牛顿环实验读数误差分析及改进方法研究

2
−
d
∗2 j
4(k − j)λ
定 位 真 实 曲 率 半 径 值 ，而 将
2∆dk
d
∗ k
−
2∆d
jd
∗ j
4(k − j)λ
作为迭代 误 差部 分。故 测量 计 算的绝 对 误 差
εR为：
εR
=
2∆d
k
d
∗ k
4(k
− −
2∆d
j
d
∗ j
j)λ
(9)
相对误差δR为:
δ R
=
2∆d
k
d
∗ k
d
∗2 k
用牛顿环测量透镜曲率半径实验，是大学物理必学的 实验之一，也是验证光的波动性的重要实验。因此，在目前 光 学实验中仍 然占据重 要的位 置。但 是多年来，实验 误 差 较 大 的缺 陷，影响了它的教学效 果。这一问题，在 使 用 读 数显微镜读数方面所产生的误差是主要之一，学生在使用 读数显微镜读数时，由于肉眼的观察读数时都会有误差的 存 在，进而影响了实验 精度。如 果在做 实验前 把产生误 差 的主 要原因进 行分析 讲解，并 寻 找改 进的 方 法，效 果将 会 大大提高，该文就这些方面进行了分析讨论。
低实验误差，同时实验操作难度也不大。
关键词：牛顿环 曲率半径 实验精度
中图分类号：O4-34
文献标识码：A
文章编号：1672-3791(2019)03(a)-0227-03
Abstract: Based on the experimental principle of Newton's ring, and based on the characteristics of the reading microscope, the error of the reading measurement error and the error caused by the formula of the radius of cur vature are analyzed systematically. The cause and inf luence are analyzed, and the mathematical formula is deduced to determine its The size of the error, and a method of reducing the error by the composition of the error, and experimental research. It is concluded from the experiment that the measurement error is the main factor, and the improved method of reading the error of Newton's ring experiment is proposed to improve the experimental precision. It is concluded that although the value of n is too large, the experimental error can be reduced, but the experimental operation is also diff icult. Rising, so taking n to 10, can reduce the experimental error, and the experimental operation is not difficult. Key Words: Newton's ring; Radius of curvature; Experimental precision
式所造成的误差大小，分析原因及影响，并对其进行数学公式的推导确定其误差的大小，并由误差的组成来提出一种减小
误差的方法，并对其进行实验探究。从实验中总结发现测量误差是主要因素, 从而提出牛顿环实验读数误差的改进方法，
来提高实验精度，并得出结论n 值取过大时虽然可以降低实验误差，但实验操作难度也随之上升，故将n 取10，既可以降
n 取值 5 10 15
表2 n 值不同牛顿环实验数据结果和误差比较
标称值（mm）
测量值（mm）
绝对误差（mm）
1001.5
1027.2
25.7
1001.5
1020.4
18.9
1001.5
1015.8
14.3
相对误差（%） 2.6 1.9 1.4
由图1中的直角三角形得：
r 2=R 2-(R-e)2=2Re -e 2
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暗环级数
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
暗环左端读数 (mm) 16.235 16.080 15.945 15.820 15.710 15.619 15.520 15.402 15.300 15.200 15.108 15.006 14.914 14.836 14.742 14.658 14.578 14.490 14.418 14.330
由公式（4）可知测量牛顿环干涉图像的第k 级暗环直 径时，需测得第k 级暗环直径两端坐标值S 和L ，在使用读
数显微镜进行测量的时候，每次读数都会由于暗环边缘的 不准确性，而使得读取的数值（S 0和L 0）和真实的数值(S * 和L *)存在着一定的误差(△S 和△L )，尤其误差的来源将其 称之为定位误差。故：S 0=S *+△S，L 0=L *+△L 。
其中S k*和L k*为第k 级暗环直径两端真实值，d k*为第k 级 暗环直径真实值，△S 和△L为读数第k 级暗环直径两端值 时进入的定位误差，△d k为第k 级暗环直径误差值，d k0为 第k 级暗环直径实际读数值。
2.2 读数显微镜读数时的迭代误差
由于使用读数显微镜会对所测第k 级直径产生的定位
学术论坛 DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.07.227
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牛顿环实验读数误差分析及改进方法研究
韩湖斌 (西安科技大学理学院 陕西西安 710054)
摘 要：从牛顿环实验原理出发，并根据读数显微镜的使用特点，系统地分析了读数测量误差的产生及代入曲率半径公
4(k
