北京市宣武区达标名校2020年高考三月数学模拟试卷含解析

北京市宣武区达标名校2020年高考三月数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线
的焦点是双曲线
的右焦点，点是曲线
的交点，
点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）
A ．1
B ．
53
C ．2
D ．
73
3．
2020
1i i
=-（ ） A ．2
2
B ． 2
C ．1
D ．1
4
4．函数ln ||
()x
x x f x e =
的大致图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种
B ．12种
C ．16种
D ．20种
6．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）
A．
3
2
b B．
1
2
b C．3
2
b
-D．
1
2
b
-
7．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．
A．2B．3C．1 D．6
8．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．
A．26B．4C．23D．22
9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．72 B．64 C．48 D．32
10．如图，在ABC
∆中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PA PC
+=（）
A ．
1233
BA BC + B ．
57
99
BA BC + C ．
110
99
BA BC + D ．
27
99
BA BC + 11．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )
A ．10
B ．50
C ．60
D ．140
12．抛物线
的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23
AFB π
∠=
，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则
MN AB
的最大值是（ ）
A ．
3 B ．
3 C ．
3 D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数f （x ）＝x 2﹣xlnx 的图象在x ＝1处的切线方程为_____. 14．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2
π
α+
的值等于______________ .
15．如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且3AC AE =，P 为BE 上一点，且满足
(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则
13
3n m
++的最小值为______．
16．已知集合{}02A x x =<<，{
}11B x x =-<<，则A
B =_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数21()4ln 2
f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；
（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭零点的个数. 18．已知圆M
：
(2
2
64x y
++=
及定点()
N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G
在MA 上，且满足2NA NB =，0GB NA ⋅=，点G 的轨迹为曲线C. （1）求曲线C 的方程；
（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线1
2y x =和12
y x =-分别交于P 、Q 两点.当1
2
k >
时，求OPQ ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围. 19．（6分）已知函数2
()x f x ae x =-.
（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围. （2）当1a ≥时，证明：2
3()12
f x x x +-
. 20．（6分）已知数列{}n a 的各项都为正数，12a =，且11
21n n
n n a a a a ++=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设()2lg log n n b a =⎡⎤⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=，求数列{}n b 的前2020项和．
21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，设1m ，过点(,0)m 的直线l 与圆22
:1P x y +=相切，且与抛物
线2
:2Q y x =相交于,A B 两点．
（1）当m 在区间[1,)+∞上变动时，求AB 中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为F ，求ABF 的周长(用m 表示)，并写出2m =时该周长的具体取值．
22．（8分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
23．（8分）设直线l 与抛物线2
2x y =交于,A B 两点，与椭圆22
142
x y +=交于,C D 两点，设直线
,OA ,OB ,OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1,k 2,k 3,k 4k ，若OA OB ⊥.
（1）证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数λ，满足()1234k k k k λ+=+？并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．A 【解析】 【分析】
先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率. 【详解】
由题意知，抛物线焦点
，准线与x 轴交点
，双曲线半焦距
，设点
是
以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上， 所以
抛物线的准线，从而
轴，所以
，
即
故双曲线的离心率为
故选A 【点睛】
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题. 2．B
【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k 即可. 【详解】
可行域如图中阴影部分所示，22,111B k k ⎛⎫+
⎪--⎝⎭，421,2121k C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，要使得z 能取到最大值，则1k >，当12k <≤时，x 在点B 处取得最大值，即2221211k k ⎛⎫⎛⎫
-+=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，得53k =；当2k >时，z 在点C 处取得最大值，即421222121k k k -⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，得76k =（舍去）.
故选:B.
【点睛】
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题. 3．A 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法法则将复数2020
1i i
-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()
505
2020
4505
1
1i
i
===，
()()20201111
111122
i i i i i i i +===+---+， 因此，2
2
20201121222i i ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12
f -<判断A 选项正确. 【详解】
1.1
1.1ln |1.1|
( 1.1)0f e --=
<，排除掉C ，D ；
12
11ln 122()2
f e
---=
=
1
ln 22
<
=2
，
1
()12
f ∴-=<.
故选：A ． 【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】
分两类进行讨论：物理和历史只选一门；物理和历史都选，分别求出两种情况对应的组合数，即可求出结果. 【详解】
若一名学生只选物理和历史中的一门，则有12
2412C C =种组合； 若一名学生物理和历史都选，则有1
44C =种组合；
因此共有12416+=种组合. 故选C 【点睛】
本题主要考查两个计数原理，熟记其计数原理的概念，即可求出结果，属于常考题型. 6．D 【解析】 【分析】
设非零向量a 与b 的夹角为θ，在等式23a b b -=两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b 在向量a 方向上的投影为cos b θ，即可得解. 【详解】
2b a =，由23a b b -=得22
23a b b -=，整理得22220a a b b -⋅-=，
2
2
222cos 40a a a a θ∴-⨯-=，解得1
cos 2θ=-，
因此，向量b 在向量a 方向上的投影为1
cos 2
b b θ=-.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】
首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【详解】
解：根据三视图还原几何体如图所示，
所以，该四棱锥体的最长的棱长为2221113l =++ 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 8．A 【解析】 【分析】
作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】
根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，
PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，
∴22222PB =
+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】
本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题． 9．B 【解析】 【分析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为1
445443643
V V V =-=⨯⨯-⨯⨯⨯=柱锥，故选B 。

