高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习有答案

【高中数学】数学《集合与常用逻辑用语》复习知识点
一、选择题
1．给出如下四个命题：
①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；
②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；
④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件． 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<； 所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；
②由函数()2
21f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，
符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点； 所以，函数()2
21f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-，
故命题“若1a =-，则函数()2
21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数
()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误；
③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；
④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有
sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于
A B π+<，必有2
B A π
π<-≤，此时有()sin sin sin A A B π-=>；
若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误. 综上，命题③正确. 故选：A. 【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.
2．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平
面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
Q 点P 不在直线l 、m 上，
∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平
行，即必要性成立，
若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
3．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
4．集合{}
|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到{}
13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】
1
8{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
5．已知集合{
}|3x
M y y ==，{|N x y ==
，则M N =I （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}|3
{|0}x
M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ==
=≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
6．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()
12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由()12
n n n a a S +=
，()
111(1)2n n n a a S ---+=，得
11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，
②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性， 若()12
n n n a a S +=
，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，
所以当3n …
时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()
12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
7．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，
内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
试题分析：2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在内单调递增，则
，即
在(0)+∞，
上恒成立，令,由于
，则
， ，则
，则
，设
的最大值为N ，则必
有，则
的取值范围是
，所以p 是q 的必要不充分条件．
考点：1．导数与函数的单调性；2．均值不等式；3．估算法；4．充要条件与集合的包含
关系；
8．“4
sin 25
α=
”是“tan 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用二倍角的正弦公式换化简222sin cos 4
sin 2sin cos 5
ααααα==+，再利用齐次式进行弦切
互化，得出2
2tan 4
tan 15
αα=+，即可求出tan α，即可判断充分条件和必要条件. 【详解】 解：2242sin cos 4sin 25sin cos 5
ααααα=⇔=+Q ， 则
22tan 4tan 2tan 15ααα=⇔=+或12
，
所以“4
sin 25
α=”是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.
9．“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
A ．“6m =”
B ．“67m <<”
C ．“57m <<”
D ．“57m <<”且“6m ≠”
【答案】C
【分析】
由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件． 【详解】
因为方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆，
则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪
->⎨⎪-≠-⎩
，解得：57m <<且6m ≠，
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”，
Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，
所以“57m <<”是方程“22
175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”．
故选：C ． 【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
10．若集合()(){}
130M x x x =+-<，集合{}
1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
11．已知命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则
11
a b
>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
【解析】
因为22
213133
1()44244
x x x x x -+=-+
+=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--
∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.
12．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 【详解】
若01b a <<<，则lg lg b a <，
lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a
b a a b
>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立
但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】
本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论
13．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1
x
≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=，则下列命
题中为真命题的是 ( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧(⌝q )
C ．(⌝p )∧(⌝q )
D ．(⌝p )∧q
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假. 【详解】
对于命题p ：当x ≤0时，x+
1
x
≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；
对于命题q ：当x 0=
4
π
时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题．
【点睛】
(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
14．已知曲线C 的方程为22
121x y m m
+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线
C 为双曲线的充要条件，q ：1
2
m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的
是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】
若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102
m << 若1
02
m <<
，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则1
2
m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．
15．下列说法正确的是( )
A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2
010x -…
”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -…” B ．命题“若向量a v 与b v
的夹角为锐角，则·0a b >v
v ”及它的逆命题均为真命题 C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题
D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则
20x x +≠”
【答案】D
【分析】
对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．
对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r ，则向量a r 与b r
的夹角为锐角”，
由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，所以该命题错误，所以B 错误．
对于C 选项，02
2
2A B A B π
π
π
+>⇒
>>
->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，所以C 错误． 故选D 【详解】
命题“0[0,1]x ∃∈，使2
110x -…
”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r
”的逆命题为假命题，故B 错误； 锐角ABC V 中，02
2
2
A B A B π
π
π
+>
⇒
>>
->，
∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，所以C 错误，
故选D. 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．
16．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
B ．5,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．(,1)-∞
D ．(1,)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111
()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求
解最值即可得解. 【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111
()22x a x x x
+<=+恒成立，
111
()12x x x
x
+≥⋅
=Q
，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C ． 【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
17．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）
A ．3(3,)2
-- B ．3(3,)2
-
C ．3(1,)2
D ．3(,3)2
【答案】D 【解析】
试题分析：集合()(){}
{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合
，所以
3|32A B x x ⎧⎫
⋂=<<⎨⎬⎩⎭
,故选D.
考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.
18．设集合{}
20,201x M x N x x x x ⎧⎫
=≤=-<⎨⎬-⎩⎭
，则M N ⋂为（ ）
A ．{}
01x x ≤< B ．{}
01x x <<
C ．{}
02x x ≤<
D ．{}
02x x <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x
x x N x x x x x x ⎧⎫
=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭
，
所以{}
01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
19．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( )
A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞ 【答案】B
【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
20．对于非零向量，，“
”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 不一定有，若，则一定有//a b .
考点：判断必要性和充分性.。