−
d
∗2 j
− j)λ
+
2∆d
k
d
∗ k
2
4(k
− −
2∆d j)λ
d ∗2
jj
+
∆dk 2 4(k
− −
∆d j 2 j)λ
(7)
因为d >>△d，故将其含有△d 2省略，得：
R
=
d
∗2 k
4(k
− −
d
∗2 j
j)λ
+
2∆d
k
d
∗ k
4(k
− −
2∆d j)λ
j
d
∗ j
(8)
将其式中的
d
∗ k
表1 2组牛顿环实验干涉图像各暗环直径数值
暗环右端读
暗环左端读 暗环右端读
暗环直径(mm) 暗环级数
数(mm)
数(mm)
数(mm)
20.278
4.043
6
20.894
24.959
20.418
4.338
7
20.730
25.100
20.561
4.616
8
20.581
25.240
20.690
4.870
9
20.461
因此在计算第k 级暗环直径时，就会引入定位误差。 由原d k=S k-L k，得d k0= S k*-L k*+△S-△L ，将d k*=S k*-L k*， △d k=△S-△L，得：d k0=d k*+△d k。
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(2)
由于R 一般在几十厘 米至数 米，而e 最大不超 过 几毫 米，所以2Re >>e 2将e 2从式子中省略，得：e = r 2 。
2R
将式（1）代入式（2），求得反射光中明环和暗环的半径
分别为：
r = (2k −1)R λ , k = 1,2,3, 明环
2
(3)
r == kRλ , k = 0，1,2, 暗环
− 2∆d−d源自∗ j2j
d
∗ j
(10)
其中△d
有可能相等，故简化为
δ R
=
2∆d
d
∗ k
+
d
∗ j
，因此相对误
差和△d、d *相关，如果计算代入的(d k*+d j*)>>2△d，则测量
曲率半径的误差将大大减小。
3 牛顿环实验读数误差改进实验研究
光学玻璃应力测量实验的实验平台示意图如图1所示，
由JC D3型读数 显微镜，低 压钠灯电源及 J P 2 0 Na 低 压钠灯
重复牛顿环实验，选出几组典型实验数据(见表1)。
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对数据进行处理，并分别选 n为5、10、15(见表2)。 3.2 分析原因
26.566
21.983
7.405
22
19.220
26.650
22.068
7.578
23
19.133
26.740
22.149
7.721
24
19.056
26.820
22.220
7.890
25
18.978
26.890
暗环直径 (mm) 4.065 4.370 4.659 4.909 5.157 5.384 5.608 5.812 6.017 6.225 6.387 6.568 6.747 6.924 7.102 7.266 7.430 7.607 7.764 7.912
26.029
21.458
6.350
16
19.738
26.125
21.550
6.544
17
19.653
26.221
21.638
6.724
18
19.568
26.315
21.725
6.889
19
19.472
26.396
21.817
7.075
20
19.383
26.485
21.908
7.250
21
19.300
显 然，如 果 测 量 得出k 级 的牛 顿 环圆环 半 径 值 r，进 过
简单的代 入 处 理，即可得 处 平凸透 镜的曲率 半 径 值 R。为
此，在测量的时候，要测出同一圆环直径两端的值S 和L ，
则该圆环的直径为：
d =S -L
(4)
对实验数据进行处理时，选择逐差法来处理，逐差法
处理有着充分利用数据的作用，还有着消除系统误差所带
δ
δ = 2e + λ = kλ,
=
2e +
λ
2 = (2k
+ 1)
2
λ 2
k ,k
= =
10,，21,,23,,明暗环环
(1)
图1 牛顿环实验装置结构
图2 读数显微镜的目镜视场
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误 差，把具 有误 差的直径值代入公式（4）而产生的误 差
值，由其产生原因将其称之为迭代误差。
由
d
0 k
=d
k*+△d
k
d
0 j
=d
j*+△d
j
代入公式（5）
R
=
d
2 k
4(k
− −
d
2 j
j)λ
得：
R
=
(d
∗ k
+
∆dk )2 4(k
− −
(d
∗ j
j)λ
+
∆d
j )2
(6)
化简得：
R
=
d
∗2 k
来的影响，故得出曲率半径值比较准确，再者测量暗环的
位置比较明显，故利用暗环测R 。
由式（3）得：
rj2
=
d
2 j
4
=
jRλ ， rj2
=
d
2 j
4
=
jRλ
两式相减得：
R
=
d
2 k
4(k
−
d
2 j
− j)λ
=
∆d 2 4(k − j)λ
(5)
由此得出曲率半径计算公式。
2 牛顿环读数误差分析研究 2.1 读数显微镜读数时的定位误差
1 牛顿环实验理论原理 牛 顿 环 实 验 装 置 结 构 如图1所 示，在一块 水平的玻 璃
片B上放一曲率半径R 很大的平凸透镜A，上下2块玻璃用3 个固定螺丝连接，用来调节A 和B 的相对位置，以改变牛顿 环的形状和位置。
设透镜的曲率半径为R，与平板玻璃的接触点O 距离r 处的空气薄 膜的厚度为e ，由于 平板 玻 璃 上的表面的反 射 光线有半波损失，所以空气薄膜上下表面的反射光之间的 光程差[1]：
25.370
20.812
5.102
10
20.335
25.492
20.934
5.315
11
20.224
25.608
21.048
5.528
12
20.112
25.720
21.160
5.758
13
20.011
25.823
21.260
5.960
14
19.913
25.930
21.358
6.158
15
19.804
（波长为589.3nm）和牛顿环仪，A为平凸透镜，B 为平板玻
璃。
3.1 研究不同n 值对实验结果的影响
利用图1所示搭建的牛顿环实验平台进行实验测量，
选 取曲率 半 径为10 01. 5m m的牛顿 环 作为实验 对 象。记录
各暗环的直径两端数值，并对实验数据处理时，分别取不
同的n值，观察实验结果的影响。