第四章4.3.1
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
人教版(2024) 八年级上册物理+第四章 全章练习课件 +4.3 第1课时 平面镜成像的特点
解析：(1)实验中，选择透明玻璃板代替平面镜进行实验，这样便 于观察像并确定像的位置；
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(2)用两支相同的蜡烛做实验，主要是为了比较像与物的 大小 关系，这里用到
的是科学研究中的 等效替代法 (选填“控制变量法”“转换法”或“等效替代 法”)。
解析：(2)用两支相同的蜡烛做实验，主要是为了比较像与物 的大小关系；在竖立的玻璃板前点燃蜡烛A，拿未点燃的蜡烛 B竖直在玻璃板后面移动，人眼一直在玻璃板的前侧(A侧)观 察，直至它与蜡烛A的像完全重合，这种确定像与物大小关系 的方法是等效替代法；
变 (选填“变大”“变小”或“不变”)。 解析：小东站在竖直放置的平面镜前2 m处，由于平面镜所成的像与物到平面镜的 距离相等，所以小明的像到平面镜的距离也是2 m。平面镜所成的像与物体的大小 相等，小东远离平面镜时，小东的大小不变，所以他的像大小不变。
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4. (2023济宁中考)请在图中画出直杆AB在平面镜M中所成的像。
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解析：分别作出物体AB端点A、B关于平面镜的对称点A'、B'，用虚线连接A'、B' 即为AB在平面镜中的像。
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5. (教材P100T4改编)如图所示是小丑玩偶和它在平面镜中的像，请画出平面 镜的位置。
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高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2
4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45 °)，x 轴与z 轴成135 °(或45 °)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.知识点二 空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P (x ，y ，z )与原点之间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2； 2．空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面内的是( ) A ．(3,2,1) B ．(2,0,0) C ．(5,0,2) D ．(0，－1，－3)解析：位于yOz 平面内的点，其x 坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz 平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．zOx 平面上 D ．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx 平面上． 答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：|AB|＝－3－2＋－3－2＋－3－2＝4 3.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，OO 1⊥BO ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵点A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，∴各点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标． 类型二 空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于x 轴对称的点P 1的坐标是________；关于xOy 平面对称的点P 2的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标是________．【解析】 点P 关于x 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝0.故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M 关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x 轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解． 方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3 求A (0,1,3)，B (2,0,1)两点之间的距离． 解析：|AB |＝－2＋－2＋－2＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．z 轴上 D ．xOz 平面上解析：因为点M (0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M 在y 轴上． 答案：B2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(0,0,6) B．(6,0,1)C．(6,0,0) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－2＋1＋1，|PB|＝x－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝－1－2＋[2－－2＋02＝3 2.答案：3 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.10．已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[能力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－413．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件． 解析：(1)根据空间两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.。
高中数学必修一课件：第四章对数的概念
2
B．log18＝3
2
D．log38＝－12
4．若f(ex)＝x，则f(e)＝( A )
A．1
B．ee
C．2e
D．0
解析 方法一：设ex＝t(t>0)．则x＝ln t.
∴f(t)＝ln t．∴f(e)＝ln e＝1.
方法二：令ex＝e，则x＝1.
5．(1)若log31－92x＝1，则x＝__－__13____； (2)若log2 021(x2－1)＝0，则x＝__±__2____．
题型四 利用对数的基本性质求值
例4 求下列各式中x的值． (1)ln(log2x)＝0； (2)log2(lg x)＝1； (3)3log3 x＝9. 【分析】 利用logaa＝1，loga1＝0(a>0，且a≠1)及对数恒等式求值． 【解析】 (1)∵ln(log2x)＝0，∴log2x＝1，∴x＝21＝2. (2)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝2， ∴x＝102＝100. (3)由3log3 x＝9得 x＝9，解得x＝81.
2 3
，即log64x＝－
2 3
，所以x＝64－
2 3
，所以x
＝116.
