山西省长治市潞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

2023～2024学年第一学期九年级期中质量监测
数学试卷（华师大版）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置，
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1.
有意义，则实数x 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
3.如图，与关于点O 位似，且相似比为，则AB 与DE 的比为（
）
A. B. C. D.4.若，则的值为（ ）A.
B.3
C.4
D.
5.如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A ，C ，F 和点B ，D ，E .若，
则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
3
x ≥3
x >3
x ≤3
x <ABC △DEF △3:43:42:79:164:3
34a a b =+a
b
1314
AB CD EF 1l 2l 23BD DE =AC
AF
3
2
23
35
25
6.一元二次方程的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.有一个实数根
7.如图，BD 是的中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连结EF .若，则EF 的长为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
8.将关于x 的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x 的一次多项式，也可以将表示为…，从而达到“降次”的目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这
种方法可以化简次数较高的代数式.若，则的值为（ ）
A.2025
B.2024
C.2023
D.2022
9.在设计人体雕像时，如果使雕像上部（腰部以上）与雕像下部（腰部以下）的高度比等于雕像下部与雕像全部的高度比，那么就可以增加视觉美感.若按此比例设计一座如图所示的高度为3m 的雷锋雕像，则该雕像上部的高度（结果精确到0.01m
）约为（
）
A.1.13m
B.1.14m
C.1.15m
D.1.16m 10.如图，一张底边长为20cm
、底边上的高为30cm 的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为4cm 的矩形纸条.若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（
）
A.第4张
B.第5张
C.第6张
D.第7张
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置）
11.______.
12.全世界大约有14000余种蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亚马孙河流域品种最多，在世界其他地区除了南北极寒冷地带以外都有分布.如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端B ，C
22320x x -+=ABC △6AD =2
0x px q -+=2
x px q =-2x 3x ()2
x x x px q ⋅=-=210x x +-=3222023x x ++1.414≈ 1.732≈ 2.236≈=
两点的坐标分别为，，则蝴蝶“尾部”点A 的坐标为______.
13.如图，某景区计划在一块长60m 、宽30m 的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为.若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为x m ，根据题意可列方程为______.
14.如图，在中，D 是边BC 上一点，连结AD .若，，，的面积为15，则的面积为______.
15.如图，在中，D 是AC 的中点，过点C 作交BD 的延长线于点E ，连结AE .若
，，则AE 的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本题共2个小题，每小题4分，共8分）计算：
（1
；（2）
17.（本题共2个小题，每小题4分，共
8分）解下列方程：（1）；（用配方法求解）
（2）18.（本题9分）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是
，，
.
()1,3-()
3,02880m ABC △9AB =3AD =DAC B ∠=∠ABC △ABD △ABC △CE BC ⊥5AB AC ==6BC =)(
2122-22240x x --=23230.
x x +-=ABC △()1,3A -()4,1B -()1,1C -
（1）画出于y 轴对称的，并直接写出点的坐标.
（2）画出以点O 为位似中心，相似比为的，并直接写出点的坐标.19.（本题7分）阅读材料，并回答下列问题
观察方程及其根的特征：①方程的根是，；方程的根是，.②方程的根是，方程的根是，.……
猜想：方程的根与方程的根之间的关系是.（1）请你证明材料中的猜想
（2）依照材料中的解题方法，解方程：.20.（本题10分）如图，在中，过点A 的直线交BC 的延长线于点E ，分别交BD ，CD 于点F ，G .
（1）若，，，求DG 的长.（2）在（1）的条件下，若，求FG 的长.
21.（本题10分）近年来，电商直播带货成了一个火热的职业.某电商在抖音平台上对一款成本为60元/件的服装进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可售出20件.经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，设每件服装降价x 元（降价后不得低于成本）.
