2012高考数学核心考点复习：第8课时 平面向量及其运算
平面向量知识点总结 高三数学一轮复习
知识点总结4 平面向量一．平面向量向量的线性运算向量运算加法减法数乘几何表示首尾相接 指向终点起点重合 指向对顶点起点重合 指向被减向量(1)|λa |＝|λ||a |，(2)当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．平面向量基本定理e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 我们把不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面的一组基底. 3．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n m+nAB⃗⃗⃗⃗⃗ +m m+nAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 二．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 a +b ⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)， a −b ⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)， λa =(λx 1,λy 1)， |a |＝x 21＋y 21.三．平面向量的数量积 1.向量a 与b⃗ 的夹角 已知两个非零向量a 和b ⃗ .作OA ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b ⃗ 的夹角. 当θ＝0°时，a 与b ⃗ 同向； 当θ＝180°时，a 与b⃗ 反向. 如果a 与b ⃗ 的夹角是90°，我们说a 与b ⃗ 垂直，记作a ⊥b ⃗ . 2.平面向量的数量积(1)若a ，b ⃗ 为非零向量，夹角为θ，则a ∙b ⃗ =|a |∙|b ⃗ |cosθ. (2)设a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∙b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ∙b ⃗ =b ⃗ ∙a (交换律)；(2)λa ∙b ⃗ ＝λ(a ∙b ⃗ )＝a ∙(λb ⃗ ) (结合律)； (3)(a +b ⃗ )∙c =a ∙c +b ⃗ ∙c (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a +b ⃗ )∙(a −b ⃗ )=(a )2−(b⃗ )2． (2)(a +b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2+2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2a ∙b ⃗ ． (3)(a −b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2−2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2a ∙b ⃗ ． (4)极化恒等式：a ∙b ⃗ =14[(a +b ⃗ )2−(a −b ⃗ )2]； (平行四边形模式)a ∙b⃗ =14[|AC |2−|DB |2] 5.利用数量积求长度(1)若a =(x,y)，则|a |=√(a )2=√a ∙a =√x 2+y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：|AB |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.6.利用数量积求夹角：设a ，b ⃗ 为非零向量，若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，θ为a ，b ⃗ 的夹角， 则cosθ=a⃗ ∙b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=1212√x 1+y 1∙√x 2+y 27.向量的投影向量a 在向量b ⃗ 上的投影为:|a |cosθ=a⃗ ∙b ⃗|b ⃗ |． 向量a 在向量b ⃗ 上的的投影向量为：|a |cosθ∙b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ∙b ⃗|b⃗ |∙b ⃗|b ⃗ |. 四．平面向量的平行与垂直1.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 (1)a ∥b ⃗ ⇔a ＝λb ⃗ (b ⃗ ≠0⃗ )⇔x 1x 2＝y 1y 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⃗ ⇔a ·b ⃗ ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)与a 同方向的单位向量为：a⃗ |a ⃗ |=√x 2+y2y)=(√x 2+y2√x 2+y 2),与a 共线的单位向量为：±a ⃗ |a ⃗ |=√x 2+y 2y)=√x 2+y 2√x 2+y 2).2.三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 五．奔驰定理与三角形“四心”1.奔驰定理:如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBCPACPABSPA SPB SPC ++=.2.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOCCOAAOBS SSx y z =已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论： ①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；①若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC == ①若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=也对.①若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅。
高考数学科学复习创新方案：平面向量的概念及其线性运算