课时学案
题型一 对数的概念
例1 在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，则x的取值范围为( B )
A．(－∞，3]
B．(3，4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(3，4)
【解析】 由对数的概念可得xx＋ －13>>00， ， 解得3<x<4或x>4. x－3≠1，
探究1 关于对数式中字母的范围： b>0，
利用式子logab⇒a>0， 求出字母的范围． a≠1，
七年级数学下册第四章4.3.1-4.3.3教案
第四章 三角形4.6探索三角形全等的条件（第1课时）教学目标1．探索三角形全等的“边边边”的条件，会利用“边边边”的条件判断两个三角形全等2．知道三角形的稳定性 教学重、难点重点：利用“边边边”的条件判断两个三角形全等 难点：利用“边边边”的条件判断两个三角形全等 教学过程一、情境导入【温习旧知】已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．图中相等的边是： 相等的角是： 【自学指导】活动一：只给一个条件画三角形 1．画一个边长为3厘米的三角形。
2．画一个内角为45°的三角形。
与你的小组成员交流，只给一个条件，大家画出的三角形全等吗？活动二：只给两个条件画三角形1.画一个边长为3厘米，内角为45°的三角形。
2.画两个内角分别为30°和50°的三角形。
3.画一个两边长分别为2厘米和3厘米的三角形。
与你的小组成员交流，，只给两个条件，大家画出的三角形全等吗？C 'B 'A 'C B A活动三：给出三个条件画三角形给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条___、两边一内角、两_____一边． 1．画三个内角分别为30°，60°和90°的三角形。
把你画的三角形与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？2.画三条边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的三角形。
把你画的三角形与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？结论：(1)_______________的两个三角形全等，简写为_________或_________．(2)用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的__________．二、思考探究，获取新知 问题一：如图, △ABC 是一个钢架,AB=AC,AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架,求证: △ABD ≌ △ACD问题二： 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A 与∠C 相等吗？为什么？三、精讲延伸DB1.已知：如图，AD=BC ，AE=FC ，DF=BE 。
第四章 4.3.1 空间直角坐标系
4.3.1空间直角坐标系学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案三个．思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．梳理(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．类型一 确定空间中点的坐标例1 已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长为52，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．解 因为|PO |＝|PB |2－|OB |2＝169－25＝12，所以各顶点的坐标分别为P (0,0,12)， A ⎝⎛⎭⎫522，－522，0，B⎝⎛⎭⎫522，522，0，C ⎝⎛⎭⎫－522，522，0，D ⎝⎛⎭⎫－522，－522，0. 引申探究1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．解 各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A (5,0,0)，B (0,5,0)，C (－5,0,0)，D (0，－5,0)． 2．若本例中的条件变为“正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解 因为正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为223，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,223)．反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝14|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．解建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的横坐标x 、纵坐标y 均为0，而E 为DD 1的中点，故E 点坐标为(0,0，12)．过F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知识，得|FM |＝12，|FN |＝12，故F 点坐标为(12，12，0)．点G 在y 轴上，其横坐标x 、竖坐标z 均为0，又|GD |＝34，故G 点坐标为(0，34，0)．过H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故K 为CG 的中点，故点H 的坐标为(0，78，12)． 类型二 已知点的坐标确定点的位置例2 在空间直角坐标系Oxyz 中，作出点P (5,4,6)． 解 方法一第一步：从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P .方法二 以O 为顶点构造长方体，使这个长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴，y 轴，z 轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求点P . 反思与感悟 已知点P 的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P . (2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P 的位置． (3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P . 跟踪训练2 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上答案 C解析∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是xOz平面上的点，故选C.类型三空间中点的对称问题命题角度1关于点和线的对称问题例3(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是() A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)(2)已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4)C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)答案(1)C(2)A解析(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴P3(6，－3，－12)．故选C. (2)∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(－3,1，－4)，∴点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)．故选A.反思与感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．跟踪训练3在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于______对称．答案y轴命题角度2关于平面对称例4在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)C．(1,3,5) D．(－1，－3,5)答案 C解析∵两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5)．故选C.反思与感悟本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数．跟踪训练4 点(1，a ，b )关于平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是(1,2，c )和(d ，－2，－3)，则a ，b ，c ，d 的值分别是________． 答案 2,3，－3,11．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( ) A.a 2＋b 2 B ．|a | C ．|b | D ．