离散数学---逻辑等价式

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又例：判定公式¬ 又例：判定公式¬(p ∧q →p)的类型 的类型 解： ¬(p ∧q →p) ⇔¬(¬ ⇔¬ ¬( p ∧q)∨p) ∨ ⇔ ¬(¬( p ∧q))∧ ¬ p ¬ ∧ ⇔ ( p ∧q)∧ ¬ p ∧ ⇔ ( p ∧ ¬ p) ∧q ⇔ F∧q ∧ ⇔F 所以,¬ 所以 ¬(p ∧q →p)是矛盾式 是矛盾式
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0 1 1 1
1
1 1 1 1
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A → B⇔ ¬ A ∨ B的证明
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A→ B↔ ¬A∨B 1 1 0 1
1
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1 1 0 1
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等价演算（等值演算） 等价演算（等值演算）
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作用一： 作用一：证明两公式等价 证明¬ ∨ ¬ ∧ 例：证明¬(p∨(¬ p∧q)) ⇔(¬ p∧ ¬ q) ¬ ∧
证明: 证明 ¬(p∨ (¬ p∧q)) ∨ ¬ ∧ ⇔ ¬((p∨¬ p)∧ (p∨q)) ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬(T∧ (p∨q)) ∧ ∨ ⇔ ¬ (p∨q) ∨ ⇔ ¬ p∧ ¬ q ∧
分配律 否定律 同一律
德·摩根律 摩根律
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作用二： 作用二：判别一公式的类型
等价演算（等值演算） 等价演算（等值演算）
例：证明(p ∧q) →(p ∨q)是重言式 证明 是重言式 证明： 证明： (p ∧q) →(p ∨q) ⇔¬(p ⇔¬ ∧q) ∨ (p ∨q) ⇔ (¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∨q) ¬ ⇔ (¬p ∨ p) ∨ (¬q ∨q) ¬ ¬ ⇔ T∨T ∨ ⇔T 所以， 所以，(p ∧q) →(p ∨q)是重言式 是重言式
返回判别等 值的方法
基本等值式（ 基本等值式（一）
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名称 双重否定 等幂律 交换律 结合律 德·摩根律 摩根律 吸收律 零律 同一律
¬ ¬A ⇔A A ∧A ⇔A A∧B⇔B∧A ∧ ⇔ ∧
等值式
A∨A ⇔A ∨ A∨B ⇔B∨A ∨ ∨ (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C) ∨ ∨ ⇔ ∨ ∨ ¬(A ∨ B) ⇔ ¬ A ∧ ¬ B A ∨(A ∧ B) ⇔ A A∨ 1 ⇔ 1 A∨ 0 ⇔A
(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) ∧ ∧ ⇔ ∧ ∧ ¬(A ∧ B) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B A ∧(A ∨ B) ⇔ A A∧ 0 ⇔ 0 A∧ 1 ⇔A
基本等值式(二 基本等值式 二）
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名称 否定律 蕴涵等值式 等价等值式 逆否律 输出律 归谬律
A ∧ ¬ A ⇔0 A → B⇔ ¬ A ∨ B ⇔
• A ↔B 成为永真式，即是 为0时，B为0； 成为永真式，即是A为 时 为 ； A为1时B为1。 为 时 为
A⇔B，A、B不一定具有相同变元。例如：P ∧ ⇔ ， 、 不一定具有相同变元 例如： 不一定具有相同变元。 ¬P ⇔ Q ∧ ¬Q
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判别等值的方法
• 真值表 真值表（适用于n<=3） • 等值演算法
等值式
A ∨ ¬ A ⇔1
A↔ B⇔（A→B）∧（B→A） ⇔ ） ） A → B⇔ ¬ B → ¬ A ⇔ (A ∧ B) → C ⇔ A →(B →C) (A→B)∧ (A → ¬B) ⇔ ¬ A ∧
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置换定理
是含命题公式A的命 设Φ(A)是含命题公式 的命 是含命题公式 题公式， 题公式， Φ(B)是用命题公式 是用命题公式 B置换了 置换了Φ(A)中的 得到的公 中的A得到的公 置换了 中的 式。 如果A 如果 ⇔ B，则Φ(A) ⇔ Φ(B) ，
