高考数学(文)题型步步衔接 专题 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
【母题来源】2015新课标1-文20
【母题原题】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：
()()
22
231x y -+-=交于M ，N 两点.
（I ）求k 的取值范围；
（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .
【答案】（I ）
474
7,
3
3
（II ）2
【考点定位】直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力
【试题解析】
（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y
kx .
因为l 与C 2
|231|11k k
.
47
47
3
3
k
.
所以k 的取值范围是
4747
,
3
3
.
（II ）设1122(,),(,)M x y N x y . 将1y
kx 代入方程2
2
2
3
1x y ,整理得22(1)-4(1)70k x k x ,
所以12
12
22
4(1)
7,.11k x x x x k k
21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k
, 由题设可得2
4(1)
8=121k k k ，解得=1k ，所以l 的方程为1y x .
故圆心在直线l 上，所以||2MN .
【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系及设而不求思想，是中档题.
【方法、技巧、规律】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题. 【探源、变式、扩展】直线与圆的位置关系是高考文科数学考查的中点和热点，主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，设而不求思想，难度为中档题.
【变式】【2015届江苏徐州第三次质检】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
22:()(2)1,C x a y a -+-+=点(0,2),A 若圆C 上存在点,M 满足2210,MA MO +=则实
数a 的取值范围是． 【答案】[0,3]
1. 【2015届四川省雅安市第三次诊断性考试】已知直线l ：50x ky --=与圆
O :2210x y +=交于A 、B 两点且0OA OB ⋅=，则k =（ ）
A ．2
B ．2±
C ．2±
D ．2 【答案】B
2. 【2015届浙江省嘉兴市下学期教学测试二】已知圆2
2
450x y x +--=的弦AB 的中点为(3,1)Q ，直线AB 交x 轴于点P ，则||||PA PB ⋅= A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】B
3. 【2015届北京市朝阳区第二次综合练习】在圆C ：2
22
(2)8x
y
内，
过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为． 【答案】46
【解析】如下图所示，当AB 为直径时，AB 为过点P 最长的弦，此时||42AB =，当
CE AB ⊥时，CE 为圆内过点P 最短的弦，所以三角形CEP 为直角三角形，
22||(21)25CP =-+=， 2
2
||3CP CE CP =
-232246ADBE S DE AB =⋅==
4. 【2015届山东省枣庄市五中上期期末考试】已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ． （Ⅰ）求圆M 的方程；
（Ⅱ）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程；
（Ⅲ）已知(3,4)D -，点P 在圆M 上运动，求以AD ,AP 为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q 轨迹方程．
【答案】（1）2
2
(2)(1)10x y ++-=；（2）350x y +-=；（3）轨迹方程为2
2
(5)10x y +-=，除去点(1,8)-和(3,4)-
即所求轨迹方程为22
(5)10x y +-=，除去点(1,8)-和(3,4)-． 12分
5. 【2015届江苏省泰州市姜堰区高三上学期期中考试理科数学试卷】已知圆M ：()2
244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．
（Ⅰ）当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出
所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB 长度的最小值． 【答案】（Ⅰ）168(0,0)(
,)55P P 或（Ⅱ）84(0,4),,55⎛⎫
⎪⎝⎭
（Ⅲ）11
相交弦长即：
22
244
24414
158********AB d b b b =-=-
=--+⎛
⎫-+
⎪⎝
⎭ 当4
5
b =
时，AB 有最小值11 6. 【2015届黑龙江省绥化市重点中学下学期期初开学联考理】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0,3）,直线l ：42-=x y ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
y O
A
l
（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 【答案】（1）3=y 和01243=-+y x ;（2）)2,5
4
(∈a
两圆圆心距满足：3)42()1(122<-++<
a a ， 所以)2,5
4
(∈a .
7. 【2015届浙江省杭州地区7校上学期期末模拟联考】已知圆C ：
04222=+--+m y x y x 。

（1）求m 的取值范围。

（2）当m =4时，若圆C 与直线04=-+ay x 交于M ，N 两点，且CN CM ⊥，求a 的值。

【答案】（1）5<m ；（2）1=a 或7
17
=
a
8. 【2015届湖南怀化市中小学课改教育监测高三上学期期中考试理科数学试卷】 在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线340x y --=相切． （Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点Q ，使得
OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）2
2
4x y +=;（Ⅱ）存在点Q ，使得OQ OA OB =+.
9. 【2015届江苏省通州五校第一次联考】已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为圆H ． （1）求圆H 的方程；
（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围． 【答案】（1）22(3)10x y +-=（2）3x =或4360x y --=（3）
104
1035
r ≤<
10. 2015届广东省广州市综合测试二】已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2
244x y -+=． （1）求圆C 的方程；
（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围． 【答案】（1）()2211x y ++=；（2）522,
4⎡⎤
⎢⎥．。