|c |答案 D解析 点P 在xOy 平面的射影的坐标是P ′(a ，b,0)，所以|PP ′|＝|c |.2．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为( )A ．(0，12，12)B ．(12，0，12)C ．(12，12，0)D ．(12，12，12)答案 B解析 由题图得A (0,0,0)，B 1(1,0,1)， 所以对角线的交点即为AB 1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(12，0，12)．3．如图所示，点P ′在x 轴的正半轴上，且|OP ′|＝2，点P 在xOz 平面内，且垂直于x 轴，|PP ′|＝1，则点P 的坐标是________．答案 (2,0,1)4．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为______；点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标为________．答案(1,1，－1)(－1，－1,1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．5．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．解以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．1．空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M 的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M 的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．课时作业一、选择题1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0)答案 C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q 的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案 B3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7 C．－1 D．1答案 D解析∵点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，∴c＝－3，e＝4，则c＋e＝1.5．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为()A．垂直于xOz平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面 答案 A解析 点P (1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P (1，y,2)的集合为垂直于xOz 平面的一条直线，故选A.6．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，23，13 D.⎝⎛⎭⎫23，23，13答案 D解析 连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上， ∵|BP |＝13|BD ′|，∴P x ＝P y ＝23，P z ＝13，故P ⎝⎛⎭⎫23，23，13. 二、填空题7．在空间直角坐标系中，自点P (－4，－2,3)引x 轴的垂线，则垂足的坐标为________． 答案 (－4,0,0)解析 过空间任意一点P 作x 轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中a 为点P 在x 轴上的分量，所以垂足的坐标为(－4,0,0)．8．已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)，对角线的交点是E (4，－1,7)，则C ，D 的坐标分别为________． 答案 (6,1,19)，(9，－5,12)解析 由题意知，E 为AC 与BD 的中点，利用中点坐标公式，可得C (6,1,19)，D (9，－5,12)． 9．已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，则线段AA 3的中点M 的坐标为________．答案 (－4,0,0)解析 由题意知A 1(4，－2，－3)，则A 1关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2，－3)，则A 2关于z 轴的对称点A 3的坐标为(－4，－2，－3)．由中点坐标公式，得M (－4,0,0)． 10．如图所示的是棱长为3a 的正方体OABC －O ′A ′B ′C ′，点M 在B ′C ′上，且|C ′M |＝2|MB ′|，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M 的坐标为________．答案 (2a,3a,3a )解析 ∵|C ′M |＝2|MB ′|， ∴|C ′M |＝23|B ′C ′|＝2a ，∴点M 的坐标为(2a,3a,3a )．11．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为________、________.(填序号)答案 ④ ②解析 由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②. 三、解答题12.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标；(2)求点N 的坐标．解 (1)由题意知，A (0,0,0)．由于点B 在x 轴的正半轴上，且AB ＝4，所以B (4,0,0)．同理可得D (0,3,0)，A 1(0,0,5)．由于点C 在坐标平面xOy 内，且BC ⊥AB ，CD ⊥AD ，所以C (4,3,0)．同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5)．与点C 的坐标相比，点C 1的坐标只有竖坐标与点C 不同，且CC 1＝AA 1＝5，所以C 1(4,3,5)．(2)由(1)知，C (4,3,0)，C 1(4,3,5)，则CC 1的中点N 的坐标为(4,3，52)． 13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AD |＝|AA 1|＝2，|AB |＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求点E 的坐标．解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)．在坐标平面xDy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，∵DE ⊥AC ，∴直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0)． 四、探究与拓展14．如图是一个正方体截下的一角P －ABC ，其中|P A |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．答案 (a 3，b 3，c 3) 解析 由题知A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )．由重心坐标公式得G 的坐标为(a 3，b 3，c 3)． 15．如图所示，AF ，DE 分别是⊙O ，⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝6 2.以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步4.3.1角(教案)
（二）新课讲授（用时10分钟）
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习角的分类和性质过程中，引导学生运用逻辑推理分析问题，掌握角的性质和分类方法。
3.提升学生的数学运算能力：使学生掌握角的度量和特殊角的计算方法，并能熟练进行角度的加减运算。
4.培养学生的数学抽象能力：通过角的图形操作，让学生抽象出角的和差、补角、余角等概念，形成数学抽象思维。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角的基本概念、分类、性质及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对角的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-补角与余角的概念：理解补角和余角的定义，并能够进行计算。
-举例：通过图示或实际例子，解释补角和余角的概念，并指导学生进行相关练习。
-角在实际问题中的应用：将角的知识应用到实际问题中，如计算物体的倾斜角度等。
-举例：设计一些实际问题，如屋顶的倾斜角度，让学生运用所学知识解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟） Nhomakorabea2.教学难点
数学人教A版 选择性必修第二册第四章(数列) 4.3.1(等比数列) 第2课时 等比数列的判定与性质