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¬(A ∧ B) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B的证明 的证明
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 ¬(A ∧ B) ↔ ¬ A ∨ ¬ B 1 1 1 0
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0 0 0 1
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A ∧(A ∨ B) ⇔ A的证明
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A ∧ (A ∨ B) ↔ A 0 0 1 1
§1.4联结词的全功能集
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联结词的全功能集： 联结词的全功能集：能表达任一命题的联结词 集。 例如{¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ 例如 ¬,∨,∧} {¬,∨,∧, → } • 若一个联结词的全功能集不含冗余的联结词,则称 若一个联结词的全功能集不含冗余的联结词 则称 为极小全功能集 • {¬,∧} {¬,∨} 简介： 定义为： 与非联结词) 简介：A↑B定义为：¬(A∧B),(与非联结词 定义为 与非联结词 A↓B定义为：¬(A∨B),(或非联结词 定义为： 或非联结词) 定义为 或非联结词
n到{0,1}的真值函数有 2n个 的真值函数有2 从{0,1} 的真值函数有
取n=2为例 为例 西 p q 华 大 学
F0 0 0 0 0
F1 0 0 0 1
…… ……
F12 F13 F14 F15 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
Байду номын сангаас0 0 1 1
0 1 0 1
本节小结
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等价的传递性 A ⇔B,B ⇔C, 则A ⇔C
化简电路图
西p 华 大 学 q A(p,q) q A(p,q)
A(p,q)= ¬ (p∧q) ∧(p∨ ¬ q ) ∧ ∨ ⇔ (¬ p∨ ¬ q) ∧(p∨ ¬ q ) ∨ ∨ ⇔ (¬ p ∧p) ∨( ¬ q ∧p) ∨ ¬ q ⇔0 ∨ ¬ q ⇔¬ q
是全功能集。 则{↑}，{↓}是全功能集。 ， 是全功能集
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试证{↑}是全功能集. 例1:试证{↑}是全功能集. 试证{↑}是全功能集 ┐(P∧P)⇔ 证：┐P⇔┐(P∧P)⇔P↑P P∧Q⇔┐┐(P∧Q)⇔┐(P↑Q)⇔(P↑Q)↑(P↑ ┐┐(P∧Q)⇔┐(P↑Q)⇔ Q) ┐(┐P∧┐Q)⇔┐((P↑P)∧ P∨Q⇔┐(┐P∧┐Q)⇔┐((P↑P)∧(Q↑Q)) ⇔(P↑P)↑(Q↑Q) 2.试证{┐， 试证{┐ 例2.试证{┐，→}是全功能集 ┐(┐P∨┐Q)⇔ 证：P∧Q⇔┐(┐P∨┐Q)⇔┐(P→┐Q) ┐(┐P)∨ P∨Q⇔┐(┐P)∨Q⇔┐P→Q
西 华 大 学 使用真值表 判定公式类型
1.基本等值式 基本等值式 2.真值表的方法、等价(值)演算 真值表的方法、等价 值 演算 真值表的方法
等值演算法
证明公式等价
子公式：公式X是公式A的组成部分， 称X为A的子公式。 西 华 代入规则:A(p1,p2,…,pi,…,pn),另一公 大 式Bi处处代替pi出现的地方，得到 学 的公式A’＝A (p1,p2,…,Bi,…,pn) ， A’称为A的代入实例。 例 结论：如果A是永真式，则A的任 一个代入实例都是永真式。
用真值表判别A、 等值 用真值表判别 、B等值
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例：求证A∧(A∨B)⇔A 求证 ∧ ∨ ⇔ 1. 构造公式 ∧(A∨B) 和A的真值表； 构造公式A∧ ∨ 的真值表； 的真值表 2. 判断两个的真值表是否相同。是， 判断两个的真值表是否相同。 则等价。 则等价。
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A ∧ (A ∨ B) 0 0 0 1 1 1 1 1 A 0 0 1 1
§1.3逻辑等值式 逻辑等值式
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定义：若公式 、 构成 构成A 为永真式， 定义：若公式A、B构成 ↔B为永真式，称 为永真式 A、B逻辑等值，记为 ⇔B 逻辑等值， 、 逻辑等值 记为A⇔
• A↔B中,↔是联结词， A ↔B是公式； ↔ 中 ↔是联结词， 是公式； 是公式 A⇔B中,⇔是符号 ⇔ 中⇔