成都武侯外国语学校八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

成都武侯外国语学校八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案
一、选择题
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A ．4a+4b+3＝4（a+b ）+3
B ．（a+b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2
C ．10a 2b ﹣2ab ＝2ab （5a ﹣1）
D ．a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab 2．下面计算正确的是（ ）
A ．2a+3b ＝5ab
B ．a 2+a 3＝a 5
C ．（﹣2a 3b 2）3＝﹣8a 9b 6
D ．a 3•a 2＝a 6
3．将下列分式中x ，y (xy ≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是(
) A ．312x y + B ．232x
y C ．2
32x xy D ．3
232x y
4．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A ．2(3)(3)9a a a +-=-
B ．233m m m m ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
C ．243(4)3a a a a --=--
D ．22()()a b a b a b -=+-
6．如图，AB ∥DE ，80,45B D ︒︒∠=∠=则C ∠的度数为（ ）
A ．50︒
B ．55︒
C ．60︒
D ．65︒
7．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为 ( )
A ．2
B ．3
C ．2或3
D ．不能确定
8．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A ．2cm ，3cm ，4cm
B ．1cm ，4cm ，2cm
C ．1cm ，2cm ，3cm
D ．6cm ，2cm ，3cm
9．如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BD CD E F ==是AD 上的任意两点．若
8,6BC AD ==，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．12
B ．20
C ．24
D ．48
10．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AC 上，且:=1:3AE EC ，连接AD ，BE 交于点F ，若=40ABC S △，则=DCEF S 四边形（ ）.
A ．14
B ．15
C ．18
D ．20
二、填空题
11．如图所示，已知∠1=22°，∠2=28°，∠A=56°，则∠BOC 的度数是___________．
12．如图，∠AOB =30°，点P 是它内部一点，OP =2，如果点Q 、点R 分别是OA 、OB 上的两个动点，那么PQ +QR +RP 的最小值是__________．
13．三角形的两条边长分别是2cm ，8cm ，第三边为奇数，则其周长为________．
14．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为_________．
15．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝60°，点P 是直线AB 上不同于A 、B 的一点，且PC ＝4，∠ACP ＝30°，则PB 的长为_____．
16．如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD=CE ，则∠BCD+∠CBE= 度．
17．当a =____________时，分式44
a a --的值为零． 18．如图，ABC ∠，ACB ∠的平分线相交于点F ，过点F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ∆，CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长为+AB AC ；④BD CE =．其中正确的是________．
19．已知等腰△ABC中∠A=50°，则∠B=_______．
20．计算
11
x
x x
+
-的结果为__________．
三、解答题
21．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点.分别以C、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E,连结AE.
（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
（2）证明：l垂直平分AE.
22．如图，已知△ABC．
（1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长．
23．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是______________；（请选择正确的一个）
A 、2222()a ab b a b -+=-，
B 、22()()a b a b a b -=+-，
C 、2()a ab a a b +=+．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知22412x y -=，24x y +=，求2x y -的值． ②计算：2222211111111112344950⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 24．如图，∠ADB ＝∠ADC ，∠B ＝∠C ．
（1）求证：AB ＝AC ；
（2）连接BC ，求证：AD ⊥BC ．
25．如图，在ABC 中，4654,B C AD ∠=︒∠=︒,平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点,连接DE ，若40ADE ∠=︒，求证：//DE AB ．
26．如图所示，在不等边ABC 中，2AB =，3AC =，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，交AB 边于点D ，AC 垂直平分线交BC 边于点N ，交AC 边于点M ．
（1）若100BAC ∠=︒，求EAN ∠的度数；
（2）若BC 边长为整数，求AEN △的周长．
27．如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，70B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥，求CDF ∠的度数．
28．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠BAC＝90°，AH 是△ABC 的高，AH ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，直线CM⊥BC，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3厘米的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直线CM 上以每秒1厘米的速度向远离C 点的方向运动，连接AD 、AE ，设运动时间为t （t ＞0）秒．
（1）请直接写出CD 、CE 的长度（用含有t 的代数式表示）：CD ＝ cm ，CE ＝ cm ；
（2）当t 为多少时，△ABD 的面积为12 cm 2？
（3）请利用备用图探究，当t 为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．
29．数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，
是否也可以将一个分式31(1)(1)
x x x ++-表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x -1,小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下：
设31(1)(1)x x x ++-11
A B x x =++- 则有31(1)(1)x x x ++-(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)
A x
B x A B x B A x x x x x x -+++-=+=+-+-+- 故此31A B B A +=⎧⎨-=⎩ 解得12A B =⎧⎨=⎩
所以31(1)(1)x x x ++-=1211
x x ++- 问题解决：
（1）设
1
(1)1
x A B
x x x x
-
=+
++
，求A、B．
（2）直接写出方程
111
(1)(1)(2)2
x x
x x x x x
--
+=
++++
的解.