跟踪训练3 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形 面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
a q
，a，aq；
当四个正数(负数)成等比数列时，可设为 qa3，aq，aq，aq3.
跟踪训练2 则a7等于 A.4
(1)已知等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝42 2，
√B.8
C.16
D.32
设数列{an}的公比为q， 则a4＋a8＋a12＝(a1＋a5＋a9)q3， 即 21q3＝42 2，解得 q＝ 2. 因为a1＋a5＋a9＝a1(1＋q4＋q8)＝21a1＝21， 所以a1＝1，则a7＝a1q6＝8.
问题3 结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al(m＋n＝ k＋l，m，n，k，l∈N*)，类比出等比数列中相似的性质吗？
提示 类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*. 推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1， 所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝a21 qm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝a21 qk＋l－2， 因为m＋n＝k＋l，所以有aman＝akal.
n＋2 由 a1＝1，an＋1＝ n Sn，得 an>0，Sn>0.
n＋2 由 an＋1＝ n Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
第四章多姿多彩的几何图形4.3.1角的定义表示单位转换
1 表示法：∠1
α
表示法：∠α
首先在角的内部，顶点处加上一个弧线并标注 上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ。
1、希腊字母：
α——阿尔法
γ——伽马
β——贝塔
Δ——德尔塔
ξ——可sei
ω——奥秘噶 λ——南木打
ψ——可赛
μ——米哟 σ——西格玛
τ——套
υ——fai
角的表示方法：
A O
O
α
B
O
1
记作：∠AOB 或∠BOA 或∠O
记作：∠α 或∠ O
记作：∠1 或∠ O
我思我想，我进步
方 法
1、用三个 大写字母表示
图 标 记 法
A O B
适用范围
任何角都可以 用此方法表示 当以某一个字 母（如O）为顶点 的角只有一个角时 可以这样表示。 当一个角的内 部没有别的角时， 可用些法。
∠AOB 或∠BOA
2、用一个 大写字母表示
只有掌握规律，
才能不重不漏。
110
14040ຫໍສະໝຸດ 1404．如图所示：(1)∠AOC＝________＋________； ∠AOB ∠BOC (2)∠DOC＝∠AOD－________. ∠AOC
B
解：∵∠AOC=∠DOB ∠ α=∠ AOC -∠COD ∠β= ∠ DOB -∠COD ∴ ∠ α= ∠β
=38°9′
以度分秒之间的转化为基础，学习度 分秒的加减乘除。 (1) 12036/56// + 45024/35//
解:(1)原式=(12+45)0+(36+24)/+(56+35)//
=570+60/+91// 满60进1： =570+61/+31// =580+1/+31// =5801/31//
高中化学第四章电化学基础4.3.1电解原理课件新人教版选修4
度的变
pH 变化
原的方
化
法
放 不活 氧泼 气 金属 生含 酸 氧酸 型盐
4OH- 2CuSO4+
Cu 2Cu2++ - 2H2O
SO 4e- 4e-
2Cu+ —
4
2Cu 2H2O 2H2SO4+O
+O2↑ 2↑
加 CuO 减小 或
CuCO3
知识梳理 典例透析
自主预习
一二三
合作探究
特别提醒①用惰性电极电解电解质水溶液时,首先要全面分析电 解质溶液的组成,找全离子并分为阴、阳两组,然后排出阴、阳离 子的放电顺序,写出两极上的电极反应式,根据两极的电极反应式 写出总反应方程式。
度的变
pH 变化
原的方
化
法
放
活泼 氢金 气
属无 生 碱氧
酸盐
2NaCl+2H2
2H++2e 2Cl-- O
Na -
2e-
—
Cl
H2↑ Cl2↑ 2NaOH+
H2↑+Cl2↑
型
加氯 增大
化氢
知识梳理 典例透析
自主预习
一二三
合作探究
电极反应式
电解质
电解质
电解
类
实
电解方程 溶液浓 溶液 溶液复
质特 型 点 例 阴极 阳极 式
答案：正 蓝
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MnO4-
MnO4-
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北师版初中八年级上册数学精品教学课件 第四章 一次函数 4.3.1 一次函数的图象
x … -2 -1 0 1 2 …
y
y … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
y=-1.5x 3 如图，在直角坐标系中描出表中 x 和 y 的值 对应坐标的点，将这些点连接起来，得到一 -4-3-2-1O 1 2 3 4 x
条经过原点和第二、第四象限的直线，它就
-3
是函数 y=-1.5x 的函数图象.
（2）函数y=-2x的图象经过第 二 、 四 象限，经过 点（0， 0 ）和点（-1， 2 ），y随x的增大 而 减小 .
课堂小结
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0) 的图象和性质
图象必经过的点
k的正负性
图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点
k＞0
k＜0
y=kx(k是常数， k≠0)的图
直线y=kx经过 的象限
增减性
一、三象限
二、四象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
4.3.1 一次函数的图象
初中数学 八年级上册 BSD
知识回顾
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，
b 是常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
一 次 例函 函数 数与 正
比
定义
一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），当 b=0 时， 变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
1.下列图象中，表示函数 y=−x 的图象的是（ C ）.
y
y
y
y
Ox
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
2.函数 y=-5x 的图象经过（ C ）.
A. 第一、第二象限 C. 第二、第四象限
高中数学 第四章 数列 4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式课后提升训练(含解析)新人教A
第四章数列4.3 等比数列 4.3.1等比数列的概念第1课时 等比数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础达标练1.等比数列{a n }中,a 1a 2=2,a 2a 4=16,则公比q 等于 ()A.2B.3C.√84D.2√43{a n }中,a 1a 2=2,a 2a 4=16,∴a 2·a4a 1·a 2=q 3=8,则公比q=2,故选A .2.(多选)(2020某某某某一中高一月考)设{a n }为等比数列,给出四个数列:①{2a n };②{a n 2};③{2a n };④{log 2|a n |},其中一定为等比数列的是() A.①B.②C.③D.④{a n }的公比为q ,则2a n2a n -1=a na n -1=q ,故{2a n }是等比数列; a n 2a n -12=(a n a n -1)2=q 2, 故{a n 2}是等比数列;取等比数列a n =(-1)n ,则{2a n }的前三项为12,2,12,不成等比数列;此时log 2|a n |=0,{log 2|a n |}不成等比数列.故选AB .3.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项的和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=() A.16B.8C.4D.2a 1,公比为q ,由已知得,a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,因为a 1>0且q>0,则可得q=2,又因为a 1(1+q+q 2+q 3)=15,即可解得a 1=1,则a 3=a 1q 2=4.4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2=() A.-4B.-6C.-8D.-10a 4=a 1+6,a 3=a 1+4,a 1,a 3,a 4成等比数列,∴a 32=a 1·a 4,即(a 1+4)2=a 1·(a 1+6),解得a 1=-8,∴a 2=a 1+2=-6.故选B .5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n =() A .2n-1B .