数学竞赛辅导(三角形五心)

锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆
半径之和的2倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。B
数学竞赛辅导
三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． ∠BOC=2∠BAC 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 欧拉线
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三 角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂 心组”．
（3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
Example six
△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心. 证明OE丄CD.
Example seven
A
M
F
E
K I
DH
C
四、重心的性质
Байду номын сангаас
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心
三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2
空间直角坐标系：
横坐标：(X1+X2+X3)/3
B
纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3
竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F
E
G
D
C
五、旁心的性质
A
BD
C
F
E
Ia
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切 圆圆心)
三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高 的垂足三角形的旁心与内心。
六、三角形的五心的综合性质
（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂 心；
（2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三 角形的垂心；
Proof one
Proof one
五点共圆
Second try
Example eight
Example eight
Example nine
Exercise one
Exercise ten