高考数学总复习 27 幂函数课件 苏教版

第7节 幂函数
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【知识梳理】 1．幂函数的定义 形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是 自变量 ，α 为 常数(ch．ángshù) 2．幂函数的图象
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3．幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x12，y＝1x，y＝x3 的性质

y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12
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(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，解得 m＝－1.
所以当 m＝－1 时，f(x)为反比例函数．
(3)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1.
∴m＝－1± 2，
又 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴m2＋m－1＞0.
即 m＞
52－1或
－ m＜
25－1，
所以 m＝－1－ 2.
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【点评】 函数 y＝kx(k≠0)是正比例函数，函数 y＝kx(k≠0)为 反比例函数，函数 y＝xα 是幂函数，熟练地掌握这些函数的概念是解 决本题的关键．
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1．已知 y＝(m2＋2m－2)·xm21－1＋(2n－3)是幂函数，求 m、n 的值．
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◆方法与技巧 1．幂函数 y＝xα(α∈R)，其中 α 为常数，其本质特征是以幂的 底 x 为自变量，指数 α 为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的 重要依据和惟一标准．应当注意并不是任意的一次函数、二次函数 都是幂函数，如 y＝x＋1，y＝x2－2x 等都不是幂函数． 2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中 每个幂值与 0,1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同 一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小 关系．
解：∵y＝(m2＋2m－2)·xm21－1＋(2n－3)为幂函数． ∴m2＋2m－2＝1 且 2n－3＝0. ∴m＝－3，m＝1 且 n＝32. 又 m2－1≠0，∴m＝－3 且 n＝32.
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考向二 幂函数的图象 若点 A( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点 B－2，41在幂
解析：设 y＝xα，则 3
3＝
33α，α＝－3.∴y＝x－3.
答案：x－3
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4．(2013·江苏省启东中学高三月考)幂函数 f(x)的图象过点(2， 2)，则 f－1(4)的值________．
答案：16 5．设 a＝5325，b＝5235，c＝5225，则 a，b，c 的大小关系是________． 解析：∵35>25，∴5325>2525， 即 a>c. ∵0<25<1，∴5235<2525，即 b<c，∴a>c>b. 答案：a>b>c
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考向四 幂函数的综合应用 已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函
数，求 y 的解析式并讨论其单调性和奇偶性． 【解】 由幂函数的图象和性质，知 m2－2m－3<0，得－1<m<3. 又 m∈Z，所以 m＝0,1,2. 当 m＝0 时，y＝x－3，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，此时函数
y＝x－1
定义域 R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
值域
R [0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
奇偶性 奇
偶
奇 非奇非偶
奇
(－∞，0) 单调性 增 减，(0，＋ 增
∞)增
增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)减
定点
(0,0)(1,1)
(1,1)
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【基础自测】 1．(2011·高考陕西卷)函数 y＝x13的图象是________．
4．幂函数 y＝xα 当 α 取不同值时，其性质也不同，所以要关注 α 的变化，及时进行分类讨论．
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4．已知 f(x)＝x1－n3(n∈N)的图象在(0，＋∞)上单调递增，解 不等式 f(2x)＞f(x＋3)．
解：由题设可得 1－n3＞0，解得 n＜3， 所以 n＝0，或 n＝1，或 n＝2. 当 n＝2 时，f(x)＝x13，则 f(x)为 R 上的增函数，可得原不等式 等价于 2x＞x＋3， 此时不等式的解集为(3，＋∞)；
在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减函数．
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又(－x)－3＝－x－3， 故 y＝x－3 是奇函数． 当 m＝1 时，y＝x－4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，结合图象， 函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． 又(－x)－4＝x－4， 故 y＝x－4 是偶函数．当 m＝2 时，y＝x－3 同 m＝0 时的结论．
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当 n＝1 时，f(x)＝x23，为偶函数，且在[0，＋∞)上递增，原不 等式等价于 f(|2x|)＞f(|x＋3|)，
∴|2x|＞|x＋3|，即 4x2＞(x＋3)2，解得 x＞3 或 x＜－1， 此时不等式的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)； 当 n＝0 时，f(x)＝x，为 R 上的增函数，由 2x＞x＋3， 解得 x＞3，此时不等式的解集为(3，＋∞)．
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【点评】 (1)求幂函数的表达式只要一个条件即可，常利用待 定系数法．(2)画幂函数图象首先应根据幂函数的图象规律画出第一 象限的图象，再利用奇偶性完成全部．
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2．(2013·南京模拟)已知幂函数 f(x)的图象过点( 2，2)，幂函数 g(x)的图象过点2，14.
