材料力学第七章复杂应力状态的最大应力

y y
y
x
x
x 0 max
x
y
max min
x
2
y
(
x
2
y
)2
x2
D
B 0 C
o
y
y E
20 x FA
D’
(x+ y)/2 (x- y)/2
max
x
最大正应力所在截面的方位角0可确定：
tg20
DF CF
2 x x y
负号表示由x面顺时针方向转至max作用面
max所在截面的方位角0也可表示为：
y y
x x
y
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•研究方法：利用叠加原
理，由单向受力和纯剪状
态的胡克定理推导复杂应
力状态的广义胡克定理。
y y
x
x x
=
x
y
x
x
E
y
E
y
y
E
x
E
xy
xy
G
MECHANICS OF MATERIALS
y
y
+
+
y
xy
y
y
E
x
y
E
x
x
x
E
y
x
E
x
xy
xy
G
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以上讨论，仅限于//z轴的各截面，故为极值应力
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二、主应力
MECHANICS OF MATERIALS
2
正应力极值所在截面的切应力为零
1
主平面－切应力为零的截面
主应力－主平面上的正应力
3
主平面微体－相邻主平面相互垂直，
构成一正六面形微体
主应力符号与规定－ 1 2 3（按代数值排列）
➢以上结果成立的条件：••各小向变同形性. 材料； •线弹性范围内；
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MECHANICS OF MATERIALS
二、主应力与主应变的关系
y 2
x
x
E
y
E
z
E
y
y
E
x
E
z
E
1 x
z
z
E
x
E
y E
3
xy xy / G
z
yz yz / G xz xz / G
1
1 E
答： B
100
50
单位：MPa
A
B
C
D
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MECHANICS OF MATERIALS
例3: 试作图示平面应力状态微体的三向应力圆
50
100 100
单位：MPa
50
100
100
100
o
o
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MECHANICS OF MATERIALS
思考题：试分析下列平面应力杆件中A，B两点的应 力
60 120
问题：哪一个解是正确的？ 0 60
根据对应切应力所指方向可判断 的1 方向
又解： tan0
x
x min
x max y
3
试比较两个求
的公式
0
50
3
10 30 3
1
0 60
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MECHANICS OF MATERIALS
2. 图解法 （1）在 坐标系画上
D10,51.96, E 50, 51.96
1
2
2
c
3 o
1
2
b 2
3 1
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MECHANICS OF MATERIALS
➢ 其它任意斜截面上的应力
y
2
B
1
Co 3
z
A x
A
3
2
1
B 3
1 C
A
2
n 1 cos2 2 cos2 3 cos2
n
2 1 3
cos2
2 n
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单位：MPa
max x y
min
2
x
y 2
2
2 x
10 50 2
10 2
50
2
30
2 80MPa 3
40MPa
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MECHANICS OF MATERIALS
1. 解析法(续)
max＝80MPa
＝
min
40MPa
tan 20
2 x x y
3
20
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MECHANICS OF MATERIALS
➢平面应力状态的广义胡克定理
x
x
E
y
E
y
y
E
x
E
或
xy
xy
G
x
E
1 2
( x
y )
y
E
1 2
( y
x )
xy G xy
➢三向应力状态的广义胡克定理
x
x
E
y
E
z
E
y
y
E
x
E
z
E
z
z
E
x
E
y
E
xy xy / G yz yz / G xz xz / G
[ 1
(
2
3 )]
2
1 E
[
2
( 1 3 )]
1
1 E
[(1
)
1
( 1
2
3 )]
3
1 E
[
3
( 1 2 )]
2
1 E
[(1
)
2
( 2
1
3 )]
3
1 E
[(1
)
3
( 3
1
2 )]
1 2 3
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§7-3 极值应力与主应力
一、平面应力状态的极值应力
y y
y
x
x
x
oB
K
D( x , x )
R
C
2 0 x
FA
x
y
E( y , y )
M ( x y ) 2 ( x y ) 2
max min
OC
CA
x
2
y
(
x
2
y
)2
x2
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MECHANICS OF MATERIALS
BUAA
二、 最大应力
A
3
2
MECHANICS OF MATERIALS n 1 cos2 2 cos2 3 cos2
n
2 1
cos2
2 2
cos2
2 3
cos2
2 n
1
max= 1 min= 3
max=(1- 3)/2
一点处的最大与最小正应力分别 为最大与最小主应力；
8
1 3
(1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2
n 1 cos2 2 cos2 3 cos2
8
1
2
3
3
n
2 1
cos2
2 2
cos2
2 3
cos2
2 n
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MECHANICS OF MATERIALS
例2 图示单元体最大切应
50
力的作用面是图______
tg0
FD BF
x
x min
x max y
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MECHANICS OF MATERIALS
K
x
y
2
sin(2 ) x
cos(2 )
D
B 0 C
o
y
y E
M
20 x FA
D’ max
(x+ y)/2 (x- y)/2 x
max min
(
x
2
y
)2
2 x
切应力极值截面与正应 力极值截面成45o夹角
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
作业： 7-6(c), 7-7, 7-9, 7-13
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MECHANICS OF MATERIALS
本讲内容
§7-3 极值应力与主应力 §7-4 复杂应力状态的最大应力 §7-5 广义胡克定律
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
0 A点零应力状态，应力圆为位于圆点的点圆
B点应力集中
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MECHANICS OF MATERIALS
§7-5 广义胡克定律
•单向应力状态的胡克定理： •纯剪应力状态的胡克定理： •复杂应力状态下应力与应变关系？
x E x
x
y E y ？
x G xy
E G
MECHANICS OF MATERIALS
三、纯剪切状态的最大应力
C ,max
45
D
45
t ,max
A0,
C
o
t,max C c,max D
B0, 1 3 , 2 0
max min
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MECHANICS OF MATERIALS
例：纯剪应力状态下不同的断裂机理：
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例：火车通过时，导轨面一点的应力分析
分析：截取微元体 三向应力状态。 在切向力（摩擦力）作用下的应力状态 ？
F
微体A
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MECHANICS OF MATERIALS
一、三向应力圆
yy
2
3
zz
a 1
3
1
xx
d
1
a
b
2
d
3
c 3
两点，联结DE，以DE为直径作应力圆
D B 0
20 C
D
（2）量A、B两点坐标，BD’的方位角得 max
1=80MPa 3 =－40MPa
0 60
A
E
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MECHANICS OF MATERIALS
§7－4 复杂应力状态的最大应力
•实际工程构件和结构通常处于复杂应力状态
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BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
➢ 应力状态的分类：
根据主应力的数值，将应力状态分为三类： 单向应力状态: 仅有一个不为零的主应力； 二向应力状态: 有两个不为零的主应力； 三向应力状态: 有三个不为零的主应力； 复杂应力状态
单向应力状态
纯剪切状态
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BUAA
最大切应力位于与1及3均成450的截面
➢ 以上结论对于单向与二向应力状态均成立
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MECHANICS OF MATERIALS
➢ 八面体切应力
与三个主平面成等倾角的斜截面上的
y
2
切应力与材料破坏有关
B
Co 3
z
1
A x
cos2 cos2 cos2 1
3 共有8个这样的平面，形成一个八面体
（塑性材料）圆轴扭转时滑移与剪断发生在max
的作用面：
（脆性材料）圆轴扭转时断裂发生在max 的
作用面：
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MECHANICS OF MATERIALS
例： 试用解析法与图解法确定主应力的大小和方向
50
解：1.解析法
x 10 MPa y 50 MPa
10
30 3
x 30 3MPa=51.96MPa