【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。

求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

10．B 【解析】 【分析】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将1
3BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA
=-
代入化简即可. 【详解】
2
3PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-
2
()3BA BC BA AQ =+-+
1233BA BC =+-⨯1
3
AC 1257
()3999
BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 11．C 【解析】
从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为15
2006050
⨯=，故选C 12．B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，
所以111
()2
MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222
AB AF BF =+22cos
3
AF BF π-22AF BF AF BF =++2
()AF BF AF BF =+-
2()AF BF ≥+2(
)2
AF BF
+-23()4AF BF =+，所以2
2
()43AF BF AB
+≤，即3AF BF AB +≤，
所以
3
MN AB
≤
，故选B ． 考点：抛物线的性质．
【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．x ﹣y ＝0.
【解析】
【分析】
先将x ＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意得()2ln 1,(1)1,(1)1f x x x f f ''=--==.
故切线方程为y ﹣1＝x ﹣1，即x ﹣y ＝0.
故答案为：x ﹣y ＝0.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.
14．45
- 【解析】
【分析】
根据题意可得sin 2cos αα=，再由22sin cos 1αα+=，即可得到结论.
【详解】
由题意，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得cos α=，
当cos 5α=时，则sin 5
α=，
此时4cos 2sin 222555
παα⎛
⎫+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭；
当cos α=时，则sin α=，
此时4cos 2sin 2225παα⎛⎛⎛⎫+=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
综上，4cos 225πα⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭. 故答案为：45
-
. 【点睛】 本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.
15．15
【解析】
试题分析：根据题意有3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，因为,,B P E 三点共线，所以有31m n +=，从而有13139(3)()33m n m n n m n m n m +=++=+++62912≥+=，所以的最小值是12315+=．
考点：向量的运算，基本不等式． 【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题中条件的转化3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，根据,,B P E 三点共线，结合向量的性质可知31m n +=，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加3，得出最后的答案．
16．()0,1
【解析】
【分析】
根据交集的定义即可写出答案。

