云南省昆明市第八中学2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试卷

昆八中2020-2021学年度上学期期中考
特色高二理科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1. 已知命题0P x ∀>：，总有(1)e 1x x +>，则p ⌝为
A.00x ∃≤，使得00(1)e 1x
x +≤
B.00x ∃>，使得00(1)e 1x
x +≤
C.0x ∀>，总有(1)e 1x x +≤
D.0x ∀≤，总有(1)e 1x x +≤
2. “二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的
伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事.在中国共产党建党98周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为 A ．720
B ．960
C ．1020
D ．1680
3. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12
，则
A.222a b =
B.2234a b =
C.2a b =
D.34a b =
4. 某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，
则选中的2名学生的性别相同的概率是 A ．
25
B ．
35
C ．
310
D ．
12
5. 2021年起，某市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从
物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是 A ．甲的化学成绩领先年级平均分最多. B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分. C ．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.
D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.
6. 已知双曲线22
1(0)6
x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为
A ．22124x y -=
B ．22
148x y -=
C ．22
18y x -= D ．22
128
x y -=
7. 我国古代数学典籍《九章算术》
“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,
大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
8. 设x y R ∈、，则“4x ≤且3y ≤”是“22
1169
x y +≤”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 9. 在区间[]
3,3-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(2)1x
y 相交”发生的概率为
A ．
39
B ．
36
C ．
33 D ．
32
10. 下列命题中，错误的是
A ．(0,
)4
x π
∀∈，cos sin x x >
B ．在AB
C ∆中，若A B >，则sin sin A B >
C ．函数()tan f x x =图象的一个对称中心是(
,0)2
π
D ．0x R ∃∈，002sin cos 2
x x =
11. 已知双曲线C ：2
213
x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点
分别为M 、N .若OMN ∆为直角三角形，则MN = A ．
32
B ．3
C ．23
D ．4
12. 设1F 、2F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，
交y 轴于C 点，若满足1
13
2
FC AF =且1230CF F ∠=︒，则椭圆的离心率为 A.3
3
B.
36
C.13
D.16
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P 的椭圆的标准方程为__________
14. 七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活《冷庐杂识》
卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是___________.
15. 设椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是
___________．(选全得5分，选不全得2分，有错选得0分) ○
1当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6 ○
2当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆面积的最大值为3
○
3存在点P ，使12PF PF ⊥ ○
41PF 的取值范围是[1,3] 16. 已知命题p ：方程22
112x y
m m
+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆．
命题q ：实数m 满足22430m am a -+<，其中0a >．若q ⌝是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为_________. 三、 解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （满分10分）已知函数()|2|||f x x x =-+.
（Ⅰ）求不等式()2f x x ≥+的解集；
（Ⅰ）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求
11
11
a b +++的最小值.
18. （满分12分）在ABC ∆中，3
A π
=
，2b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求
（Ⅰ）B 的大小； （Ⅰ）ABC ∆的面积.
条件①：2222b ac a c +=+；条件②：cos sin a B b A =. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
19. （满分12分）如图，四边形ABCD 正方形，QA ⊥平面ABCD ，//PD QA ，1
2
QA AB PD ==
．
（Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；
（Ⅰ）求平面PBQ 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．
20. （满分12分）西尼罗河病毒（WNV ）是一种脑炎病毒，WNV 通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类．
1999年8-10月，美国纽约首次爆发了WNV 脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x （千克）和利巴韦林含片产量y （百盒）的统计数据如下： 由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，||[0.75,1]r ∈，认为变量相关性很强；
||[0.3,0.75]r ∈，认为变量相关性一般；||[0,0.25]r ∈，认为变量相关性较弱． （Ⅰ）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱；
（Ⅰ）根据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？
25.69≈．参考公式：相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=
∑
线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．
21. （满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足(
)*
22,n n S a n N
=-∈.数列{}n
b 是首项为1
a ，
公差不为零的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式．
（Ⅰ）若n
n n
c b a =，数列{}n c 的前n 项和为,n n T T m <恒成立，求m 的范围．
22. （满分12分）已知椭圆. （Ⅰ）若，求椭圆的离心率及短轴长；
（Ⅱ）如存在过点，且与椭圆交于两点的直线，使得以线段为直径的圆恰好通过坐标原点，求的取值范围.
昆八中2020-2021学年度上学期期中考
特色高二理科数学答案
一、选择题
三、填空题
13．181
9或192
22
2
=+=+y x y x
22
:
1(0)4x y C m m
+=>2m =C (1,0)P -C ,A B l AB m
14．
716
15． 16. [)+∞⎥⎦
⎤ ⎝
⎛,,26
10
三、解答题 17．
解：（Ⅰ）⎪⎩
⎪⎨
⎧≥-<<≤+-=-+=2222020
222x x x x x x x x f ,,,)(
由()2f x x ≥+，得0,222x x x ≤⎧⎨
-+≥+⎩或02,22x x <<⎧⎨≥+⎩或2,
222,
x x x ≥⎧⎨-≥+⎩
解得0x ≤或4x ≥，
故不等式()2f x x ≥+的解集为(,0][4,)-∞⋃+∞……………………………………………………….5分 （Ⅱ）由绝对值三角不等式的性质，可知|2||||(2)|2x x x x -+≥--=， 当且仅当(2)0x x -≤时取“=”号， ∴min ()2f x M ==，∴2a b +=，所以
(1)(1)
14
a b +++=.