30．已知：如图，ABC中，∠ABC=45°，CD AB
⊥于D，BE平分∠ABC，且
BE AC
⊥于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G
（1）求证：BF=AC；
（2）判断CE与BF的数量关系，并说明理由
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
【详解】
解：A.4a+4b+3＝4（a+b）+3，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意；
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，为乘法运算，故本选项不合题意；
C.10a2b﹣2ab＝2ab（5a﹣1），属于因式分解，故本选项符合题意；
D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握把多项式转化成几个整式积的形式．2．C
解析：C
【解析】
分别根据合并同类项的法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【详解】
解：2a 与3b 不是同类项，所以不能合并，故选项A 不合题意；
a 2与a 3不是同类项，所以不能合并，故选项B 不合题意；
（-2a 3b 2）3=-8a 9b 6，正确，故选项C 符合题意；
a 3•a 2=a 5，故选项D 不合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质解答．
【详解】
解：∵分式中x ，y （xy ≠0）的值都扩大为原来的2倍，
∴A.
23161224x x y y ⨯++=⨯，分式的值发生改变； B. 22
2332(2)4x x y y ⨯=⨯，分式的值发生改变； C. 22
3(2)32222x x x y xy
⨯=⨯⨯，分式的值一定不变； D. 33
223(2)32(2)x x y y
⨯=⨯，分式的值发生改变； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数（或式子），分式的值不变．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】 解：多边形的边数是：360845
=，
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用因式分解的定义得出答案．
【详解】
A 、2(3)(3)9a a a +-=-，是整式乘法，故此选项不合题意；
B 、233m m m m ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意； C 、243(4)3a a a a --=--，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意； D 、22()()a b a b a b -=+-是分解因式，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
延长DE 交BC 于F ，利用平行线的性质求出∠DFC=∠B=80°，再利用三角形的内角和定理求出C ∠的度数.
【详解】
延长DE 交BC 于F ，如图，
∵AB ∥DE ，
∴∠DFC=∠B=80°，
∵∠C+∠D+∠DFC=180°，
∴∠C= =180°-∠D-∠DFC=55°，
故选：B .
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；三角形的内角和定理.
7．B
解析：B
【分析】
根据等腰三角形性质和已知条件，进行分类讨论，即可得到答案,要注意的是一定要符合构成三角形的三边关系.
【详解】
已知三角形一边长为2,
(1)当这一边是等腰三角形的腰时,它的腰长就为2,则底边是4
根据三角形三边关系,这种情况不符合条件;
(2)当这一边是等腰三角形的底边时
∵ 周长为8,底边为2
∴ 腰长为:822
=3 (等腰三角形两腰相等) 根据三角形三边关系,这种情况符合条件;
综上所述,这个等腰三角形的腰长为3.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系与等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系与等腰三角形的性质.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的之差一定小于第三边；进行解答即可．
【详解】
A 、2+3＞4，能围成三角形；
B 、1+2＜4，所以不能围成三角形；
C 、1+2=3，不能围成三角形；
D 、2+3＜6，所以不能围成三角形；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用SSS 证明△ADC ≌△ADB ，可得S △ADC =S △ADB ，通过拼接可得S 阴影=S △ADB ，再利用三角形
的面积公式可求解．
【详解】
∵AB=AC ，BD=CD ，AD=AD ，
∴△ADC ≌△ADB （SSS ），AD ⊥BC
∴S △ADC =S △ADB ，BD=12BC ， ∵BC=8，
∴BD=4，
∵S △BEF =S △CEF ，AD=6，
∴S 阴影=S △ADB =
12BD•AD 12
=×4×6=12． 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解S 阴影=S △ADB 是解题的关键． 10．C
解析：C
【解析】 【分析】
连接CF ，得到DF 是△BCF 的中线，设S △DCF =S △DBF =x ，由:=1:3AE EC 求得△ABE 面积为10，△BCE 面积为30，进而得到△EFC 面积为302x ，△AEF 面积为2103x ，△ABF 的面积为20x -，最后由△ABE 面积20，列出等量关系2(20
)(10)203
x x 解出x 即可．
【详解】
解：连接CF ，如下图所示：
由:=1:3AE EC ，=40ABC S △可知，△ABE 面积为10，△BCE 面积为30， 由D 是BC 的中点，∴△ABD 面积=△ACD 面积=20，且DF 是△ABC 的中线， 设BDF CDF S S x ，则302CFE S x ，20ABF S x ，121033AEF CFE S S x ，
由2(20)(10)103
ABE ABF AEF S S S x x ， 解得12x ，
∴123021218CDF CEF DCEF
S S S 四边形，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形中线平分三角形面积，熟练掌握三角形中线的性质及等积变形是解决本题的关键． 二、填空题
11．106°
【解析】
【分析】
利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解．
【详解】
如图，连接AO ，延长AO 交BC 于点D ．
根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得：
解析：106°
【解析】 【分析】
利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解．
【详解】
如图，连接AO ，延长AO 交BC 于点D ．
根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，可得：
∠BOD=∠1+∠BAO ，∠DOC=∠2+∠OAC ，
∵∠BAO+∠CAO=∠BAC=56°，∠BOD+∠COD=∠BOC ，
∴∠BOC=∠1+∠2+∠BAC=22°+28°+56°=106°．