平面向量的概念及其线性运算[课程标准]1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有01大小又有02方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为030的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于041个单位的向量与非零向量a 共线的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或05相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量平行(或共线)相等向量长度相等且方向06相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向07相反的向0的相反向量为0量2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b＝08b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝09a ＋(b ＋c )减法求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝10|λ||a |，当λ＞0时，λa 与a 的方向11相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向12相反；当λ＝0时，λa ＝130(λ＋μ)a ＝14λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝15λa＋λb3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．在△ABC 中，三角形三边上的中线交于点G ，G 为△ABC 的重心，则有如下结论：(1)GA →＋GB →＋GC →＝0；(2)AG →＝13(AB →＋AC →)；(3)GD →＝12(GB →＋GC →)＝16(AB →＋AC →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，点O 不在直线BC 上，则λ＋μ＝1.4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．(多选)(2023·日照月考)下列命题中错误的是()A ．平行向量就是共线向量B ．相反向量就是方向相反的向量C ．a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >bD ．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件答案BC解析A 显然正确；由相反向量的定义知B 错误；任何两个向量都不能比较大小，C 错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，故D 正确．故选BC.2．如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A ，B ，C 三点在一条直线上，且AC →＝－3CB →，则()A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b答案A解析∵AC →＝－3CB →，∴AC →＝32AB →，∴OC →－OA →＝32(OB →－OA →)，∴OC→＝32OB →－12OA →，即c ＝－12a ＋32b .故选A.3．已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A ＝()A ．30°B ．45°C．60°D．90°答案A解析由OA→＋OB→＋CO→＝0，得OA→＋OB→＝OC→，又O为△ABC的外接圆的圆心，根据向量加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.4．(人教A必修第二册习题6.2T10(1)改编)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．答案[2，6]解析当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．5．(人教A必修第二册6.2.3例8改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________．答案－12解析依题意知2a－b≠0，向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向－2k＝0，＋λ＝0，解得k＝12，λ＝－12.例1(多选)(2023·烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为() A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同答案BCD解析A 正确，AB →与BA →是相反向量，长度相等；B 错误，当a ，b 其中之一为0时，不成立；C 错误，当a ，b 其中之一为0时，不成立；D 错误，当a ＋b ＝0时，不成立．故选BCD.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．1.设a 0为单位向量，有下列命题：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.其中假命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.2．(2023·常德月考)给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若AB →与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上；④a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案③④解析①是假命题，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②是假命题，若b＝0，则a与c不一定共线；③是真命题，AB→与BC→共线且有公共点B，故有A，B，C三点在同一条直线上；④是真命题，b与－b反向，a与b同向，故a与－b反向；⑤是假命题，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．角度平面向量线性运算的几何意义例2若向量a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是________(用弧度表示)．答案π6解析设OA→＝a，OB→＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，如图所示，则a＋b＝OC→，a－b＝BA→.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以.|OA→|＝|OB→|＝|BA→|，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝π3在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为π.6利用向量线性运算的几何意义解决问题的方法(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解相关问题．