（1）平均每天销售量增加______件，每件服装盈利______元.（用含x 的代数式表示）（2）当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？（3）商家平均每天盈利能达到1350元吗？请说明理由
22.（本题10分）鹳雀楼（如图1）位于山西省永济市蒲州古城西面的黄河东岸，始建于北周时期，是现存最大的仿唐建筑.某校数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量鹳雀
ABC △111A B C △1B ABC △1:2222A B C △2C 21392013x x +-
=1113x =-21
39
x =
2
230y y +-=13y =-21y =2156207x x +-
=1114x =-2128
x =2
280y y +-=14y =-22y =()2
00ax bx c a ++=≠2
0y by ac ++=y
x a
=
21
303015
x x -+
=ABCD 3AB =4BC =2CE =90BAE ∠=︒
楼的高度.如图2，该小组成员选取与底端B 在同一水平地面上的E ，G 两点，分别垂直地面竖立两根高为2m 的标杆EF 和GH ，两标杆间隔EG 约为54m.从标杆EF 后退1.5m 到点D 处（即），从点D 处观察顶端A 处，使A ，F ，D 三点共线；从标杆GH 后退3m 到点C 处（即），从点C 处观察顶端A 处，使A ，H ，C 三点共线，其中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 均在同一平面内.请根据上述测量数据，求鹳雀楼AB 的高度.
图1
图2
23.（本题13分）综合与实践问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在矩形纸片ABCD 中，，，将矩形纸片沿对角线AC 剪开，得到两个全等的直角三角形纸片和，将固定不动，绕点C 按顺时针方向旋转一定角度，得到，其中点A 的对应点为点，点B 的对应点为点.如图2，当点落在CD 边上时，连结，求的长.
图1图2
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题.深入探究：
（2）老师将图2中的绕点C 继续按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，让同学们提出新的问题①“善思小组”提出问题：如图3，当点落在BC 的延长线上时，连结，的长；
图3图4
②“智慧小组”提出问题：如图4，当点落在A D 的延长线上时，连结，求的长.
山西省2023～2024
学年第一学期九年级期中质量监测
1.5m ED =3m CG =4AB =3BC =ABC △ACD △ACD △ABC △A B C '''△A 'B 'B 'AB 'AB 'A B C '''△A 'AB 'AB 'A 'AB 'AB '
数学（华师大版）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
题号12345678910答案
A
D
A
B
D
C
A
B
C
C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
12.13.14.
15.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.解：（1）原式
（3分）
（4分）（2）原式…………………………………………………………………………
（2分）
…………………………………………………………………………（3分）
（4分）
17.解：（1）原方程可化为…………………………………………………………………（1分）配方，得，即……………………………………………………………（2分）
直接开平方，得…………………………………………………………………………（3分）所以，…………………………………………………………………………（4分）
（2），，…………………………………………………………………………（1分）
，…………………………………………………………………………（2分）
所以
（3分）所以，………………………………………………………………（4分）
18.解：（1）如解图，即为所求…………………………………………………………………（2分）
点的坐标为.…………………………………………………………………………（3分）
（2）如解图，即为求
………………………………………………………………………（
7分）
()
0,2-()()60530280
x x --=403
=+=
()3143=-+--311=-+-3=-2224x x -=221241x x -+=+()2
125x -=15x -=±14x =-26x =3a =2b =3
c =-()224243340b ac -=-⨯⨯-=x =
=
1x =
2x =111A B C △1B ()
4,1222A B C △
点的坐标为或.
…………………………………………………………………………（9分）
19.（1）证明：根据求根公式，得方程的根是，方程
的根是…………………………………………………………………………（2分）
，
∴…………………………………………………………………………（
3分）.…………………………………………………………………………（4分）
（2）解：根据材料，得方程的根与方程的根之间的关系是…（5分）
∵解方程，得，，………………………………………………………………（6分）∴方程的根是，………………………………………………………（7分）20.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴，，.………………………………………………………………（1分）∴，……………………………………………………………………（2分）∴……………………………………………………………………（3分）
∴
，即…………………………………………………………………………（4分）解得……………………………………………………………………（5分）
（2）∵，∴……………………………………………………（6分）
由（1），得.
