高考数学一轮总复习 几何证明选讲课时训练 理(选修41)

选修4－1 几何证明选讲
第1课时 相似三角形的进一步认识(理科专用)
1. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，求AB 的长．
解：根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝EC
CD
，可得AB ＝2.
2. 如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝5
2
，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，
求△ABC 的周长．
解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC 的周长为25 cm.
3. 在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE∥BC，△ADE 的面积是2 cm 2
，梯形
DBCE 的面积为6 cm 2
，求DE∶BC 的值．
解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE ∶BC ＝1∶2. 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6 cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，求BC 的长．
解：∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ ∠GDB ＝∠FEC＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm.∵ ∠B
＋∠C＝90°，∠B ＋∠BGD＝90°，∴ ∠C ＝∠BGD，∴ △BGD ∽△FCE ，∴ BD EF ＝GD
EC
，即BD
＝EF·GD EC
＝12 cm ，∴ BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21 cm.
5. 如图，在ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2
，求S △AOB .
解：∵ 在ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴ △AOB ∽△EOD ，∴ S △AOB S △DOE ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB DE 2
.
∵ E 是CD 的中点，∴ DE ＝12CD ＝1
2
AB ，
则AB DE ＝2，∴ S △AOB S △DOE
＝22＝4， ∴ S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2
.
6. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上中点，延长BA 到E ，使AE ＝1
3
EB ，连结DE ，交AC
于F.求AF∶FC 的值．
解：过D 点作DP∥AC(如图)，因为D 是BC 的中点，所以P 为AB 的中点，且DP ＝1
2
AC.
又AE ＝13EB ，所以AE ＝AP ，所以AF ＝12DP ＝1
4AC ，所以AF∶FC＝1∶3.
7. 将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长．
解：设BF ＝x.若△CFB′∽△CBA， 则CF CB ＝B′F AB ，即4－x 4＝x 3.∴ 12－3x ＝4x ，∴ x ＝127
. 若△CFB′∽△CAB，则CF CA ＝B′F AB ，即4－x 3＝x
3
，得x ＝2.
即BF ＝2或12
7
.
8. 如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交BC 于F.求
S △BEF
S 四边形DEFC
的值．
解：过D 点作DM∥AF 交BC 于M.因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF∥DM，所以
S △BEF
S △BDM
＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114
.
9. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE ·AF.
证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，
DN ∥BF ，∴ DN ＝1
2
BF.
∵ DN ∥AF ，∴ △AFE ∽△DNE. ∴ AE AF ＝DE DN
. ∵ DN ＝12BF ，∴ AE AF ＝2DE
BF
，
即AE·BF＝2DE·AF.
10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，CE ⊥BD ，交AD 于E ，连结BE ，交AC 于点F.求证：AF ＝FC.
证明：取BC 的中点H ，连结AH. ∵ AB ＝AC ，∴ AH ⊥BC. ∵ CE ⊥BD ，∴ AH ∥EC. ∵ CD ＝BC ，∴ CD ＝2CH.
则DE ＝2AE.取ED 的中点M ，连结CM.则ME ＝AE. ∵ C 为BD 的中点，∴ CM ∥BE. 则F 为AC 的中点，即AF ＝FC.
11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA ，交BA 的延长线于点F.
(1) 求证：∠DEA＝∠DFA；
(2) 若∠EBA＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．
(1) 证明：连结AD 、BC. 因为AB 是圆O 的直径，
所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°， 故A 、D 、E 、F 四点共圆， 所以∠DEA＝∠DFA.
(2) 解：在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB，
所以△EFA∽△BCA，故EA AB ＝AF
AC
.
设AF ＝a ，又EF ＝3，∠EBA ＝30°，所以BF ＝3，则AB ＝3－a ，AE 2
＝AF 2
＋EF 2
＝a 2
＋3.
所以a(3－a)＝12
(3＋a 2
)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.
第2课时 圆的进一步认识(理科专用)
1. (2014·南京、盐城期末)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB
的中点P ，若PC ＝98，OP ＝1
2
，求PD 的长．
解：因为P 为AB 中点，所以OP⊥AB，所以PB ＝r 2
－OP 2
＝
3
2
.因为PC·PD＝PA·PB ＝PB 2
＝34
，
由PC ＝98，得PD ＝2
3
.