(2)实数λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，|λ|的大小决定λa的模，据此可判断有关直线平行、三点共线，也可以推出有关线段的长度关系．(2023·德州模拟)已知点O是平面上一定点，点A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定经过△ABC的()A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案A解析因为AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示向量AB →，AC →方向上的单位向量，所以AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与∠BAC 的平分线方向一致，所以OP →－OA →＝AP →＝λ∈[0，＋∞)，所以向量AP →的方向与∠BAC 的平分线方向一致，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心．故选A.角度平面向量线性运算例3(1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA→＝m ，CD→＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.(2)(2023·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA →＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝()A.1225a ＋925b B.1625a ＋1225bC.45a ＋35bD.35a ＋45b 答案B解析BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →－34BF →＋得BF →＝1625BC →＋1225BA →，即BF →＝1625a ＋1225b .平面向量的线性运算的求解策略(2023·芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是()①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案C解析由a ＋b ＝23→，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由a －b ＝23PT →，知PT →＝32a－32b ，②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．故选C.角度利用线性运算求参数例4(2023·江苏省八市第二次调研)在▱ABCD 中，BE →＝12BC →，AF→＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A.12B.34C.56D.43答案D解析AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，DF →＝DA →＋AF →＝－AD →＋13AE →＝13AB →－56→，＝2AB →＋AD →，＝25AB →－AD →，∴2AE →＋65DF →＝125AB →，∴AB →＝12DF →＋56AE →，m ＋n ＝12＋56＝43.故选D.利用向量的线性运算求参数的步骤先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________．答案12－16解析因为MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.例5(1)(2023·滨州二模)已知O ，A ，B ，C 为平面α内的四点，其中A ，B ，C 三点共线，点O 在直线AB 外，且满足OA →＝1x OB →＋2y OC →.其中x >0，y >0，则x ＋8y 的最小值为()A ．21B ．25C ．27D ．34答案B解析根据题意，A ，B ，C 三点共线，点O 在直线AB 外，OA →＝1x OB →＋2yOC →.设BA →＝λBC →(λ≠0，λ≠1)，则OA →＝OB →＋BA →＝OB →＋λBC →＝OB →＋λ(OC →－OB →)＝λOC →＋(1－λ)OB →，－λ＝1x ，＝2y ，消去λ得1x ＋2y ＝1，∴x ＋8y ＝(x ＋8y1＋2x y ＋8y x ＋16≥17＋22x y ·8yx＝x ＝5，y ＝52时等号成立故选B.(2)(2023·潍坊三模)已知a ，b 是平面内两个不共线的向量，AB →＝a ＋λb ，AC →＝μa ＋b ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是()A ．λ－μ＝1B ．λ＋μ＝2C ．λμ＝1 D.λμ＝1答案C解析A ，B ，C 三点共线的充要条件是AB →＝m AC →且m ∈R ，∵AB →＝a ＋λb ，AC →＝μa ＋b ，又AB →＝mAC →，∴a ＋λb ＝mμa ＋m b＝mμ，＝m ，∴λμ＝1.故选C.共线向量定理的三个应用1.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c与d 共线反向，则实数λ的值为()A ．1B ．－12C.12D ．－2答案B解析由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，＝k ，＝2λk －k ，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.故选B.2.(2023·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM→＝45AB →，连接AC ，MN 交于点P ，若AP →＝411AC →，则点N 为()A ．AD 的中点B ．AD 上靠近点D 的三等分点C ．AD 上靠近点D 的四等分点D ．AD 上靠近点D 的五等分点答案B解析设AD →＝λAN →，因为AP →＝411AC →＝411(AB →＋AD →)→＋＝511AM →＋4λ11AN →，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN→＝23AD →，所以点N 为AD 上靠近点D 的三等分点．课时作业一、单项选择题1．如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是()A.DA→－DC→＝AC→B.DA→＋DC→＝DO→C.OA→－OB→＋AD→＝DB→D.AO→＋OB→＋BC→＝AC→答案D解析对于A，DA→－DC→＝CA→，错误；对于B，DA→＋DC→＝2DO→，错误；对于C，OA→－OB→＋AD→＝BA→＋AD→＝BD→，错误；对于D，AO→＋OB→＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→，正确．故选D.2．