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3．比较下列各组值的大小： (1)(－0.95)13和(－0.96)13； (2)－8－13和－1913； (3)0.20.5 和 0.40.3. 解：(1)∵函数 y＝x13在(0，＋∞)上是递增函数，且 0.95<0.96. ∴0.9513<0.9613，∴(－0.95)13>(－0.96)13.
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【点评】 1.幂函数 y＝xα 的特点：(1)系数必须为 1；(2)指数必 须为常数．
2．幂函数的单调性：(1)α>0，y＝xα 在(0，＋∞)上为增函数； (2)α<0，y＝xα 在(0，＋∞)上为减函数．
3．随着 α 的变化，幂函数可化为正比例函数、反比例函数和二 次函数．
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所以(－2)β＝14，所以 β＝－2，即 g(x)＝x－2. 在同一坐标系下画出函数 f(x)和 g(x)的图象，如图．
则有：h(x)＝xx－2，2，－x＜1≤－x≤1或1x＞1 根据图象可知函数 h(x)的最大值等于 1， 单调递增区间是(－∞，－1)和[0,1)； 递减区间是(－1,0]和(1，＋∞)．
(1)求 f(x)，g(x)的解析式； (2)当 x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)； ③f(x)<g(x)． 解：(1)设 f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则( 2)α＝2,2β＝14， ∴α＝2，β＝－2， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－2.
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(2)①f(x)>g(x)时，x2>x－2，∴x2>x12， ∴x4>1，∴x<－1 或 x>1. ②f(x)＝g(x)时，x2＝x－2，x＝±1， ③f(x)<g(x)时，x2<x－2，∴－1<x<0 或 0<x<1.
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(2)－9113＝－9－13，由于函数 y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数， 所∴8－13＞9－13，
∴－8－13＜－9－13，即－8－13＜－9113. (3)由于函数 y＝0.2x 在 R 上是减函数，所以 0.20.5＜0.20.3，又函 数 y＝x0.3 在(0，＋∞)上是增函数，∴0.20.3＜0.40.3，故 0.20.5＜0.40.3.
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考向三 幂函数的性质 (1)若 2.4α＞2.5α，求 α 的取值范围；
(2)若 α－2＞3－2，求 α 的取值范围． 【解】 (1)2.4α 和 2.5α 可视为幂函数 y＝xα 的两个函数值，由于 2.5＞2.4＞0，且 f(2.5)＜f(2.4)． 所以 y＝xα 在(0，＋∞)上是减函数，因此应有 α＜0.
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3．利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的 单调性及在实际问题中的应用等类型的问题．进一步培养学生的数 形结合、分类讨论等数学思想和方法．
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3．幂函数 y＝xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂，一 般从两个方面考查：(1)α>0 时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象 上升；α<0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
(2)曲线在第一象限的凹凸性 α>1 时，曲线下凸；0<α<1 时，曲 线上凸；α<0，曲线下凸．
函数 g(x)的图象上，定义 h(x)＝fgxx，，ffxx≤＞ggxx，， 试求函数 h(x)的最大值以及单调区间． 【解】 设 f(x)＝xα， 因为点 A( 2，2)在 f(x)的图象上， 所以( 2)α＝2，所以 α＝2，即 f(x)＝x2； 又设 g(x)＝xβ，点 B－2，14在 g(x)的图象上，
解析：当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x13. 答案：②
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2．(课本改编题)在下列函数中，定义域和值域不同的函数是 ________．
①y＝x13 ②y＝x－12 ③y＝x53 ④y＝x23 答案：④
3．已知点
33，3
3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)＝________.
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考向一 幂函数的定义 已知 f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m 为何值时，f(x)是
(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数，且在(0，＋∞)上递增． 【解】 (1)若 f(x)为正比例函数，则 m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0，解得 m＝1. 所以当 m＝1 时，f(x)为正比例函数．
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◆失误与防范 1．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第 四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性； 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与 坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶 性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性 就可作出幂函数在定义域内完整的图象．
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(2)由 α－2＞3－2，得α12＞312，所以 0＜α2＜32， 由于幂函数 y＝x2 是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数， 在(－∞，0)上是减函数，又|α|2＜32， ∴0＜|α|＜3，解得－3＜α＜3 且 α≠0. 因此 α 的取值范围是－3＜α＜0 或 0＜α＜3. 【点评】 已知两个幂值的大小求其中所含参数的取值范围时， 首先要确定对应的幂函数是哪一个，其次要联系幂函数的单调性， 然后建立相关的不等式进行求解．另外还要特别注意相应幂函数的 定义域，所有参数的取值应符合函数定义域的要求．另外(1)还可以 转化为指数函数解决，即22..54α＞1，∵0＜22..45＜1，∴α＜0.