故答案为：106°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，关键是利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
12．2
【解析】
【分析】
先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可
解析：2
【解析】
【分析】
先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可证
∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,继而可得△OP′P″是等边三角形,即PP′=OP′=2．
【详解】
作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,
∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,
所以,△OP′P″是等边三角形,
所以,PP′=OP′=2．
故答案为:2.
【点睛】
本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定.
13．17cm或19cm
【解析】
【分析】
三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．
【详解】
解：8-
2＜第三边＜8+2⇒6＜第三边＜10，这个范围的奇数是7和9，所以三角形的周长解析：17cm或19cm
【解析】
【分析】
三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．
【详解】
解：8-2＜第三边＜8+2⇒6＜第三边＜10，这个范围的奇数是7和9，所以三角形的周长是2+8+7=17（cm）或2+8+9=19（cm）
故答案为：17cm或19cm．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，首先根据题意求出第三边，然后再求出周长，难度较小．14．40°或140°
【解析】
【分析】
根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形进行解答．【详解】
解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，
解析：40°或140°
【解析】
【分析】
根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形进行解答．
【详解】
解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠A=90°-50°=40°，
②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，
由题意可知：在△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，且∠ABD=50°，
∴∠BAD=90°-50°=40°，
∴∠BAC=180°-40°=140°，
综上所述：等腰三角形的顶角度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，以及三角形高的做法，解题的关键是对等腰三角形进行分类，利用数形结合思想进行解答．
15．4或8
【解析】
【分析】
分两种情形分别画出图形即可解问题．
【详解】
分两种情况讨论：
①如图，当点P在线段AB上时．
∵∠CAP=90°，∠ACB=60°，∠ACP=30°，
∴∠APC=60
解析：4或8
【解析】
【分析】
分两种情形分别画出图形即可解问题．
【详解】
分两种情况讨论：
①如图，当点P在线段AB上时．
∵∠CAP=90°，∠ACB=60°，∠ACP=30°，
∴∠APC=60°，∠B=30°．
∵∠APC=∠B+∠PCB，
∴∠PCB=∠B=30°，
∴PB=PC=4．
②当点P'在BA的延长线上时．
∵∠P'CA=30°，∠ACB=60°，
∴∠P'CB=∠P'CA+∠ACB=90°．
∵∠B=30°，P'C=4，
∴BP'=2P'C=8．
故答案为：4或8．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以
∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠AC B=
解析：【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．解：∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC
∵AD=CE
∴△ADC≌△CEB
∴∠ACD=∠CBE
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．
故答案为60．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
17．-4
【解析】
【分析】
分式的值为零时,分子等于零,分母不等于零,进行求解即可．
【详解】
解：∵分式的值为零,
∴．
解得：,
所以
当时,分式无意义,故舍去．
综上所述,．
故答案为：-4．
解析：-4
【解析】
【分析】
分式的值为零时,分子等于零,分母不等于零,进行求解即可．
【详解】
解：∵分式
4
4
a
a
-
-
的值为零,
∴4=0
a-．解得：=4
a,
a±
所以=4
a时,分式无意义,故舍去．
当=4
a-．
综上所述,=4
故答案为：-4．
【点睛】
考查了分式的值为零的条件,注意：“分母不为零”这个条件不能少．
18．①②③
【解析】
【分析】
①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB，即△BDF 是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：
DF=BD,EF=EC,然后等
解析：①②③
【解析】
【分析】
①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三
∆也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等角形，同理CEF
量代换即可判定；③根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC ，然后再判定即可；④无法判断．
【详解】
解：①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
∆是等腰三角形，故①正确；
同理可得CEF
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF
同理：EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE,故②正确；
③∵DF=BD,EF=EC
∆的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③正确；
∴ADE
④无法判断BD=CE，故④错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，涉及面较广，因此灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
19．50°或65°或80°
【解析】
【分析】
分∠A、∠B、∠C为顶点三种情况，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和求出∠B的度数即可．
【详解】
①∠A为顶角时，
∵∠A=50°，
∴∠B=∠C=
解析：50°或65°或80°
【解析】
【分析】