(2024·成都市高三高考适应性考试)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|a答案B解析对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－b B．a⊥bC．a＝2b D．a⊥b且|a|＝|b|答案C解析由于a，b都是非零向量，若a|a|＝b|b|成立，则a与b需要满足共线同向．4．已知a，b为不共线的非零向量，AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3a －3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案B解析由于a ，b 为不共线的非零向量，根据向量共线定理，向量AB →，BC →，向量BC →，CD →显然不共线，A ，C 错误；BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，AB →与BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线，B 正确；AC →＝AB →＋BC →＝－a ＋13b ，显然和CD →也不共线，D 错误．故选B.5．(2023·新乡模拟)如图，在矩形ABCD 中，O ，F 分别为CD ，AB 的中点，在下列选项中，使得点P 位于△AOF 内部(不含边界)的是()A.OP →＝OA →＋OC →B.OP →＝13OA →＋23OB→C.OP→＝OD →＋12OF → D.OP→＝－14OD →＋12OA →答案D解析对于A ，OA →＋OC →的终点即为点F ；对于B ，13OA →＋23OB →的终点在线段OF 的右侧；对于C ，OD →＋12OF →的终点在线段OA 的左侧；对于D ，－14OD →＋12OA→＝14OC →＋12OA →→＋△AOF 内部．故选D.6．(2023·衡水二中高三一模)在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于点F ，则AF →＝()A.13AB →＋23AD →B.34AB →＋14AD →C.14AB →＋34AD →D.13AD →＋AB →答案C解析如图，正方形ABCD中，CE→＝2ED→，则DE＝13CD＝13AB，因为AB∥CD，所以△DEF∽△BAF，则EFAF ＝DEBA＝13，故AF→＝34AE→＝34(AD→＋DE→)＝34AD→＋3 4×13AB→＝34AD→＋14AB→.故选C.7．(2023·大连模拟)在△ABC中，AD→＝2DB→，AE→＝2EC→，P为线段DE上的动点，若AP→＝λAB→＋μAC→，λ，μ∈R，则λ＋μ＝() A．1 B.23C.32D．2答案B解析如图所示，由题意知，AE→＝23AC→，AD→＝23AB→，设DP→＝xDE→，所以AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋xDE→＝AD→＋x(AE→－AD→)＝xAE→＋(1－x)AD→＝23xAC→＋23(1－x)AB→，所以μ＝23x，λ＝23(1－x)，所以λ＋μ＝23(1－x)＋23x＝23.8．(2023·海口高三月考)点P是菱形ABCD内部一点，若2P A→＋3PB→＋PC→＝0，则菱形ABCD的面积与△PBC的面积的比值是()A．6B．8C．12D．15答案A解析如图，设AB的中点为E，BC的中点为F，因为2PA →＋3PB →＋PC →＝0，即2PA →＋2PB →＋PB →＋PC →＝0，则4PE →＋2PF →＝0，即PF →＝－2PE →，则S △PBC ＝2S △PBF ＝2×23S △BEF ＝43×14△ABC ＝13×12S菱形ABCD＝16S 菱形ABCD ，所以菱形ABCD 的面积与△PBC 的面积的比值是6.故选A.二、多项选择题9．(2023·丹东月考)下列各式中结果为零向量的是()A.AB →＋MB →＋BO →＋OM →B.AB →＋BC →＋CA →C.OA →＋OC →＋BO →＋CO →D.AB →－AC →＋BD →－CD→答案BD解析AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →，A 不正确；AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0，B 正确；OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BA →，C 不正确；AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0，D 正确．10．(2023·福清高三模拟)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 的面积的12答案ACD解析对于A ，AM →＝12AB →＋12AC →⇒12AM →－12AB →＝12AC →－12AM →，即BM →＝MC →，则M 是边BC 的中点，所以A 正确；对于B ，AM→＝2AB →－AC →⇒AM →－AB →＝AB →－AC →，所以BM →＝CB →，则点M 在边CB 的延长线上，所以B 错误；对于C ，如图，设BC 的中点为D ，则AM →＝－BM →－CM →＝MB →＋MC →＝2MD →，由重心性质可知C 正确；对于D ，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12⇒2AM →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1.设AD →＝2AM →，所以AD →＝2xAB →＋2yAC →，2x ＋2y ＝1，可知B ，C ，D 三点共线，所以△MBC 的面积是△ABC 的面积的12，所以D 正确．故选ACD.11.如图所示，B 是AC 的中点，BE →＝2OB →，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，下列结论中正确的是()A ．当P 是线段CE 的中点时，x ＝－12，y ＝94B ．当x ＝－12时，y ∈32，4C ．若x ＋y 为定值2，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x －y 的最大值为－1答案CD解析当P 是线段CE 的中点时，OP →＝OE →＋EP →＝3OB →＋12(EB →＋BC →)＝3OB →＋12(－2OB →＋AB →)＝－12OA →＋52OB →，故A 错误；如图1，当x ＝－12时，令OF →＝－12OA →，则OP→＝－12OA →＋yOB →⇔OP →＝OF →＋yOB →⇔FP →＝yOB →⇔FP →∥OB →，①当P 在点M 时，则△OAB ∽△F AM ，∴OB FM ＝OA F A ＝23，∴FM ＝32OB ，即y ＝32.②当P 在点N 时，∵BE →＝2OB →，则FN →＝32OB →＋2OB →＝72→，即y ＝72，∴y ∈32，72，故B 错误；如图2，当x ＋y ＝2时，OP →＝x 2·2OA →＋y 2·2OB →，令OH →＝2OA →，OK →＝2OB →，则OP →＝x 2OH →＋y 2OK →，∵x 2＋y2＝1，∴P ，H ，K 三点共线，且HK 交CD 于I ，HK ∥BC ，∴点P 的轨迹是线段KI ，故C 正确；由图可知x ≤0，y ≥1，当x ＝0，y ＝1时，x －y 取得最大值－1，故D 正确．