(32)n -1C .(23)n -1D .12n -1S n =2a n+1,得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,S n+1Sn=32.又S 1=a 1=1,所以S n =(32)n -1,故选B .6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.6个数所成等比数列的公比为q ,则5=160q 5,∴q 5=132,∴q=12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7.在数列{a n }中,已知a 1=3,且对任意正整数n 都有2a n+1-a n =0,则a n =.2a n+1-a n =0,得a n+1a n=12,所以数列{a n }是等比数列,公比为12.因为a 1=3,所以a n =3·(12)n -1.3·(12)n -18.在等比数列{a n }中,若a 1=18,q=2,则a 4与a 8的等比中项是.,得a 6=a 1q 5=18×25=4,而a 4与a 8的等比中项是±a 6,故a 4与a 8的等比中项是±4.49.已知数列{a n }是等差数列,且a 2=3,a 4+3a 5=56.若log 2b n =a n . (1)求证:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.log 2b n =a n ,得b n =2a n .因为数列{a n }是等差数列,不妨设公差为d ,则bnb n -1=2a n 2a n -1=2a n -a n -1=2d (n ≥2),2d 是与n 无关的常数,所以数列{b n }是等比数列.,得{a 1+d =3,a 1+3d +3(a 1+4d )=56,解得{S 1=-1,d =4,于是b 1=2-1=12,公比q=2d =24=16,所以数列{b n }的通项公式b n =12·16n-1.10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1. (1)证明:数列{a n +1}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1).由a 1=1,知a 1+1≠0,从而a n +1≠0.∴a n+1+1a n +1=2(n ∈N *). ∴数列{a n +1}是等比数列.(1)知{a n +1}是以a 1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴a n +1=2·2n-1=2n .即a n =2n -1.能力提升练1.若a ,b ,c 成等差数列,而a+1,b ,c 和a ,b ,c+2都分别成等比数列,则b 的值为() A.16B.15C.14D.12,得{2b =a +c ,b 2=(a +1)c ,b 2=a (c +2),解得{a =8,b =12,c =16.2.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q|≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m 等于() A.9B.10C.11D.12a m =a 1a 2a 3a 4a 5=q ·q 2·q 3·q 4=q 10=1×q 10,∴m=11.3.(多选)(2019某某滕州第一中学新校高二月考)已知数列{a n },{b n }是等比数列,那么下列一定是等比数列的是 ()A.{k ·a n }B.{1a n}C.{a n +b n }D.{a n ·b n },可设等比数列{a n }的公比为q 1(q 1≠0),则a n =a 1·q 1n -1,等比数列{b n }的公比为q 2(q 2≠0),则b n =b 1·q 2n -1,对于A,当k=0时,{k ·a n }显然不是等比数列,故A 错误;对于B,1an=1a 1q 1n -1=1a 1·(1q 1)n -1,∴数列{1a n}是一个以1a 1为首项,1q 1为公比的等比数列,故B 正确;对于C,举出反例,当a n =1,b n =-1时,数列{a n +b n }不是等比数列,故C 错误; 对于D,a n ·b n =a 1·b 1(q 1·q 2)n-1,∴数列{a n ·b n }是一个以a 1b 1为首项,q 1q 2为公比的等比数列,故D 正确.故选BD .4.已知-7,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-4,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则a 2-a1b 2=.,得a 2-a 1=-1-(-7)3=2,b 22=(-4)×(-1)=4.又b 2是等比数列中的第3项,所以b 2与第1项同号,即b 2=-2,所以a 2-a 1b 2=2-2=-1.15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.,得a n =a n+1+a n+2,所以a n =a n q+a n q 2.因为a n >0,所以q 2+q-1=0, 解得q=-1+√52(q =-1-√52舍去).6.若数列a 1,a 2a 1,a 3a 2,…,an a n -1,…是首项为1,公比为-√2的等比数列,则a 5=.,得aS a n -1=(-√2)n-1(n ≥2),所以a2a 1=-√2,a3a 2=(-√2)2,a4a 3=(-√2)3,a5a 4=(-√2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a 1=(-√2)1+2+3+4=32.又a 1=1,所以a 5=32.7.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0.(1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.由题意可得a 2=12,a 3=14.(2)由a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0,得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n+1a n=12.故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n =12n -1,n ∈N*.8.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n +1, (1)求证{a n }是等比数列,并求出其通项公式; (2)设b n =a n+1+2a n ,求证:数列{b n }是等比数列.∵S n =2a n +1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n =a n+1=(2a n+1+1)-(2a n +1)=2a n+1-2a n ,∴a n+1=2a n .由已知及上式可知a n ≠0. ∴由a n+1a n=2知{a n }是等比数列. 由a 1=S 1=2a 1+1,得a 1=-1,∴a n =-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.b S+1 b n =-4×2n-4×2n-1=2.∴数列{b n}是等比数列.素养培优练已知数列{},其中=2n+3n,数列{+1-p}为等比数列,求常数p.{+1-p}为等比数列,所以(+1-p)2=(-p-1)(+2-p+1),将=2n+3n代入上式得,[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],整理得16(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3.。
湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.3.1 对数的概念
1 1
log64 =- .
4 3
探究点二
利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x;
解 ∵4 =5·3
x
x
4
4
,∴ =5,∴
=5,∴x=log 4 5.
3
3
3
(2)log7(x+2)=2;
解 ∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.
(4)log64x=- .
3
解
2
2
2
1
3
2
∵log64x=- ,∴x=64 3 =(4 ) 3 =4 = .
3
16
探究点三
利用对数的基本性质与对数的基本恒等式求值
【例3】 求下列各式中x的值:
(1)log2(log2x)=0;
解 ∵log2(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.
(2)3lo g 3
4
1
x=4.
4
3 3
x=(3 ) =34=81.
2
解析 由已知得log2x=1,故x=2.
.
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式与对数式互化:
(1)log 1 27=-3;(2)43=64.
3
解 (1)
1 -3
=27.(2)log464=3.
3
规律方法
将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数
=9.
解 由3lo g 3
=9 得 =9,解得 x=81.
