2017年高一预科第十一讲 函数对称性

第十一讲 函数对称性
[知识背景] 1.概念(定义,表示,分类与特征) 2.意义(解题)
<一>对称与数学:对称是客观事物存在的一种形式.数学作为客观物体在量及形上的一种表达形式,必然会反映这种关系,如对称点、对称式、对称图、对称运算与对称命题.
<二>数学对称:1.定义:对于构成原问题的元素顺序或运算形式或语言表达,通过取原元素中逆顺序或逆运算或具有相反意义的表述,实现对原问题的再改造,称为原问题的对称性问题,简述为数学问题的对称性构造.
2.特征:外观结构对称(元素和运算功能,语言表达等),数量成对.
3.分类:代数对称有正负对称,和差对称,互余对称,倒数对称,共轭对称; 图形对称有中心对称和轴对称.
4.意义:整体转化.间接方法.
(摘要自甘肃礼县一中刘国栋老师发表在《中学数学教学参考》1997年第7期39页的文章“数学问题的对称性构造与对称化方法”一文)
[知识点] ⑴反函数 ，奇、偶函数 ⑵式对称
[例题选讲]
1.⑴已知f(x)=244+x x
,求和式f(10011)+f(10012)+f(10013)+…+f(10011000)的值. ⑵已知f(x)=221x x +, 求和式f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)+f(4)+f(4
1)的值. 2.⑴函数f(x)=111
122+++-++x x x x 图象关于
A.x 轴对称
B. y 轴对称
C. 原点对称
D. 直线x=1对称 ⑵函数f(a-x)与f(x-b)图象关于直线l 对称,则直线方程 A.x=2b a - B.x=2
b a + C.x=a-b D.x=a+b 3.⑴已知函数f(x)=m
x x +-25图象关于直线y=x 对称,求实数m. ⑵若直线y=ax+1与直线y=-2x+b 关于直线y=x 对称,求a,b 值.
4.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0) ,如果f(x 1)= f(x 2)(其中x 1≠x 2),则f(x 1+x 2)等于 A.-a b 2 B.-a b C.c D.a b ac 442
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[巩固题组]
1.⑴已知函数f(x)为奇函数,则F(x)= f(x-a)+b 图象关于点____对称
⑵已知函数f(x)为偶函数,则F(x)= f(x-a)图象关于直线_____对称
2.⑴设函数f(x)=1
32
-+x x ,y=g(x)图象与y=f 1-(x+1)图象关于直线y=x 对称,求g(3)值. ⑵求证:函数y=2x 图象与函数y=log2x 图象对称.
3.⑴设f(x)=22
11x x -+,求证: ⑴ f(-x)= f(x) ⑵ f(x 1)= -f(x) ⑵设f(x)=x
x +-11, 求值: ⑴ f(a+1) ⑵ f(a)+1
4.光线从点(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,求反射光线所在直线方程.
5.⑴已知点P(2,3),求其关于下列情形下的对称点
⑴原点(0,0) ⑵x轴⑶y轴⑷直线y=x ⑸直线y=-x ⑹点(a,b)
⑵已知直线3x-4y+5=0,求其在下列情形下的对称直线
⑴原点(0,0) ⑵x轴⑶y轴⑷直线y=x ⑸直线y=-x ⑹点(a,b)。