分∠A、∠B、∠C为顶点三种情况，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和求出∠B 的度数即可．
【详解】
①∠A为顶角时，
∵∠A=50°，
∴∠B=∠C=1
2
（180°-∠A）=65°，
②当∠B为顶角时，
∵∠A=50°，
∴∠C=∠A=50°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=80°，
③当∠C为顶角时，
∠B=∠A=50°，
综上所述：∠B的度数为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和是180°；运用分类讨论的思想是解题关键．
20．1
【解析】
【分析】
根据分式的加减法法则计算即可得答案．
【详解】
=
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，
解析：1
【解析】
【分析】
根据分式的加减法法则计算即可得答案．
【详解】 11x x x
+- =11x x
+- =1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查分式的加减，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减；熟练掌握运算法则是解题关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意进行作图即可；
（2）根据题意可证明△ACD ≌△ECD ，再利用全等的性质及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）证明：由题意可知，AC=AD=AB ，CE=ED=AB ，
∴AC=CE ，AD=DE ，
又∵CD=CD ，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠ECD，
又∵AC=CE，
∴CO垂直平分AE，
∴l垂直平分AE.
【点睛】
本题考查了作图及线段的垂直平分线，需熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，学会应用“三线合一”证明线段的垂直平分线.
22．（1）见解析（2）17
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作DE垂直平分AC；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，AD＝CD＝5，则利用△ABC的周长得到AB+BC＝17，然后根据等线段代换可求出△AEC的周长．
【详解】
（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD＝CD＝5，
∴AC＝10，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27，
∴AB+BC＝27﹣10＝17，
∴△AEC的周长＝BE+EC+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝17．
【点睛】
本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
23．（1）B；（2）①3；②
51 100
【解析】
【分析】
（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即
可；
②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】
（1）根据图形得：22()()a b a b a b -=+-，
上述操作能验证的等式是B ，
故答案为：B ；
（2）①∵224(2)(2)12x y x y x y -=+-=，
24x y +=，
∴23x y -=； ②2222211111111112344950⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111111223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111349495050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1324354850495122334449495050
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ 515120
=⨯ 51100
=． 【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△ADB ≌△ADC 即可证明AB ＝AC ；
（2）连接BC ，由中垂线的逆定理证明即可．
【详解】
证明：（1）∵在△ADB 和△ADC 中，
==ADB ADC B C
AD AD ∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADB ≌△ADC （AAS ），
∴AB ＝AC ；
（2）连接BC ，
∵△ADB ≌△ADC ，
∴AB ＝AC ，BD ＝CD ，
∴A 和D 都在线段BC 的垂直平分线上，
∴AD 是线段BC 的垂直平分线，
即AD ⊥BC ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质以及中垂线的逆定理，熟记相关定理是解题关键．
25．证明见解析
【解析】
【分析】
先求出∠BAC 的度数，进而得出∠BAD ，因为∠BAD=40°=∠ADE ，由“内错角相等，两直线平行”即可判断．
【详解】
证明:在ABC ∆中，46,54,B C ︒︒∠=∠=
180465480BAC ︒︒︒︒∴∠=--=， AD 平分,BAC ∠ 1402
BAD BAC ︒∴∠=∠=， 40,ADE ︒∠=
.ADE BAD ∴∠=∠
//.DE AB ∴
【点睛】
本题考查角的运算，角平分线的性质定理以及平行线的判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
26．（1）20°；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质得到EBA EAB ∠=∠和NAC NCA ∠=∠，再根据三角形内角和去算出角EAN ∠的度数；
（2）根据三角形三边关系求出BC 长，再根据垂直平分线的性质证明AEN △的周长等于BC 的长．
解：（1）∵DE 、MN 分别是线段AB 和线段AC 的垂直平分线，
∴AE=BE ，AN=CN ，
∴EBA EAB ∠=∠，NAC NCA ∠=∠，
∵EAN BAC EAB NAC ∠=∠-∠-∠，
∴()100EAN EBA NCA ∠=︒-∠+∠，
∴()()10018010018010020EAN BAC ∠=︒-︒-∠=︒-︒-︒=︒；
（2）在ABC 中，AC AB BC AC AB -<<+，即15BC <<，
∵BC 边长是整数，
∴BC 的长度可以取2、3、4，
∵ABC 是不等边的，
∴BC=4，
由（1）知AE=BE ，AN=CN ，
∴4AEN C AE EN AN BE EN NC BC =++=++==．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，三角形三边关系和内角和，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
27．70CDF ∠=︒
【解析】
【分析】
首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．
【详解】
解：∵30A ∠=︒，70B ∠=︒，
∴18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒.
