高中数学第1章优化总结精品课件苏教版必修

上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线 AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，
求这条绳子长度的最小值．
【分析】 (1)作出圆台的侧面展开图，将问题 转化为在平面图形中求线段长问题． (2)几何体表面上两点间的最小距离常常转化 为求其展开图中的直线段长，充分利用侧面展 开图的特征及平面中直线段最短进行转化求 解．
2 2 2
空间几何体的最值问题
将空间几何体的表 (侧)面展开，化折(曲)为直， 使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间 问题平面化，是解决立体几何问题最基本、最 常用的方法．将空间图形展开成平面图形后， 弄清几何体中的有关点和线在展开图中的相应 关系是解题的关键．
例5
如图所示，圆台母线AB长为20 cm，
2 由已知，可得 GM＝ . 2 由 NG∥FA，FA⊥GM，得 NG⊥GM. GM 1 在 Rt△NGM 中，tan∠GNM＝ ＝ . NG 4 1 所以二面角 B－EF－A 的正切值为 . 4
空间几何体的表面积和体 积计算
空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个 常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各 类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次 要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成 几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳 入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体 作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的 技巧等．
【证明】 (1)如图所示，取 EC 的中点 F，连 结 DF，易知 DF∥BC， ∵EC⊥BC，∴DF⊥EC. 在 Rt△DFE 和 Rt△DBA 中， 1 ∵EF＝ EC＝BD，FD＝BC＝AB， 2 ∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故 DE＝DA.
(2)取 CA 的中点 N， 连结 MN， BN， 则 MN ∴MN∥BD，即 N 点在平面 BDM 内． ∵EC⊥平面 ABC，∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN，∴BN⊥平面 ECA. ∵BN⊂平面 MNBD， ∴平面 MNBD⊥平面 ECA. 即平面 BDM⊥平面 ECA.
(2)证明：如图，过点B作BG∥CD，交AD于 点G， 则∠BGA＝∠CDA＝45°. 由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB， 从而CD⊥AB. 又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面 ABF.
(3)由(2)及已知，可得 AG＝ 2，即 G 为 AD 的 中点． 取 EF 的中点 N，连结 GN，则 GN⊥EF. 因为 BC∥AD，所以 BC∥EF. 过点 N 作 NM⊥EF，交 BC 于点 M， 则∠GNM 为二面角 B－EF－A 的平面角． 连结 GM，可得 AD⊥平面 GNM， 故 AD⊥GM，从而 BC⊥GM.
1 2 15 CM＝DM＝ BC －BM ＝ 2 －（ ） ＝ . 2 2 取 CD 的中点 N，连结 MN，则 MN⊥CD. 15 2 1 2 14 2 2 ∴MN＝ CM －CN ＝ （ ） －（ ） ＝ . 2 2 2 1 1 14 14 从而 S△CDM＝ CD·MN＝ ×1× ＝ ， 2 2 2 4 1 1 ∴ VA － BCD ＝ VA － CDM ＋ VB － CDM ＝ S △ CDM · AM ＋ S △ 3 3 1 1 14 14 ×1＝ . CDM·BM＝ S△CDM·AB＝ × 3 3 4 12
空间中的垂直问题
空间线面垂直关系的证明依据是空间线面垂 直、面面垂直的判定定理和性质定理，以及线 线垂直的一些常用结论，要熟练掌握这些定理 的表达语言、表达符号和表达图形，这是证明 空间垂直关系的重要前提．证明空间垂直关系 的基本思想是转化，证明空间垂直关系的重点 是线面垂直，证明线面垂直就要证明线线垂直， 而线线垂直的证明又要通过线面垂直实现，线 面垂直的证明就是在这种垂直关系的互相转 化中实现的，包括面面垂直的证明．
在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制 条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经 过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束 性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定 理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理 的规律性．空间中的垂直关系是比平行关系更 重要更灵活多变的一种重要关系．“转 化”“降维”是重要的思想方法和解题技巧， 应在学习中提炼这些方法．
答案：(1)③⑤
(2)②⑤
2.已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为
异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成角的 大小为________．
解析：过二面角内一点P作PA，PB分别垂直
于二面角的两个半平面，则PA，PB所成的角 即为m，n所成的角．又∠APB与二面角的平
面角互补，故m，n所成的角(0°<θ≤90°)为
例4 已知三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝1， BC＝BD＝AC＝AD＝2.求三棱锥 A－BCD 的 体积．
【分析】
如图所示，直接求三棱锥的体积，
不易求底面积和高，由BC＝AC，BD＝AD，联 想取AB的中点M，连结MC、MD，将三棱锥分 割成两个较易求体积的三棱锥．
【解】 如图所示， 取 AB 的中点 M， 连结 CM、 DM， 则平面 CDM 把三棱锥分成两个小三棱锥． ∵AC＝BC，∴AB⊥CM. ∵AD＝BD，∴AB⊥DM. ∵CM∩DM＝M， ∴AB⊥平面 CDM.
【证明】 法一：(用“面面平行⇒线面平行”) 如图所示，在平面 AA1B1B 内，作 MK∥A1B1， B1M B1K 交 BB1 于 K 点，连结 KN，则易知 ＝ ，而 MA KB B1M C1N B1K C1N 已知 ＝ ，∴ ＝ ，则 KN∥B1C1. MA NB KB NB
又MK∩KN＝K，A1B1∩B1C1＝B1.
