怀安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

怀安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2． 设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．a ＜c ＜b
3． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）
A.]1,1[-
B.]1,0[
C.]1,0(
D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
4． 若复数满足
7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
5． 二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
6． 已知平面向量(12)=，
a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5
- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．
7． “
”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
8． 设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2
项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37 9． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ） A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
10．与圆C 1：x 2
+y 2
﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2
+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
11．设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12
），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ） A ．（0，＋∞） B ．（－∞，－1
2）
C ．（－1
2
，＋∞）
D ．（－1
2
，0）
12．设a ，b 为正实数，11
a b
+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）
A.0
B.1-
C.1 D .1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.
二、填空题
13．设某双曲线与椭圆
136
272
2=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 )4,15(，则此双曲线的标准方程是 .
14．在复平面内，记复数+i 对应的向量为
，若向量
饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量
所对应
的复数为 ．
15．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
16．设f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ．
17．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）． ①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣
=1与椭圆
有相同的焦点．
18．函数f （x ）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是 ．
三、解答题
19．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以 在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m 元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数 在3次掷骰子过程中出现1次， 2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的
1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
20．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy
中，直线的参数方程为32
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C
的方程为ρθ=． Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；
Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P
的坐标为(3,，求PA PB +．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1AP =
，AD =P ABD -
的体积4
V =
，求A 到平面PBC 的距离.
111]
22．已知函数f （x ）=（sinx+cosx ）2+cos2x （1）求f （x ）最小正周期；
（2）求f （x ）在区间[]上的最大值和最小值．
23．（本小题满分12分） 已知函数21()x f x x +=
，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *
∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
24．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．
怀安县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：设g （x ）=xe x ，y=mx ﹣m ， 由题设原不等式有唯一整数解， 即g （x ）=xe x 在直线y=mx ﹣m 下方， g ′（x ）=（x+1）e x ，
g （x ）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g （x ）min =g （﹣1）=﹣，y=mx ﹣m 恒过定点P （1，0）， 结合函数图象得K PA ≤m ＜K PB ，
即
≤m ＜
，
，
故选：C ．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
2． 【答案】A
【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1， ∴y=sinx 在（0，90°）单调递增， ∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1， ∴a ＜b ＜c 故选：A
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．
3． 【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =，故选C.
4． 【答案】A
【解析】
试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 5． 【答案】B
【解析】因为(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项系数是3C n ，所以3C 10
n =，解得5n =，故选A ． 6． 【答案】A
7． 【答案】A
【解析】解：由x 2
+x+m=0知，
⇔
．
（或由△≥0得1﹣4m ≥0，∴
．）
，
反之“一元二次方程x 2
+x+m=0有实数解”必有
，未必有
，
因此“”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．
故选A ．
【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．
8． 【答案】 D
【解析】
二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．
【分析】由含x 一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m 、n 为正整
数，可得m=3、n=2，从而求得含x 2
项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n
中含x 一次项的系数为（﹣2）+
（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m 、n 为正整数，可得m=3、n=2，
故含x 2
项的系数是
（﹣2）2
+
（﹣5）2
=37，
故选：D ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 9． 【答案】C
【解析】解：由f （x ）=x 2﹣6x+7=（x ﹣3）2
﹣2，x ∈（2，5]． ∴当x=3时，f （x ）min =﹣2．
当x=5时，
．
∴函数f （x ）=x 2
﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是[﹣2，2]． 故选：C ．
10．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
【解答】解：∵圆C 1：x 2+y 2﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0的方程可化为，
；； ∴圆C 1，C 2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r 1=1，r 2=6．
∴两圆的圆心距=r 2﹣r 1； ∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线． 故选C ． 11．【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，
由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）得
f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－1
2）
＝（e
x
－e －x ）（
－1
2x ＋1＋12
） ＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）＝f （x ），
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－1
2
，
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－1
2}，故选C.
12．【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故
11a b a b ab
++≤⇒≤
2322()44()11
84()82
()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab
++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B. 二、填空题
13．【答案】15
42
2=-x y 【解析】
试题分析：由题意可知椭圆
136
272
2=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()
()()
4340153401522
2
2
2
=++--
-+-=
a ,故2=a ，5492=-=
b ，故所求双
曲线的标准方程为15422=-x y ．故答案为：15
42
2=-x y ． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 14．【答案】 2i ．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（
+i ）（cos60°+isin60°）=（
+i ）（
）=2i
，故答案为 2i ．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i ）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
15．【答案】 38 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y 得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A 时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大，
由
，解得
，
即A （3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
16．【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
即当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是减函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
17．【答案】②③．
【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．
②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．
③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．
④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．
故正确的命题为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．
18．【答案】﹣．
【解析】解：∵f（x）=﹣2ax+2a+1，
∴求导数，得f′（x）=a（x﹣1）（x+2）．
①a=0时，f（x）=1，不符合题意；
②若a＞0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数；
③若a＜0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数
因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（﹣2）f（1）＜0，
即（）（）＜0，解之得﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.
20．【答案】
【解析】Ⅰ
∵:C ρθ=
∴2:sin C ρθ=
∴22:0C x y +-=，即圆C
的标准方程为22(5x y +=．
直线的普通方程为30x y +=． 所以，圆C
2
=
．
Ⅱ由22(53
x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩
，解得12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以
21．【答案】（1
【解析】
||||PA PB +==
试
题解析：（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂且平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2）1366V PA AB AD AB =
=，由4
V =
，可得32AB =，作A H P B ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ，又313
PA AB AH PB ==
，所以A 到平面PBC 的距离为
.1 考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=（sinx+cosx ）2
+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+
sin （2x+），
∴它的最小正周期为=π．
（2）在区间上，2x+
∈[
，
]，故当2x+
=
时，f （x ）取得最小值为 1+
×（﹣
）
=0，
当2x+
=
时，f （x ）取得最大值为 1+×1=1+．
23．【答案】
【解析】（1）∵211()2x f x x x +=
=+，∴11
()2n n n
a f a a +==+. 即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分） （2）∵数列{}n a 是等差数列，
∴1()(22)(1)22
n n a a n n n
S n n ++=
==+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-
++. （8分）
∴1231111n n T S S S S =
++++ 11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-+1
n n =+. （12分） 24
．【答案】
【解析】（1）证明：∵PA 为圆O 的切线， ∴∠PAB=∠ACP ，又∠P 为公共角， ∴△PAB ∽△PCA ， ∴
，
∴AB •PC=PA •AC ．…
（2）解：∵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，
∴PA
2
=PB •PC ，
∴PC=40
，BC=30，
又∵∠CAB=90°，∴AC 2+AB 2=BC 2
=900，
又由（1）知
，
∴AC=12
，AB=6
，
连接EC ，则∠CAE=∠EAB ， ∴△ACE ∽△ADB ，∴，
∴
．
【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．。