x
、x y 分别是一
个确定的实数，
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、
值域 注意： (1)在平面直角坐标系
内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与
x
轴的非负半轴重合 (2) α是任意角，射线
OP 是角α的终边，
α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.
(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆 3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）0； （2）π； （3）32π
．
解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以
sin 00=， 01cos =， tan 00=， cot 0不存在。

（2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以
sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=， cot π不存在，
（3）因为当32
π
α=时，0x =，y r =-，所以
3sin 12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在， 3cot
02π
=， 例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。

解：因为2,3x y ==-，所以r ==
sin
13y r α=
==-； cos 13x r α===
； 3
tan 2
y x α=
=-； 2cot 3x y α==- ．
例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =， ,2x a y a ==
当
0sin
5y a r α>=
===时，cos 5x r α=
==；
15
tan 2;cot ;sec 5;csc 22
αααα====
；
当0sin
5y a r α<=
===-
时，；
cos
5
x r α=
==-
； 15
tan 2;cot ;sec 5;csc 22αααα===-=-． 4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值y
r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负
（0,0y r <>）； ②余弦值
x
r
对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值
y
x
对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1）cos 250； （2）sin()4π-； （3）tan(672)-； （4）11tan 3
π
．
例4．求证：若sin 0α<且tan 0α>，则角θ是第三象限角，反之也成立。

5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：
sin(2)sin k απα+=，
cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
例5．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π， （2）11tan()6π
-
， 例6．求函数x
x
x
x y tan tan cos cos +
=
的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上
∴当x 是第Ⅰ象限角时，
0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0><y x |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴
y=-2
…………ⅢⅣ………, 0
,00
,0<><<y x y x |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0
四、小结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。

五、巩固与练习
1、教材P15面练习；
2、作业P20面习题1．２A 组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的
（1）、（3）题。