∴平面MKN∥平面A1B1C1D1. 而MN⊂平平行⇒线面平行) 如图所示，连结 BM 并延长交 A1B1 于 P 点， 连结 PC1，则可证 B1M PM △B1MP∽△AMB，∴ ＝ . MA MB B1M C1N PM C1N 又已知 ＝ ，∴ ＝ ， MA NB MB NB 则易得 MN∥PC1，而 PC1⊂平面 A1B1C1D1， ∴MN∥平面 A1B1C1D1.
答案：2＋4 2
4.如图，已知平面 α∩平面 β＝AB，PC⊥α ， PD⊥β ，垂足分别是 C，D. (1)求证：AB⊥平面 PCD； (2)若 PC＝PD＝1，CD＝ 2，试判断平面 α 与 平面 β 的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)证明：因为 PC⊥α，AB⊂α ，所以 PC⊥AB. 同理 PD⊥AB.又 PC∩PD＝P，故 AB⊥平面 PCD. (2)设 AB 与平面 PCD 的交点为 H，连结 CH，DH. 因为 AB⊥平面 PCD，所以 AB⊥CH，AB⊥DH， 所以∠CHD 是二面角 C－AB－D 的平面角． 又 PC＝PD＝1，CD＝ 2，所以 CD2＝PC2＋ PD2 ＝2，即∠CPD＝90°. 在平面四边形 PCHD 中， ∠PCH＝∠PDH＝∠CPD ＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面 α⊥平面 β.
60°. 答案：60°
3.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为 1 cm， 那么该棱柱的表面积为________ cm2.
解析：设正四棱柱的高为 h，则有 h2＋12＋12 ＝ 4 ，∴ h ＝ 2 cm ，故该正棱柱的表面积为 2×12＋4 2＝2＋4 2(cm2)．
【解】 如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的 圆锥．连结 MB′，在圆台的轴截面中， ∵Rt△OPA∽Rt△OQB， OA PA ∴ ＝ ， OA＋AB QB 5 OA ∴ ＝ . OA＋AB 10 ∴OA＝20 (cm)．
设∠BOB′＝α， 由扇形弧 BB′的长与底面圆 Q 的周长相等，得 2×10× π ＝ 2 × OB × π × α ， 360° α 即 20π ＝2×(20＋20)π × ， 360° ∴α ＝90°. ∴在 Rt△B′OM 中， B′M＝ OM2＋OB′2 ＝ 302＋402 ＝ 50(cm)． 即所求绳长的最小值为 50 cm.
第1章
立体几何初步
本章优化总结
知 识 体 系 构 建
专 题 归 纳 整 合
空间中的平行问题
在解决线面、 面面平行问题时， 一般遵循从“低 维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到 “线面平行”，再到“面面平行”，而利用性 质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定 理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化 的方法总是受具体题目的条件决定，不能过于 呆板僵化，遵循规律而不受制于规律．
例2 如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平 面 ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点．求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA.
【分析】 证明“面面垂直”一般有两种方法， 一是利用定义，证明二面角的平面角是直角； 二是利用判定定理．
【分析】
求角．
先做出要求的角，再在三角形中
【解】 (1)因为四边形 ADEF 是正方形， 所以 FA∥ED. 所以∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角． 因为 FA⊥平面 ABCD，所以 FA⊥CD. 故 ED⊥CD. 在 Rt△CDE 中，CD＝1，ED＝2 2， CE＝ CD2＋ED2＝3， ED 2 2 所以 cos∠CED＝ ＝ . CE 3 2 2 所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 . 3
2.直线和平面所成的角．当直线为平面的斜线 时，它是斜线和斜线在平面内的射影所成的角， 可按照定义作出并找到这个锐角，然后通过解 直角三角形加以求出． 3.二面角．二面角是通过其平面角的大小来度 量的，作二面角的平面角主要有定义法、垂面 法．
例3 (2010· 高考天津卷)如图，在五面体 ABCDEF 中， 四边形 ADEF 是正方形， FA⊥平 面 ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2 2 ，∠ BAD＝∠CDA＝45°. (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； (2)证明 CD⊥平面 ABF； (3)求二面角 B－EF－A 的正切值．
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是对角线 AB1，BC1 上的点，且 B1M C1N ＝ ，求证：MN∥平面 A1B1C1D1. MA NB
例1
【分析】 证明线面平行的思路有两个： (1)用“面面平行⇒线面平行”； (2)添加辅助线， 创造使用线面平行判定定理的条件．
专题集训
1.已知平面α ， β 和直线 m， 给出条件： ①m∥α； ②m⊥α；③m⊂α ；④α ⊥β ；⑤α ∥β . (1)当满足条件________时，有 m∥β； (2)当满足条件________时，有 m⊥β.(填所选条 件的序号)
解析：要找m∥β，m⊥β的条件，不一定能用
常规的线面平行与垂直的判定定理，综合本 题条件可用面面平行的性质定理．
1 EC， 2
(3)由(2)可知MNBD为平行四边形，
∴DM∥BN， 又∵BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
空间角的计算
1.两条异面直线所成的角．求两条异面直线所成 的角一般通过平移 (在所给图形内平移一条直线 或平移两条直线)， 或补形(补形的目的仍是平移)， 把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计 算；平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位 线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形 补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、 平行六面体、正棱柱、正棱锥等)．