2C
()2,2
-()2,2-()2
00ax bx c a ++=≠x =2
0y by ac ++=y =
a =ax y
=y x a
=
21303015x x -+=2320y y -+=30
y
x =
2
320y y -+=11y =22y =21303015x x -+
=1130x =
2115
x =3CD AB ==4AD BC ==AD BE DAG CEG ∠=∠ADG ECG ∠=∠ADG ECG ∽△△AD DG EC CG =
423DG DG =-2DG =90BAE ∠=︒AE =
=
=ADG ECG ∽△△
∴
，即
解得.……………………………………………………………………（7分）∵，
∴，.
∴…………………………………………………………………………
（8分）∴
，即
解得.…………………………………………………………………………（9分）
∴.…………………………………………………………（10分）21.（1
）2x
…………………………………………………………………………（1分）…………………………………………………………………………（
2分）
解：（2）根据题意，得.………………………………………………………（
3分）解得，.
…………………………………………………………………………（4分）
经检验，或均符合本题要求.……………………………………………………………（5分）答：当每件服装降价10元或20元时，商家平均每天能盈利1200元…………………………………（6分）（3）不能
…………………………………………………………………………（7分）
理由：根据题意，得.………………………………………………………（8分）化简，得.
∵，∴方程没有实数根
…………………………………………………………………………（9分）
∴商家平均每天盈利不能达到1350元.………………………………………………………………（10分）22.解：设，则，.……………………………………………………（1分）∵，，∴…………………………………………………………………………（2分）
又∵，∴.…………………………………………………………………………（3分）
∴
，即.……………………………………………………………………（4分）AD AG
EC EG
=
42=AG =AD BE DAF BEF ∠=∠ADF EBF ∠=∠ADF EBF ∽△△AD AE
EB EF
=
424=+AF =
FG AG AF =-==
()
40x -()()402021200x x -+=110x =220x =10x =20x =()()402021350x x -+=2302750x x -+=()2
2430412752000b ac -=--⨯⨯=-<BE x = 1.5BD x =+57BC x =+EF BD ⊥AB BD ⊥90FED ABD ∠=∠=︒FDE ADB ∠=∠FED ABD ∽△△EF ED BA BD =2 1.5
1.5
BA x =
+
同理，得.
∴
，即.……………………………………………………………………（5分）∴.…………………………………………………………………………（7分）解得.…………………………………………………………………………（8分）
∴.
…………………………………………………………………………（9分）
答：鹳雀楼AB 的高度约为74m.
………………………………………………………………（10分）
23.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，.由旋转的性质，得.……………………………………………………………………（1分）∴.
…………………………………………………………………………（2分）
在中，根据勾股定理，得……………………………………（3分）
（2
.…………………………………………………………………………（5分）
②如解图，连结，过点C 作于点M ，过点作于点N ，则
.
由旋转的性质，得，，.…………………………………………（6分）
∵，，∴，.∴.
∵.∴.………………………………………………………………………（7分）∴.∵，，，
∴.
∴.∴.
………………………………………………………………………（8分）
∴
.……………………………………………………………………（9分）HGC ABC ∽△△GH CG BA CB =23
57BA x =
+1.51.5357x x =
++54x =74m AB =4CD AB ==3AD BC ==90D ∠=︒3B C BC '==1DB CD B C ''=-=Rt ADB '△AB '==BB 'CM BB '⊥B 'B N AB '⊥90BMC B NB '∠=∠=︒B C BC '=A C AC '=B CB A CA ''∠=∠90ADC ∠=︒90BMC ∠=︒3A D AD '==BM B M '=6AA '=BC B C
AC A C
'='BCB ACA ''∽△△BC BB AC AA '='
4AB =3BC =90ABC ∠=︒5AC =185BB '=19
25
BM BB '==12
5
MC =
=
∵，，∴.∴.
…………………………………………………………………………（10分）
∴，即.解得，.…………………………………………………………………………（11分）
∴.…………………………………………………………………………（12分）
在中，根据勾股定理，得
…………………………………………………………………………（13分）［注意：以上各题的其他解法，请参照此标准评分］
90NBB MBC '∠+∠=︒90MCB MBC ∠+∠=︒NBB MCB '∠=∠B NB BMC '∽△△BN B N B B
CM BM BC
''==
18
5129355
BN B N '==7225BN =54
25
B N '=28
25AN AB BN =-=Rt ANB '△AB '===。