初二期末考前知识串讲

初二上学期期末考试知识串讲
一、轴对称图形：
1.线段的轴对称性：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

例：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( )
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
2.角的轴对称性：角平分线上的点到角两边距离相等。

例：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝8 cm，BD＝5 cm，那么点D到直线AB的距离是 ( )
A．3 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
3.等腰三角形与直角三角形：
a等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

b.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

c.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例：如图，在AABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，试判断GF与DE有何特殊的位置关系?请说明理由．
4.求最值问题：
例：如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是 .
5.分类讨论与动点问题：
例1：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数 _______。

例2：如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论:
①BP＝CM ②△ABQ≌△CAP ③∠CMQ的度数不变，始终等于60°④当第4
3
秒或第
8
3
秒时，△
PBQ为直角三角形，正确的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
例3：已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm， CD为AB边上的高。

动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts.
（1）求CD的长；
（2） t为何值时，△ACP为等腰三角形？
（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小。

如果有请求出最小值，如果没有请说明理由。

二、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+。

1.面积叠加问题：
例1：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm 2．
例2：如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．
2.用等面积法解决问题：
例：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，求DE 的长．
3.翻折类型求边长问题：
例：如图，一张长方形纸片宽AB ＝8 cm ，长BC ＝10 cm ．现将纸片折叠，使顶点D 落在BC 边上的点F 处(折痕为AE)，求EC 的长．
三、实数：
1.有理数与无理数：
例1：如图，数轴上1和2的对应点分别为A 、B ，A 是线段BC 的中点，则点C 对应的实数为 （ ） A ．22-； B ．21-； C ．22-； D ．12-；
例2：已知3＋5与3－5的小数部分分别为a 和b ，则a ＋b ＝________．
2.平方根与立方根：
例1：81 的算术平方根是_____________，7－3的绝对值是______．
例2：若27a -与33a -是同一个数的平方根，则a 的值是 （ ） A.2；
B ．-4；
C ．2或-4；
D ．-2；
例3：已知a ，b ，c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简
．
例4：求下列各式的值：
（1）()3
81270x +-=； （2）()2
252360x +-=； （3）()2
2116x +=；
四、平面直角坐标系与一次函数 1.对称与平移：
例1：已知点P 1关于x 轴的对称点P 2（3－2a ，2a －5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则点P 1的坐标是_______．
例2：点A(2，3)到x 轴的距离为_______；点B （－4，0）到y 轴的距离为_______；点C 到x 轴的距 离为1，到y 轴的距离为3，且在第三象限，则点C 的坐标是_______．
例3：在直角坐标系中，点A （2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（ ）
（A ）（4，3） （B ）（-2，-1） （C ）（4，-1） （D ）（-2，3）
例4：如图，A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB 平移至A 1B 1，A 1，B 1的坐标分别为(2，0)，(b ，3)，则a ＋b ＝_______．
2.函数与函数关系：
例1：下列各曲线中表示y是x的函数的是（）
A． B． C． D．
例2：如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7．
(1)写出y与x之间的函数关系式．
(2)求当x=－1时，y的值．
(3)求当y=0时，x的值．
3.一次函数的图像与性质：
例1：在同一坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝x－k的图像大致应为 ( )
例2：已知m是整数，且一次函数y＝(m＋4)x＋m＋2的图像不经过第二象限，则m＝_______．
4.一次函数与不等式之间的关系：
例1：直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于
x的不等式k
1x＋b<k
2
x＋c的解集为 ( )
A．x>1 B．x<1 C．x>－2 D．x<－2
5.两直线的位置关系及交点问题：
例2：两条直线y＝k
1
x＋b
1
和y＝k
2
x＋b2相交于点A(－2，3)，则方程组11
22
y k x b
y k x b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
的解是_______．
6.用一次函数解决问题：
例1：在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2：快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发，相向而行．快车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．如图表示的是两车之间的距离y(千米)与行驶时间x（小时）的函数图像．请结合图像信息．解答下列问题：
(1)直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离；
(2)求快车从B返回A站时，y与x之间的函数关系式；
(3)出发几小时，两车相距200千米？请直接写出答案．
例3：某物流公司的快递车和货车每天往返于A 、B 两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A 地的路程y （单位：千米）与所用时间x(单位：小时)的函数图像，已知货车比快递车早1小时出发，到达B 地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A 地晚1小时．
(1)请在下图中画出货车距离A 地的路程y （千米）与所用时间x(小时)的函数图像； (2)求两车在途中相遇的次数；（直接写出答案）
(3)求两车最后一次相遇时，距离A 地的路程和货车从A 地出发了几小时．
五、分式及分式方程 1.分式的有无意义： 例1：当x 取什么值时，分式1
4
2-+x x （1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零。

2.分式化简及计算： 例1：若a =2b ≠0，则
的值为
例2：先化简，再求值：（+2﹣x ）÷，其中x 满足x 2﹣4x +3=0．
3.分式方程增根问题： 例1：如果解关于x 的分式方程
()
24
22a x x x x =+
--时出现增根，那么增根一定是 ( ) A ．0或2 B ．2 C ．1 D ．0
例2：若关于x的分是方程+=2有增根，则m的值是（）
A．m=﹣1 B．m=0 C．m=3 D．m=0或m=3
4.求方程中字母的取值范围：
例1：关于x的分式方程=1的解为正数，则字母a的取值范围为（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1
例2：若关于x的分式方程2x−a
x−2
＝
1
2
的解为非负数，则a的取值范围是（）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
例3：若分式方程=a无解，则a的值为．
例4：关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是（）
A．a=5或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
5.用分式方程解决实际问题：
例1：山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车B型车
进货价格（元）1100 1400
销售价格（元）今年的销售价
格
2000。