格波模式数及模式密度密度

b1 ( b2 b3 )
*
* ,
N1 N 2 N3
N1N 2 N3 N
*为倒格矢原胞体积（第一布里渊区体积），
* (2 )3
q的可取数目：
* / * N（晶体的原胞数） N
而每个波矢量q 在倒空间所占体积可写为
* (2 )3 (2 )3
N N Vc

N3 2
可知
q

l1 N1
b1

l2 N2
b3

l3 N3
b3
l1,l2 ,l3 0,1,2,...
量在波每矢一空组间(表l1,示l2出l3来)对,它应们于是一均个匀q矢分量布,的将点这,些每矢个
点的体积等于边长为
b1 , b2 , b3 N1 N 2 N 3 3
• 每个平行六面体的体积为
• 晶体单位体积中格波的频谱密度g(ω)dω定 义为频率ω到ω＋dω之间的简正模式数目 除以晶体的体积
g()d

1
8
3
dq sd
s
选取dq的表达式之后，简 模式密度可以表达为：
g ( )d

1
8 3

lds

1
8
3

dsd grad
由于d是任意的
g()
1
8 3
Vc 为晶体体积。
所以波矢q的点在布里渊区中的密度为
N *

N
(2 )3

Vc
(2 )3
一维：
波矢q点在布里渊区中的密度为
N *


N
2


Na
2
L
2

a
二维：
L为晶体长度。
N *

N
2
2
（2Na）22
（2S）2

a
S为晶体面积。
格波的频谱(模式)密度
2
m
得
d

a 2
m
cos( qa )dq 2
将上式代入前式得
g() L
1
2L
1

a 2
m
cos(
qa 2
)
a m
1 sin 2 ( qa ) 2
2L
a
1

2 m


2
m
sin
210/29
.
19
• 晶格振动波矢的数目＝晶体的原胞数 晶格振动频率的数目＝晶体的自由度数
极化矢量 es(q) 与波矢 q 平行的称为纵波；极 化矢量 es(q) 与波矢 q 垂直的称为横波。
声频支纵波记为LA，声频支横波记为TA；3支 声频支中1支是纵波，另2支为横波。
光频支纵波极为LO，光频支横波记为TO；
波矢 q 在布里渊区的对称轴方向常可分为一个
纵波和两个横波；其他方向一般难以分出纵波 和横波。
图4.8是硅晶体的格波色散关系，硅每个原胞有两 个原子，因此有三支声频波和三支光频波，由于TA和 TO都是频率简并的，故TA和TO都只有一条色散曲线。
4.4.2 格波的模式数
采用玻恩-冯.卡门边界条件：
“材料的结构，材料的物理”
固体物理学
陆栋 蒋平 徐至中 编著
044
§4.4 三维晶格的振动模
具有N个原胞的三维晶格，每个原胞 中包含s个原子，则共有3Ns个自由度，其 格波的频谱可分为3s支（每支有N个波矢 ），频率数3Ns个
在 3s 支格波中，有3支为声频支格波 （声学波），其余3s-3支为光频支格波（ 光学波）。
0
V
例题: 求一维简单晶格的模式密度.
单位波矢区间对应有 L / 2 个模式,dq区间内有
2 L dq L dq 个振动模式.
2
单位频率区间包含的模式数目定义为模式密 度,根据这一定义可得模式密度为
L dq
d
由一维色散关系:

2
m
sin
qa 2
m sin
qa 2
其中m

2l3
N3a3
q1
2l1
N1a1

l1 N1
2
a1

l1 N1
b1
,

N1 2

l1

N1 2
q2

2l2
N2a2

l2 N2
2
a2

l2 N2
b2
,

N2 2
l2

N2 2
q3

2l3
N3a3

l3 N3
2
a3

l3 N3
b3
,

N3 2

l3
对于一维原子链 : exp[iqNa] 1
导出：qNa 2l 即：q 2l ，其中l为整数
Na
• 三维情况:
eiq1N1a1 1 eiq2N2a2 1 eiq3N3a3 1
q1

2l1
N1a1
q2

2l2
N 2 a2
q3

ds
grad q
图4.10是晶体硅的简正模密度曲线（图中实线）。 实线与横坐标所包围的面积应该等于晶体单位体积 中原子的总自由度。

g

d

3
r

N V
图中虚线是只考虑声频支波
并认为在长波极限下晶体是
各向同性的弹性体，将此关
系延伸到最高频率，虚线下
面积为 d g d 3 N