∵CE 平分ACB ∠，∴1402
ACE ACB ∠=∠=︒. ∵CD AB ⊥于D ，∴90CDA ∠=︒，18060ACD A CDA ∠=︒-∠-∠=︒.
∴20ECD ACD ACE ∠=∠-∠=︒.
∵DF CE ⊥，∴90CFD ∠=︒，
∴18070CDF CFD ECD ∠=︒-∠-∠=︒.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
28．（1）3t ，t ；（2）t 为
23s 或143
s ；（3）见解析. 【解析】
（1）根据路程=速度×时间，即可得出结果；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值即可；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【详解】
（1）根据题意得：CD＝3tcm，CE＝tcm；
故答案为3t，t；
（2）∵S△ABD
1
2
=BD•AH ＝12，AH＝4，
∴AH×BD＝24，∴BD＝6．
若D在B点右侧，则CD＝BC﹣BD＝2，t
2
3 =；
若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，t
14
3 =；
综上所述：当t为2
3
s或
14
3
s时，△ABD的面积为12 cm2；
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD＝CE．如图所示，
∵CE＝t，BD＝8﹣3t
∴t＝8﹣3t，
∴t＝2，
∵在△ABD和△ACE中，
AB AC
{B ACE45
BD CE
=
∠=∠=︒
=
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD＝CE．如图，
∵CE＝t，BD＝3t﹣8，∴t＝3t﹣8，
∴t＝4，
∵在△ABD和△ACE中，
AB AC
{ABD ACE135
BD CE
=
∠=∠=︒
=
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论．
29．（1）A=1，B=-2；（2）
2
3 x=
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给方法进行求解即可；
（2）根据题目所给方法先对等号左边各式进行变形化简，最后再解分式方程即可.【详解】
解：（1）∵
1
(1)
x
x x
-
=
+
(1)
1(1)(1)
A B A x Bx
x x x x x x
+
+=+
+++
()
(1)
A B x A
x x
++
=
+
，
∴
1
1
A B
A
+=-
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
2 A
B
=
⎧
⎨
=-
⎩
；
（2）设
1
(1)(2)12
x A B
x x x x
-
=+
++++
，
则有
1(2)(1)()2
(1)(2)12(1)(2)(1)(2)
x A B A x B x A B x A B
x x x x x x x x -++++++
=+==
++++++++
，
∴
1
21
A B
A B
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
3
A
B
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴
123 (1)(2)12
x
x x x x
-
=-
++++
，
由（1）知，
112 (1)1
x
x x x x
-
=-
++
，
∴原方程可化为131
22
x x x
-=
++
，
解得
2
3
x=，
经检验，
2
3
x=是原方程的解.
【点睛】
本题为关于分式及分式方程的创新题，此类型题重点在于理解题目所给的做题方法，并按照题目所给示例进行解答.
30．（1）证明见解析；（2）
1
2
CE BF
=，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可以得到Rt⊿DFB≅Rt⊿DAC，从而得到BF=AC；
（2）由题意可以得到Rt⊿BEA≅Rt⊿BEC，所以
11
22
CE AE AC BF ===．
【详解】
证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴BCD是等腰直角三角形，∠DBF=90°-∠BFD，∠A=90°-∠DCA，又BE AC
⊥，∴∠EFC =90°-∠DCA，∴∠A=∠EFC
∵∠BFD=∠EFC，∴∠A=∠DFB，
∴在Rt⊿DFB和Rt⊿DAC中，∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=DC，∴Rt⊿DFB≅Rt⊿DAC，∴BF=AC；
(2)
1
2 CE BF
=
理由是：∵BE平分ABC，∴∠ABE=∠CBE，
在Rt⊿BEA和Rt⊿BEC中，∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠ABE=∠CBE，
∴Rt⊿BEA≅Rt⊿BEC，∴
1
2 CE AE AC ==
由（1）得：
1
2
CE BF
=．
【点睛】
本题考查三角形的综合问题，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．。