规律方法
化工工艺学第四章4.3催化加氢与脱氢过程
+
CH4ห้องสมุดไป่ตู้
+
H2O
260~300℃ 3.0MPa
甲烷化反应
CH4
+
CO2
+
4 H2
Ni
Al2O3
2 H2O
（4）精制苯 从焦炉气或煤焦油中分离得到的苯，含有硫化 物杂质，通过催化加氢，可以比较干净地将它 们脱除掉。例如噻吩的脱除，其反应如下式。
4.3.3 CO加氢合成甲醇
4.3.2 催化加氢、脱氢反应的一般规律
• 二、催化脱氢反应的一般规律 • 1、热力学分析 • ①温度的影响 • 与烃类加氢反应相反，烃类脱氢反应是吸热反应， ⊿H>0，其吸热量与烃类的结构有关。
T↑ ， KP ↑，xe ↑
4.3.2 催化加氢、脱氢反应的一般规律
• ②压力的影响 • 脱氢反应，分子数增多，P↓ ，Xe↑ • 工业上高温下减压操作不安全。 加稀释剂，常用水 • 表4-34是压力与脱氢反应转化率及其反应温度的关系。
• 研究结果表明：无论是丁烷、丁烯、乙苯或二乙 苯，其脱氢反应的速率控制步骤都是表面化学反应， 都可按双位吸附理论来描述其动力学速率方程，其动 力学速率方程可用双曲模型来表示。
正 逆
（动力学项）（推动） 力 2 （吸附项）
催化加氢在石油化工工业中的应用
催化加氢用于合成有机产品外，还用于精制过程。 （1）合成有机产品
温度对不同单一反应速率的影响
△H0 ＞ 0
不可逆反应：T ↑， k1↑，反应速率增大 可逆吸热反应： T ↑， k1↑，KP ↑，反应速率增大 可逆放热反应： T ↑， k1↑，KP ↓ ，反应速率
△H0 ＜ 0
高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念教学案第一册数学教学案
4.3.1 对数的概念(教师独具内容)课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理解对数的简单性质．教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质．教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.【知识导学】知识点一 对数的概念(1)对数的概念：如果□01a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数□02x 叫做以□03a 为底□04N 的对数，记作□05x ＝log a N ，其中□06a 叫做对数的底数，□07N 叫做真数． (2)两种特殊的对数①常用对数：通常□08以10为底的对数叫做常用对数，N 的常用对数log 10N 简记为□09lg_N ； ②自然对数：□10以e 为底的对数称为自然对数，N 的自然对数log e N 简记为□11ln_N (其中e ＝2.71828…)． 知识点二 对数与指数的关系 (1)对数的基本性质①□01零和负数没有对数，即真数N >0； ②1的对数为□020，即log a 1＝□030(a >0，且a ≠1)；③底数的对数等于□041，即log a a＝□051(a>0，且a≠1)．(2)两个重要的对数恒等式①a log a N＝□06N(a>0，且a≠1，N>0)；②log a a N＝□07N(a>0，且a≠1)．【新知拓展】在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样．( )(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．( )(4)等式log a 1＝0对于任意实数a 恒成立．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若5x＝2019，则x ＝________. (2)lg 10＝________；ln e ＝________. (3)将log 3a ＝2化为指数式为________． 答案 (1)log 52019 (2)1 1 (3)32＝a 题型一 对数的概念例 1 (1)使对数log 2(－2x ＋1)有意义的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12(2)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4[解析] (1)要使对数log 2(－2x ＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x <12，所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，故选C.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.[答案] (1)C (2)C 金版点睛对数有意义的条件对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．[跟踪训练1] (1)函数f (x )＝lgx ＋1x －1中x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)若log (2x －1)(x ＋2)有意义，求x 的取值范围． 答案 (1)C (2)见解析 解析(1)要使函数有意义，必有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故选C.(2)若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1.即x的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12，且x ≠1. 题型二 指数式与对数式的互化例 2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝132；34＝81；⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 1216＝－4；ln a ＝b ；lg 1000＝3.[解] (1)log 216＝4；log 2132＝－5；log 381＝4；log 12n ＝m .(2)53＝125；⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；e b ＝a ；103＝1000.金版点睛由指数式a b＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：[跟踪训练2] (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－a ＝________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. 答案 (1)103(2)见解析解析 (1)因为a ＝log 23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝103.(2)①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3. 题型三 对数性质的应用 例3 (1)给出下列各式：①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________(把正确的序号都填上)； (2)求下列各式中x 的值：①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (2－1)(2－1)＝x ；④3x ＋3＝2.[解析] (1)∵lg 10＝1，∴lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；由log 25x ＝12，得x ＝25 12 ＝5，④错误．故填①②.(2)①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log (2－1) (2－1)＝x ，∴(2－1)x＝2－1， ∴x ＝1.④∵x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. [答案] (1)①② (2)见解析金版点睛对数性质在计算中的应用(1)对数的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．[跟踪训练3] (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值；(2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．解 (1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0， 所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0， 解得x ＝4或x ＝3.(2)因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3.所以x ＝43＝64.同理求得y ＝16.所以x ＋y ＝80.题型四 对数恒等式的应用例4 求下列各式的值：(1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25.[解] (1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－2＝4×19＝49.(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 金版点睛运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．[跟踪训练4] 求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 34的值．解 原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b 答案 B解析 由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B．4 C ．256 D ．2 答案 B解析 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B.3．若log 3181＝x ，则x ＝________.答案 －4解析 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4.4．式子2log 25＋log 32 1的值为________．答案 5解析 由对数性质知，2log 25＝5，log 32 1＝0，故原式＝5.5．求下列各式中x 的值：(1)若log 3 1＋2x3＝1，求x 的值；(2)若log 2019(x 2－1)＝0，求x 的值． 解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x3＝3，∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2019(x 2－1)＝0，∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝± 2.。
第四章4.3.1第2课时 等比数列的应用及性质PPT课件(人教版)
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.
