2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案：第二章 2.2 2.2.2 反证法

2．2.2反证法
预习课本P42～43，思考并完成下列问题
(1)反证法的定义是什么？有什么特点？
(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？
[新知初探]
反证法的定义及证题的关键
[点睛]对反证法概念的理解
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．
(2)反证法属“间接解题方法”．
2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系
(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．
(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反证法属于间接证明问题的方法．()
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()
答案：(1)√(2)×(3)√
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()
①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论A．①②B．①②④
C．①②③D．②③
答案：C
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数()
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
答案：C
4．用反证法证明“如果a＞b，那么3
a＞
3
b”，假设的内容应是________．
答案：3
a≤
3
b
用反证法证明否定性命题
[典例]已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．
[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，
即a＋c＋2ac＝4b.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，
∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故a，b，c不成等差数列．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
[活学活用]
已知f (x )＝a x ＋x －2
x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．
证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0＜0且x 0≠－1，且ax 0＝－x 0－2
x 0＋1
， 由0＜ax 0＜1⇒0＜－
x 0－2
x 0＋1
＜1， 解得1
2＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立，
故方程f (x )＝0没有负数根.
用反证法证明“至多”“至少”问题
[2220，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．
[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即： ⎩⎪⎨⎪
⎧
(4a )2
－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－32＜a ＜12
，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.
这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解． [一题多变]
1．[变条件，变设问]将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？
解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧
16a 2
－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2
＜0，
4a 2＋8a ＜0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
－32＜a ＜12
，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.
故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
a ⎪
⎪
a ≥－1或a ≤－32. 2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．
解：假设三个方程都有实数根，则 ⎩⎪⎨⎪
⎧
(4a )2
－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2＋4a －3≥0，3a 2
＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤－3
2或a ≥1
2
，－1≤a ≤13
，a ≤－2或a ≥0.
即a ∈∅.
所以实数a 的取值范围为实数R.
3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．
证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.
而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，
∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．
用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点
(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，
常用反证法．
用反证法证明唯一性命题
[典例]
[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
巧用反证法证明唯一性命题
(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．
(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．
[活学活用]
求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．
证明：已知：直线b∥a，A∉a，A∈b，
求证：直线b唯一．
假设过点A还有一条直线b′∥a.
根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，
与b∩b′＝A矛盾，∴假设不成立，原命题成立．
层级一学业水平达标
1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为()
A．①②③B．③①②
C．①③②D．②③①
解析：选B根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
解析：选B“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是() A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
解析：选B“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
解析：选C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.
5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a ＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．
6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．
答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.
答案：a≠1或b≠1
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．
解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB⊂α，CD ⊂α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．
答案：异面
9．求证：1，3，2不能为同一等差数列的三项．
证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，
则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m，n为两个正整数，
由上面两式消去d，得n＋2m＝3(n＋m)．
因为n＋2m为有理数，而3(n＋m)为无理数，
所以n＋2m≠3(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，
即1，3，2不能为同一等差数列的三项．
10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．
解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．
用反证法证明如下：
假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．
同理可得f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．
层级二应试能力达标
1．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax＝b(a≠0)()
A．无解B．有两解
C．至少有两解D．无解或至少有两解
解析：选D“唯一”的否定是“至少两解或无解”．
2．下列四个命题中错误的是()
A．在△ABC中，若∠A＝90°，则∠B一定是锐角
B.17，13，11不可能成等差数列
C．在△ABC中，若a＞b＞c，则∠C＞60°
D ．若n 为整数且n 2为偶数，则n 是偶数
解析：选C 显然A 、B 、D 命题均真，C 项中若a ＞b ＞c ，则∠A ＞∠B ＞∠C ，若∠C ＞60°，则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°与∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°矛盾，故选C.
3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a ( )
A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
解析：选C 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a ＞－6，但⎝⎛⎭⎫a ＋1
b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1
c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭
⎫c ＋1
c ≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 4．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
解析：选B 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC ＞∠BAD ，∠ADC ＞∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π
2
时，才符合题意． 5．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a ＞b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .
答案：0
6．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．
证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________＝________＝0. 但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数． 解析：据题目要求及解题步骤， ∵a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，
∴(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7)也为奇数． 即(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)为奇数． 又∵a 1，a 2，...，a 7是1,2，...，7的一个排列， ∴a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0， 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)
7．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于1
4.
证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于1
4.
因为0＜a ＜1,0＜b ＜1,0＜c ＜1， 所以1－a ＞0.由基本不等式， 得
(1－a )＋b
2
≥(1－a )b ＞14＝12
. 同理，
(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞1
2
. 将这三个不等式两边分别相加，得
(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞12＋12＋12， 即32＞3
2
，这是不成立的， 故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于1
4
.
