《经济应用数学》教学讲义 2.2初等行变换与矩阵的秩

矩阵 就是矩阵 的行简化阶梯形矩阵.
三、矩阵的秩
定义4矩阵 的行阶梯形矩阵中非零行的个数，称为矩阵 的秩，记作秩 或 .
【例2】 设 ，求 ．
解
所以， =2.
【课堂练习】
1.将下列矩阵化成行阶梯形矩阵与行简化阶梯形矩阵.
（1） ； （2） .
2.求下列矩阵的秩.
（1） ； （2） .
【课堂小结】
1.矩阵的初等行变换。
例如，设 .
利用初等行变换可以把矩阵化为行阶梯形矩阵进而化为行简化阶梯形矩阵．
定理任何矩阵 经过一系列初等行变换可化成行阶梯形矩阵（称为 的行阶梯形矩阵），再经过一系列初等行变换可化成行简化阶梯形矩阵.
【例1】 用矩阵的初等行变换将矩阵 化为行阶梯形矩阵与行简化阶梯形矩阵.
解
则矩阵 就是行阶梯形矩阵.将其继续化为行简化阶梯形矩阵.
2.阶梯形矩阵与行简化阶梯形矩阵。
3.矩阵的秩。
（1）交换矩阵两行；
（2）用个非零数乘以矩阵的某一行；
（3）把矩阵的某一行乘以数 后加到另一行对应元素上去.
称变换（1）为对换变换，用记号 表示交换矩阵的第 行和第 行；
称变换（2）为倍乘变换，用记号 表示把第 行的所有元素乘以数 ；
称变换（3）为倍加变换，用记号 表示把第 行的所有元素乘以数 后，再加到第 行的对应元素上去.
例如，矩阵
，
都是行阶梯形矩阵，而矩阵
， ，
就不是行阶梯形矩阵。
定义2满足以下两个条件的行阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵:
（1）各非零行的第一个非零元素都是 ；
（2）所有第一个非零元素所在列的其余元素都是0.
例如,矩阵
，
是行简化阶梯形矩阵，而矩阵
，
都不是行简化阶梯形矩阵．
二、矩阵的初等行变换
定义3矩阵的初等行变换是指对矩阵施行如下三种变换：
课题
初等行变换与矩阵的秩（2学时）
时间
年 月 日
教学
目标
1.会用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵与行简化阶梯形矩阵。
2.理解矩阵秩的概念。
3.会求矩阵的秩。
重点
理解行阶梯型矩阵。
难点
矩阵的初等行变换，矩阵的秩。
教学
方法
手段
讲授为主，数形结合。
主要
内容
时间
分配
复习5分钟
一、行阶梯形矩阵
1.行阶梯形矩阵 10分钟
2.行简化阶梯形矩阵 10分钟
二、初等行变换15分钟
例110分钟
三、矩阵的秩 10分钟
例2 10分钟
小结5分钟
练习 15分钟
作业
备注
【主要内容】
一、行阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵
定义1满足以下条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：
（1）矩阵的零行（若存在）在矩阵的最下文；
（2）各个非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增大而严格增大。