11111111[(1)(1)]1111144111b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
121(22)144
⎛≥+ =+=⎝， 当且仅当11
11b a a b ++=++，即1a b ==时，等号成立， 所以1111
a b +++的最小值为1……………………………………………………………………………10分 18．
解：若选择条件①：222b a c +=+.
（Ⅰ）因为222b a c +=+，
由余弦定理222cos 22
a c
b B a
c +-==
，
因为()0,B π∈，所以4
B π
=
.…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理
sin sin a b A B =，
得sin sin 2
b A
a B
=
==
又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=
+12=
+
=
，
所以113sin 2244
ABC S ab C =
==
△.……………………………………12分 若选择条件②：cos sin a B b A =. （Ⅰ）由正弦定理
sin sin a b
A B
=，得sin sin a B b A =. 又因为cos sin a B b A =，所以sin cos B B =， 又因为()0,B π∈，所以4
B π
=
.…………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理
sin sin a b A B =，
得sin sin 2
b A
a B
=
==
又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=
+12222
=
+
⨯4=
，
所以113sin 2244
ABC S ab C ===
△.…………………………………12分 19、
解：（1）（1）证明：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，
射线DA 为x 轴的正半轴，射线DP 为y 轴的正半轴，射线DC 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系
D xyz -，
依题意有(1,1,0),(0,0,1),(0,2,0)Q C P ， 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0)DQ DC PQ ===-，
所以0PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=，即,PQ DQ PQ DC ⊥⊥， 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQC ，
所以平面PQC ⊥平面DCQ .………………………………………………………………6分 （2）解：由（1）有(1,0,1),(1,0,0),(1,2,1)B CB BP ==--， 设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，
则0,0,n CB n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,
x x y z =⎧⎨-+-=⎩，取1y =，则2z =，(0,1,2)n =. 设平面PBQ 的法向量为()111,,m x y z =，
则0,0,m BP m PQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111120,0,
x y z x y -+-=⎧⎨-=⎩，取11x =，则111y z ==，(1,1,1)m =，
所以cos ,||||3m n m
n m n ⋅<>=
==⋅
故平面PBQ 和平面PBC ..…………………………………12分 20． 解：（Ⅰ）1(12345)35x =
⨯++++=，()1
1620232526225
y =⨯++++=， ()()5
1
(13)(1622)(23)(2022)(33)(23
22)i
i
i x x y
y x =--=-⨯-+--+-⨯-∑
(43)(2522)(53)(2622)25+-⨯-+-⨯-=，
()
5
2
222221(13)(23)(33)(43)(53)10i i x x =-=-+-+-+-+-=∑，
()5
2
2221
(1622)(2022)(2322)i
i y
y =-=-+-+-∑
22(2522)(2622)66+-+-=，
则()()
5
0.97i
i
x x y y r --=
=
≈∑ 所以x 与y 具有很强的相关性．…………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）得，()()
()
5
1
5
2
1
25
ˆ 2.510
i
i
i i
i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑， ˆˆ22 2.5314.5a
y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5y
x =+． 当150y =（百盒）时，54.2x =（千克）…………………………………………………………12分 21．
解：（Ⅰ）因为222211-=-=--n n n n
a s a s ,，
所以)(221≥=-n a a n n
所以{}n a 成等比，首项211==S a ，公比q 2= 所以n n a 2= 由题意知211==a b ，设{
}n b 公差为d
则2
1113b b b =，即()()2
221022d d +=+，
解得d 3=或d 0=（舍） 所以n b 31n =-…………………………………………………………6分 （Ⅱ）n n n b 31
c a 2
n n -=
=
11 所以n 12325831T 2222
n n -=+++⋯+ n 234112583431T 222222
n n n n +--=+++⋯++ 两式相减得1n 12311131112333313153542T 1122222222212
n n n n n n n n -+++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+++⋯+-=+-=-- 所以n 35T 552n
n +=-< 所以m 5≥…………………………………………………………12分
22．
（Ⅰ）因为，所以，.所以，.所以椭圆的离心率为，短轴长为.………………………………………………………4分 （Ⅱ）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，，．由得.所以，，. 因为以线段为直径的圆恰好过原点，所以.所以，即
.所以.即.由，，所以.当直线的斜率不存在时，因为以线段为直径的圆恰好通过坐标原点，所以.所以
，即.综上所述，的取值范围是. …………………………………………………………………………………………………………………12分
2m =22
142
x y +
=c =
=2e
=b =
C
2
l l (1)y k x =+11(,)A x y 22(,)B x y 22
1,4(1),x y m y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
2222(4)8440m k x k x k m +++-=0∆>212284k x x m k +=-+2122
444k m x x m k -=+AB OA OB ⊥12120x x y y +=2221212(1)()0k x x k x x k ++++=222
2222448(1)()044k m k k k k m k m k --+++=++2443m k m =-24043m k m =≥-0m >403
m <<l AB (1,1)A -1114m +=43m =m 403m <≤。