8．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )
1－a n ＋1
，a n a n ＋1＜0(n ≥1)；数列{b n }满足：
b n ＝a 2n ＋1－a 2
n (n ≥1)．
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． 解：(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2
n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23
c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝⎛⎭
⎫23n －1，
故1－a 2n ＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1⇒a 2n
＝1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1
. 又a 1＝1
2＞0，a n a n ＋1＜0，
故a n ＝(－1)n －
1
1－34·⎝⎛⎭
⎫23n －1.
b n ＝a 2n ＋1－a 2n
＝⎣⎡⎦⎤1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1－34·⎝⎛⎭⎫23n －1＝14·⎝⎛⎭⎫23n －1. (2)用反证法证明．
假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为2
3
的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14·⎝⎛⎭⎫23s －1＝14·⎝⎛⎭⎫23r －1＋14·⎝⎛⎭
⎫23t －1
，
两边同乘以3t －
121－
r ，化简得3t －
r ＋2t －
r ＝2·2s －
r 3t －
s .
由于r ＜s ＜t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理
D ．非以上答案
解析：选C 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( ) A ．正确
B ．推理形式不正确
C ．两个“自然数”概念不一致
D ．“两个整数”概念不一致
解析：选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数． 则说法中正确的个数有( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．
4．下列推理正确的是()
A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为()
A．(3,9) B．(4,8)
C．(3,10) D．(4,9)
解析：选D因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.
6．求证：2＋3> 5.
证明：因为2＋3和5都是正数，
所以为了证明2＋3>5，
只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，
即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法B．分析法
C．综合法、分析法配合使用D．间接证法
解析：选B证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．可能是等比数列也可能是等差数列
D．一定不是等比数列
解析：选C设等比数列{a n}的公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n
＋a n ＋1}一定是等比数列；
当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0
D ．不大于0
解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 2
2
≤0.
法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.
10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －
1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，
那么a ，b ，c 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝c ＝1
4
B ．a ＝b ＝c ＝1
4
C ．a ＝0，b ＝c ＝1
4
D ．不存在这样的a ，b ，c
解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪
⎧
3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.
所以a ＝12，b ＝c ＝14
.
11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )
A ．S n ＝2n
n ＋1
B ．S n ＝
3n －1
n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1
n ＋2
D ．S n ＝
2n
n ＋2
解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝1
6，
S 3＝32＝6
4
；
又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85
.
由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝8
5可以猜想S n ＝2n n ＋1
.
12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )
A.1 C ．4
D ．5
解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．
答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lg
a ＋
b 2，n ＝lg a ＋b
2
，则m ，n 的大小关系是________． 解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b
2>lg a ＋b
2
. 答案：m >n 15．已知 2＋2
3
＝223
， 3＋38
＝338
， 4＋415
＝ 4
4
15，…， 6＋a b ＝6a
b
，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.
解析：由题意归纳推理得
6＋a b ＝6
a b
，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：41
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都
是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2
4.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某
顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 3
8
.
答案：a
3
8
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b
2
； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b
2
≥ab ， ∴lg a ＋b 2
≥lg ab ，
∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.
(2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n
1＋a n
(n ＝1,2，…)． (1)求证：a n ＋1≠a n ；
(2)令a 1＝1
2，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求
证明)．
解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n
1＋a n ＝a n
， 解得a n ＝0或1.
从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．
(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝16
17，由此猜想：a n ＝2n －1
2n －1＋1.
19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.
(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．
证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．
(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．
证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－1
2，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－
2<m <－12，∴1
4
＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．
解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．
20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n
n (n ∈N *)，
求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得⎩⎨⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
∴d ＝2.
故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n
n ＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0，
∵p ，q ，r ∈N *
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
q 2
－pr ＝0，
2q －p －r ＝0，
∴⎝⎛⎭
⎫p ＋r 22
＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．
∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．
21．(本小题满分12分)已知：sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝3
2
，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2
125°＝32，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并
给予证明．
解：一般形式为：
sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝3
2.
证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)
2＋
1－cos (2α＋240°)2
＝32－1
2
[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－1
2(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝3
2＝右边． 将一般形式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32也正确
22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：
(1)用分析法证明：已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b |
|a ＋b |≤2；
(2)用反证法证明：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项． 证明：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b |
|a ＋b |
≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤ 2|a ＋b |，
只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，
只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证．
(2)假设1，2，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m ，n ，k 项(m ，n ，k ∈N *)， 则数列的公差d ＝
2－1n －m ＝3－1k －m ，即2－1＝2(n －m )
k －m
， 因为m ，n ，k ∈N *，所以(n －m )∈Z ，(k －m )∈Z ，所以2(n －m )
k －m
为有理数， 所以2－1是有理数，这与2－1是无理数相矛盾．
故假设不成立，所以1，2，3不可能是一个等差数列的三项．。