2. 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，求CE
EO
的值．
解：设圆的半径为R ，则AD ＝AB 3＝23R ，OD ＝R －23R ＝13R.又OD 2
＝OE·OC，所以OE ＝OD 2
OC
＝
19R ，CE ＝R －19R ＝89R ，所以CE
EO
＝8.
3. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，分别求PD 、AB 的值．
解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x.
因为PA 为圆O 的切线，所以PA 2
＝PD·PB，
所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x 2
＝125，所以x ＝15
.
所以PD ＝9x ＝9
5
，PB ＝25x ＝5.
因为AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，所以AB⊥PA.
所以AB ＝PB 2－PA 2＝52－32
＝4.
4. (2014·苏北三市期末)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C＝50°，求∠DEF 的度数．
解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED＝90°.
因为DF⊥AF，得∠AFD＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF＝∠DAF.
又∠ADF＝∠ABD＋∠BAD＝12(∠ABC＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－1
2
∠C ，
所以∠DEF＝∠DAF＝90°－∠ADF＝1
2
∠C.
由∠C＝50°，得∠DEF＝25°.
5. 自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP＝∠MPB.
证明：∵ PA 与圆相切于A ，
∴ MA 2
＝MB·MC.又M 为PA 的中点，∴ PM ＝MA ，
∴ PM 2
＝MB·MC，∴ PM MC ＝MB PM
.∵ ∠BMP ＝∠PMC，
∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB.
6. (2014·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE⊥AC.求证：AC ＝2OD.
证明：∵ DE 是圆O 的切线，∴ OD ⊥DE.
又DE⊥AC，∴ OD ∥AC.
∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，
∴ OD ＝1
2
AC ，即AC ＝2OD.
7. (2014·南京、盐城一模)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.
(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．
(1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE＝∠ACB.
因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠ACB. 所以∠ABC＝∠BAE.
所以AE∥BC.因为BD∥AC，
所以四边形ACBE 为平行四边形．
(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB＋BD)，即62
＝EB·(EB＋5)，解得BE ＝4.
根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.
设CF ＝x ，由BD∥AC，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝8
3
.
8. (2014·盐城二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．
解：∵ AB 是圆O 的直径且BC ＝CD ，∴ AB ＝AD ＝10. 连结CO ，∵ EC 为圆O 的切线，∴ EC ⊥CO. 记H 是AD 与圆O 的交点，连结BH ， ∴ EC ∥BH ，∴ HE ＝ED ＝3，∴ AH ＝4，
∴ BD 2－62＝AB 2－42
，∴ BD ＝230，∴ BC ＝30.
9. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交CD 的延长线于点P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.
(1) 求AC 的长； (2) 求证：BE ＝EF.
(1) 解：∵ PA 2
＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴ PD ＝4. 又PC ＝ED ＝1，∴ CE ＝2.
∵ ∠PAC ＝∠CBA，∠PCA ＝∠CAB，
∴ △PAC ∽△CBA ，∴ PC AC ＝AC
AB ，
∴ AC 2
＝PC·AB＝2，∴ AC ＝ 2.
(2) 证明：∵ BE＝AC ＝2，CE ＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴ EF ＝2×1
2
＝2，∴ EF
＝BE.
10. (2014·南京二模)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，
点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2
＝BD·EC.
证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD＝∠CAE. 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC.
所以AD BD ＝EC
CA
，即AD·CA＝BD·EC.
因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ，
所以CD 2
＝BD·EC.
11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AB 的垂线交AC 的延长线于点E 、交AD 的延长线于点F ，过G 作圆O 的切线，切点为H.求证：
(1) C 、D 、F 、E 四点共圆；
(2) GH 2
＝GE·GF.
证明：(1) 如图，连结BC.
∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°. ∵ AG ⊥FG ，∴ ∠AGE ＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴ ∠ABC ＝∠AEG.
又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC ＝∠AEG. ∴ ∠FDC ＋∠CEF＝180°. ∴ C 、D 、F 、E 四点共圆．
(2) ∵ GH 为圆O 的切线，GCD 为割线，
∴ GH 2
＝GC·GD.由C 、D 、F 、E 四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC ＝∠GDF，∴ △GCE ∽△GFD.
∴ GC GF ＝GE
GD ，即GC·GD＝GE·GF， ∴ GH 2
＝GE·GF.。