【详解】
{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，(0,1)A B =
故填()0,1
【点睛】
本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.
(2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x
-+=实数根,再换元将原方程转化为
2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t
=的图像数形结合求解即可. 【详解】
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x
-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.
（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x
-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,
max 2()()h t h e e ==
,当1t e
=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知
①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；
②当20b e <<
时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =
时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e
>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】
本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.
18．（1）22
1164
x y +=；（2）()8,+∞. 【解析】
【分析】
（1）根据题意得到GB 是线段AN 的中垂线，从而GM GN +为定值，根据椭圆定义可知点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，即可求出曲线C 的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处OPQ ∆的面积
代入韦达定理化简即可求范围.
【详解】
（1）20NA NB B GB NA ⎧=⇒⎨⋅=⎩
为AN 的中点，且GB AN GB ⊥⇒是线段AN 的中垂线， AG GN ∴=
，又8GM GN GM GA AM MN +=+==>=，
∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆， 设椭圆方程为22
221x y a b
+=（0a b >>）， 则4a =
，c =
，2b ∴=，
所以曲线C 的方程为22
1164
x y +=. （2）设直线l ：y kx m =+（12
k ≠±）， 由22416
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得()2221484160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以()()2222644144160k m k m ∆=-+-=，22164m k =+.①
又由20
y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭；同理可得2,1212m m Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 由原点O 到直线PQ
的距离为d =
P Q PQ x =-， 可得22111222222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k
∆=⋅=-=⋅+=-+-.② 将①代入②得222224181441OPQ
m k S k k ∆+==--， 当2
14k >时，22241288184141OPQ k S k k ∆⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 综上，OPQ ∆面积的取值范围是()8,+∞.
【点睛】
此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.
19．（1）2a e
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）()20x f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，2x x a e =，设2()x
x g x e =，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案.
（2）证明23()12f x x x +-，只需证22312x e x x x -+-，记21()12x h x e x x =+--，求导得到函数的单调性，得到函数的最小值，得到证明.
【详解】
（1）由题可得，()20x f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，
则2x x a e =，令2()x x g x e =，22()x x g x e
-'=， 当1x <时，()0,()'>g x g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减.
所以1x =是()g x 的最大值点，所以2a
e . （2）由1,x x a ae e ∴，所以2()x
f x e x -，
要证明23()12f x x x +-
，只需证22312x e x x x -+-，即证21102x e x x +--. 记21()1,()1,()2
x x h x e x x h x e x h x ''=+--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '>单调递增.
所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =，则21102x e x x +--， 故23()12
f x x x +-
. 【点睛】 本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.
20．（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）4953
【解析】
【分析】
（Ⅰ）递推公式变形为()()1120n n n n a a a a +++-=，由数列是正项数列，得到12n n a a +=，根据数列是等比数列求通项公式；
（Ⅱ）()2lg log [lg ]n n b a n ==⎡⎤⎣⎦，根据新定义和对数的运算分类讨论数列{}n b 的通项公式，并求前2020项和．
【详解】
（Ⅰ）∵11
21n n n n a a a a ++=+，∴221120n n n n a a a a ++--=，∴()()1120n n n n a a a a +++-= 又∵数列{}n a 的各项都为正数，∴120n n a a +-=，即12n n a a +=．
∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2n n a =．
（Ⅱ）∵()2lg log [lg ]n n b a n ==⎡⎤⎣⎦，∴0,1101,101002,1001000
3,10002020
n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤≤⎩，n *∈N ． ∴数列{}n b 的前2020项的和为1902900310214953⨯+⨯+⨯=．
【点睛】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前n 项和，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.
21．（1
）2x y =+（2）ABF
的周长为22212m m +-+2m =时，ABF
的周长为11+【解析】
【分析】
（1）设l 的方程为x ky m =+
1=，将直线方程与抛物线
方程联立可得2220y ky m --=，设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y ,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得12||||AF BF p x x +=++，由（1）可得2||||221AF BF m m +=+-，再
利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设l 的方程为x ky m =+
2211k m =⇒=-
联立222202x ky m y ky m y x
=+⎧⇒--=⎨=⎩ 设A ､B 坐标分别是()11,x y ､()22,x y
则12212
222y y k x x k m +=⎧⎨+=+⎩
设AB 的中点坐标为(,)x y ，则
221x k m m m y k ⎧=+=-+⎪⎨==⎪⎩ 消去参数m
得：2x y =（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义知
1||2p AF x =+，2||2
p BF x =+，1p = ∴12||||AF BF p x x +=++
由（1）知()
221222212x x k m m m +=+=-+
∴2||||221AF BF m m +=+-
||AB ==
= 122y y k +=，122y y m ⋅=-，221k m =
-
||2AB ==
ABF 的周长为22212m m +-+2m =
时，ABF 的周长为11+【点睛】 本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
22．（1）
35．（2）45
． 【解析】
【分析】
（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．
（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y ＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y ＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y ＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y ＞0，由此能估计估计Y 大于零的概率．
【详解】
解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p 543905=
=． （2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y ＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y ＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y ＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y ＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y 大于零的概率P 724905
=
=． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 23．（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）设直线l 的方程为y=kx+b 代入抛物线的方程，利用OA ⊥OB ，求出b ，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出12k k +，34k k +，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得12x x +，
12x x ，34x x +，34x x 代入12k k +，34k k +，化简即可求解.
【详解】
（1）证明：由题知，直线l 的斜率存在且不过原点，
故设:(0),l y kx b b =+≠()11,,A x y ()22,B x y
由22y kx b x y
=+⎧⎨=⎩可得2220x kx b --=， 12122,2x x k x x b ∴+==-.
,OA OB ⊥0OA OB ∴⋅=，
()212121212
04x x x x y y x x ∴+=+=，
故2b = 所以直线l 的方程为2y kx =+
故直线l 恒过定点(0,2).
（2）由（1）知122,x x k +=124x x =-
121212
y y k k x x ∴+=+ 1212
22kx kx x x ++=+ 12222k x x =+
+ ()1212
22x x k x x +=+k = 设()33,,C x y ()44,D x y 由22214
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2212840k x kx +++=， 3428,12k x x k ∴+=-+342412x x k =+ 343434
y y k k x x ∴+=+ 3434
22kx kx x x ++=+ 34222k x x =+
+ ()3434
22x x k x x +=+ 2k =-
()123412
k k k k ∴+=-
+，即存在常数12λ=-满足题意. 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。