人教A版高二数学必修五第一章1.1.1正弦定理(同步课件1)

180°-（40°+ 64°）= 76°，
c
=
asinC sinA
=ห้องสมุดไป่ตู้
20sin76° sin40°
30（cm）.
注意精确度
（2）当B 时，C=180 （A+B）
180 （40 116）=24，
c=
a sin C sin A
=
20sin 24 sin 40
1（3 cm）.
三、已知边a,b和角Ａ，求其他边和角的各种类型．
中边与角的一种数量关系.
2 a b c ,等价于
sin A sin B sin C a b , b c ，a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
探究点3 正弦定理的基本作用
（1）已知三角形的任意两角与一边，求其他的边， 如 a bsin A. sin B
sinB sinA
AC = BC ×sinB = 2× 2 = 2
sinA
2
【答案】 2
4.在ΔABC中，已知sinA = 3，cosB = 5 ,
5
13
求sinC.
解：因为cosB
=
5 13
,B
(0,π),所以sinB
=
12 13
.又sinA
=
3 5
,
所以sinA < sinB,由正弦定理 a = b 可知 sinA sinB
探究点1 正弦定理
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面第一
来探讨直角三角形中角与边的等式关系.
A
解析：如图，在RtΔABC中，设BC = a，AC = b， C
B
AB = c，根据直角三角形中正弦函数的定义，有 a = sinA， c
b = sinB，sinC = 1 = c，则 a = b = c = c
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公
.C 里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求
A,C两点的距离呢？
.B .A
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三 角形的两类基本问题.（重点、难点）
A.
B.
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，b= 3 ，B＝60°，c＝1，
则此三角形有（ A ）
A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定
3.在△ABC中，已知∠BAC=60°， ∠ABC=45°，BC= ，3 则AC=_______．
【解析】根据正弦定理，得 AC = ，BC故
c
c sinA sinB sinC
从而在RtΔABC中，有 a = b = c . sinA sinB sinC
思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
解析：(1)锐角三角形
当ΔABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据任意角三角函数的定义，有CD = asinB = bsinA，
则a = b
同理，作j⊥ BC，j与AC夹角为锐角.
可得 b = c ，从而 a = b = c .
sinB sinC
sinA sinB sinC
外接圆法
B
如图：C=C'， c sin
C
c sin C'
2R.
c
a ·O
C
如下图所示同理：
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径.
a < b,所以A < B,所以A只能为锐角，所以cosA = 4 . 5
所以sinC = sin(A + B)= 63 . 65
1.正弦定理 a b c sin A sin B sin C
它是解三角形的工具之一.
2.应用正弦定理可以解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及任意一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
例2 在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，
解三角形(角度精确到1°, 边长精确到1 cm).
解：根据正弦定理，sinB
=
bsinA a
=
28sin40° 20
0.899
9.
因为0°<Β< 180°,所以B 64°，或B 116°.
（1）当B 64°时，C = 180°-（A + B）
解：根据三角形内角和定理，
C 180 A B 180 32.0 81.8 66.2.
根据正弦定理，b=
a sin B sin A
=
42.9 sin 81.8 sin 32.0
80.（1 cm）；
根据正弦定理，c= a sin C sin A
=
42.9sin 66.2 sin 32.0
74.（1 cm）.
C
sinA sinB
同理可得 b = c sinB sinC
a
b
从而 a = b = c . B sinA sinB sinC
DA
(2)钝角三角形
如右图，类比锐角三角形，请同 学们自己推导.
C
a b
B
AD
可证得，当ΔABC是钝角三角形时，也有
a = b = c. sinA sinB sinC
探究点2 其他推导方法 因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究此问题.
作单位向量j⊥ AC，j与AB夹角为锐角.
由向量的加法可得AB = AC + CB，
j
a 则j·AB = j·（AC + CB），
所以j·AB = j·AC + j·CB
B
C b A
j AB cos（90°- A）= 0 + j CB cos（90°- C），
所以c·sinA = a·sinC，即 a = c ， sinA sinC
1.Ａ为锐角
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
b a ba
ba
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA 无解
a=bsinA bsinA<a<b
一解
两解
a≥b 一解
2.Ａ为钝角
Ｃ ba
Ａ
Ｂ
Ｃ ba Ａ
a>b
a≤b
一解
无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解；
a≤b时，无解.
1.△ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC 为( A )
（2）已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A= a sin B.
b
二、解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素.
2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形.
例1 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝ 42.9 cm，解三角形.
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
Ob a B A` A c
一、正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
ab sin A sin B
c. sin C
注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角
的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形