4.3.1动脉血压的形成
生理学
血压的由来
第四章血液循环
动脉血压的形成
（一）动脉血压
指血液在动脉内流动时对于单位面积动脉管壁的侧压力，一般指主动脉压力单位：mmHg，kPa
1. 动脉血压的形成
◆心血管系统足够的血液充盈
◆心脏射血
◆外周阻力
◆主动脉和大动脉的弹性储器作用
（1）前提条件：足够的血液充盈
循环系统平均充盈压
（mean circulatory filling pressure）
循环系统容量
血量
7 mmHg
（2）基本因素：心脏收缩射血
势能 (99%)
动能(1%)
（2）基本因素：外周阻力
管径影响外周阻力
管径越小
更多的液体与管壁接触
更大的阻力
更大的压力
血压形成中外周阻力的作用
（3）附加因素
主动脉和大动脉的弹性贮器作用
间断心脏射血连续的血液流动
小 结
心脏射血 主动脉和大动脉的弹性储器作用 外周阻力 心血管系统足够的血液充盈 “一个前提”
“两个基本因素” “一个附件因素”
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反馈网络只具有反向传输特性，用一个压 控电流源表示，且独立于基本放大器。
互导反馈系数
电压并联负反馈放大器方框图分析法 （1）对于电压负反馈， 将输出端对地短路 即 vo＝0 →计及反馈网络负载 效应的基放输入回路 （2）对于并联反馈， 将输入端对地短路 即 vi＝0
3、负反馈放大器的拆环及分析步骤
Re
闭环增益
io 1 1 Agf vi Br Re
闭环电压增益
注：电路必须满足深度负反馈条件才 有此结论
例4.26
求：(1) 大环组态；
(2)二、三级局部组态； (3) 深度负反馈下大环的闭环电压增益
解：(1)电压并联负反馈
(2)T2和T3级间： 电流串联正反馈
(3) 深度负反馈下大环的闭环电压增益 由虚短、虚断：
小信号等效电路法 方框图法 深度负反馈下的近似估算
反馈深度的讨论 —— 正反馈与负反馈
A( j ) A f ( j ) 1 A( j ) B( j ) B 反馈深度 1 A
B 1 时，A f A (1) 1 A
引入反馈后，增益 负反馈 深度负反馈
虚断：
同相比例电路 反馈系数
闭环增益
电路(2): 反相放大器（i / v 转换电路）
虚短： v
v 0 虚断： i i 0 id
电压并联负反馈
ii i f
反馈系数
闭环增益
闭环电压增益
电路(3): 压控电流源电路（v / i 转换电路）
vi v v v f
A 1 Af 1 AB B
只与反馈系数有关， 而几乎与基放电路的 参数无关
B 1 时， A f A (2) 1 A
引入反馈后，增益 正反馈
自激振荡 自激振荡条件：
Si 0 So 0
AB 1
4.3.1 深度负反馈条件下的近似计算 1.深度负反馈条件下近似估算的依据
交流通路
反馈环路从第二级输出端经 R f 加到第一 级三极管的发射极，构成电压串联负反馈。
第一级发射极电阻 Re1 还构成本级电流串 联负反馈。
拆环
串联 短路 基本放大器的输入电路: 令 vo＝0→ R f 并接在 Re1 两端
基本放大器的输出电路: 串联 开路
令 ii＝0
则R f 与Re1串接 后并接在Rc2两端
2)基本放大器 的输出电路
串联→开路 令ii＝ib＝0 → 将输入回路断开→
R f 与Re1相串联并接 在 Re3 两端。
拆环后的基放 交流通路
基本放大器开环互导增益Ag：
Ri1 rbe1 (1 1 )[Re1 //(R f Re3 )]
Ri3 rbe3 (1 3 )[Re3 //(R f Re1 )]
4）画出整个负反馈放大器的方框图
由基放的性能参数及反馈系数、反馈深度、反 馈方程式求出反馈放大器的性能指标。
4.3.3 四种负反馈放大器的性能分析 1. 电流串联负反馈放大器
并联？ 串联？
短路？ 开路？
净输入信号电压
vbe vi v f
拆环
1)基本放大器 的输入电路 串联→开路 令io＝0→将放大器 输出回路断开 → R f 与Re3相串联并接 在Re1两端→ 构成输入电路。
4.3 负反馈放大电路的分析方法 分析负反馈放大电路的一般步骤 (1) 找出信号放大通路和反馈通路 (2) 判断反馈组态:正、负反馈;交、直流 反馈 (3) 标出输入量、输出量及反馈量 (4) 估算深度负反馈条件下电路的
、 A 、 A B f vf
分析任务： 求闭环增益 A f 和（闭环）电压 增益 A v f 分析方法：
例4.25
求：(1) 反馈组态极性; (2) 闭环电压增益
解：
电流串联负反馈
交流通路
RC Av rbe 1 Re
在深度负反馈条件下
由虚短、虚断：
vBE 0 ib 0
vi v f ie Re i0 Re
反馈系数
Br
vf i0
vf ie
电压串联负反馈
由虚短、虚断：
例4.23
求：(1) 反馈组态极性; (2) 闭环电压增益
解：
(1) 电压串联负反馈
(2) 由虚短、虚断
vi v f
反馈系数
闭环电压增益
例4.24
求：(1) 反馈组态极性; (2) 闭环电压增益
解： 电流串联负反馈
由虚短、虚断：
闭环增益
闭环电压增益
输入端短路→ R f 并接在Re2两端
拆去反馈环路的基本放大器
基本放大器的性能参数
电流增益
电流反馈系数
输入电阻
输出电阻
负反馈放大器的方框图（电流并联）
负反馈放大器的性能参数
（2）求基本放大器的输出回路：
串联反馈：令ii＝0 →即输入端交流开路 并联反馈：令vi＝0 →即输入端交流对地短路。 串联形式对相应信号作开路处理 并联形式对相应信号作短路处理 求输入回路令输出信号=0 求输出回路令输入信号=0 求反馈系数令输入信号=0
3）电路计算：A 、R i 、Ro、B
（1）画出基本放大器的交流小信号等效电路， 求出它的基本性能参数（R i 、R o 、A） （2）计算反馈系数 B 串联反馈：将输入端交流开路； 并联反馈：将输入端交流短路；
电压串联反馈
满足深度 负反馈条件时 虚短
串联反馈 ：
Rif
电压反馈 ：
Rof 0
例4.22 近似估算图示电路的A v f 、R if 及R of 。
电流并联负反馈 （1）“虚断”：
iid 0
深度负反馈条件：
vi ii (ii i f ) R1
（2）运放同相端接地，运用“虚短”
2、电压并联负反馈放大器
交流通路
网络的输入 vi、 i1
网络的输出 v o、 i2
反馈网络的等效电路 用Y参数模型代替反馈网络
电路线性方程
i1 y11vi y12 vo i2 y21vi y22 vo
网络参数定义
反馈网络的阻抗效应反映在基本放大器的 输入和输出端
2)基本放大器的输出电路
并联→短路 令 vi＝0 →
R f 并接在集电极与 地之间（输出端）
拆环后的交流通路 拆去反馈环路的 基本放大器
互阻增益 A r
基放的输入电阻
基放的输出电阻
负反馈放大器的方框图（电压并联）
反馈放大器的输入电阻
反馈放大器 的输出电阻
反馈放大器的互阻增益
3.电压串联负反馈放大器
基本放大器的输入电阻
Ri Ri1
基本放大器的输出电阻
反馈网络传输系数Br
负反馈放大器的方框图（电流串联）
负反馈放大器 输入电阻
负反馈放大器输出电阻
当计及集电极电阻Rc3时
反馈放大器的电压增益 A v f
2.电压并联负反馈放大器
交流通路
拆环
1)基本放大器的输入电路
并联→短路
应令 vo＝0→ R f 并接在输入端
串联负反馈→输入端电压求和。
虚短
vid vi v f 0
虚断
vid iid 0 Ri
并联负反馈→输入端电流求和。 虚断
iid ii i f 0
虚短
vid iid Ri 0
2. 各种反馈组态的近似计算
电路(1):
虚短：
电压串联负反馈
v v v f
4.电流并联负反馈放大器 交流通路
反馈环路从第二级的发射极经 R f 到第一级 的基极，构成两级间的电流并联负反馈。
Re2构成第二级的局部电流串联负反馈。
拆环
串联 开路 基本放大器的输入电路: 令 io＝0 →
Re2与R f串联后并接在 T1管的基极与地之间
基本放大器的输出电路: 并联 短路 令 vi＝0 →
反馈系数
闭环增益
闭环电压增益
4.3.2 采用方框图法分析负反馈放大器
方框图法
对负反馈放大器进行分解
基本放大器 反馈网络
为两个独立的部分
在满足单向化的条件下，分别求出 基本放大器的性能：增益 A 、R i 、R o 反馈网路的传输系数：B 根据反馈方程式及4.2节导出的公式得到负反 馈放大器的性能
虚断：
虚短：
电流串联负反馈
i 0 v f i0 R f
反馈系数
闭环增益
闭环电压增益
电路(4):
虚短： v 虚断： iid
v 0
电流并联负反馈
i 0
ii i f
反馈系数
闭环增益
闭环电压增益
2、 深度负反馈条件下近似估算举例
例4.21 近似估算图示电路的闭环电压增益A v f 、 闭环输入电阻 R if 及输出电阻R of 。
反相端为“虚地”
v v 0
运放 A 以外的电阻网络图
R3 R3 i f i0 v0 R2 R3 ( R2 R3 ) RL
v0 RL R2 Avf (1 ) vi R1 R3
Rif R1
Rof
例4.23
近似估算图示电路的A v f 、R if 及R of 。
1. 电流串联负反馈放大器
二端口 反馈网络
反馈网络的等效电路 用Z参数模型代替反馈网络
反馈网络 输入端口 电压
反馈网络 输出端口 电压
电路线性方程
v1 z11ii z12i0 v2 z 21ii z 22i0
（1）基本放大器：将z11、z22分别移入 到放大器的输入和输出端