故选CD.三、填空题12．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案直角三角形解析因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，所以△ABC 为直角三角形．13．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上(点E 不与点C ，D 重合)，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案0，12解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上(点E 不与点C ，D 重合)，∴DE →＝λDC →(0<λ<1)．∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0<λ<1，∴0<μ<12.14．(2023·浙江高三模拟)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PB ⊥PD ，则|PA →|的最大值是________，|PA →＋PC →|的值是________．答案55解析因为PB ⊥PD ，所以点P 的轨迹为以BD 为直径的圆(不含点B ，D )，如图，设BD 的中点为O ，由题意得BD ＝5，所以圆O 的半径r ＝52，由圆的性质可得|PA →|max ＝2r ＝5.由矩形的性质可得O 也为AC 的中点，所以|PA →＋PC →|＝|2PO →|＝2r ＝5.四、解答题15．(2024·四川绵阳三台中学月考)已知向量a ，b 不共线，且OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a ＋λb .(1)将AB →用a ，b 表示；(2)若OA →与OC →共线，求λ的值．解(1)因为OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，所以AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －(2a －b )＝a ＋2b .(2)因为OA →与OC →共线，OA →＝2a －b ，OC →＝a ＋λb ，所以OA →＝tOC →，即2a －b ＝t (a ＋λb )，又向量a ，b ＝t ，1＝tλ，解得t ＝2，λ＝－12，即λ的值为－12.16.如图，在△ABC 中，D 为BC 的四等分点，且靠近B 点，E ，F 分别为AC ，AD 的三等分点，且分别靠近A ，D 两点，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)试用a ，b 表示BC →，AD →，BE →；(2)证明：B ，E ，F 三点共线．解(1)在△ABC 中，因为AB →＝a ，AC →＝b ，所以BC →＝AC →－AB →＝b －a ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14BC →＝a ＋14(b －a )＝34a ＋14b ，BE→＝BA→＋AE→＝－AB→＋13AC→＝－a＋13b.(2)证明：因为BE→＝－a＋13b，BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋23AD→＝－a＋14b＝－12a＋16ba＋13b所以BF→＝12BE→，所以BF→与BE→共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．。
高一平面向量的知识点归纳总结
高一平面向量的知识点归纳总结平面向量是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模中常用的工具。
在高一阶段，学生首次接触平面向量，并需要掌握其相关的计算方法和性质。
本文将对高一平面向量的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，用一个点与另一个点之间的坐标差表示。
一般用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的运算1. 平面向量的相加减：向量的相加是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，并以此线段为新向量的长度和方向。
向量的相减可以转换为向量的相加：A - B = A + (-B)。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的长度乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。
数量积具有交换律和分配律。
三、平面向量的基本性质1. 平移性质：可以将一个向量平移至另一个点，其大小和方向不变。
2. 平面向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是共线的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是互相垂直的；如果两个向量不共线且不垂直，那么它们是不共线也不垂直的。
3. 向量共点性质：三个向量共点的充分必要条件是其中一个向量等于另外两个向量的和。
四、平面向量的几何应用平面向量在几何中具有广泛的应用。
其中，平面向量的模表示向量的长度，平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，平面向量的端点坐标可以确定向量在平面直角坐标系中的位置。
通过对平面向量的几何运算，可以解决平面上的定位、距离和角度等问题。
五、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用其横坐标和纵坐标来表示。
具体地说，如果向量的起点在原点O(0, 0)，终点在A(x₁, y₁)，那么这个向量可以用[x₁, y₁]来表示。
2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题2 第8讲 平面向量及其应用
第8讲 │ 要点热点探究
► 探究点三FM|＝2，P 为该 例 3 如图 8－1，平面上定点 F 到定直线 l 的距离 － ， ＝ ， 平面上的动点， 过 的垂线， 平面上的动点， P 作直线 l 的垂线， 垂足为 Q， (PF＋PQ)·(PF－PQ) ， → → → → 且 ＝0. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程； 试建立适当的平面直角坐标系， 的方程； 试建立适当的平面直角坐标系 (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 N，已知 → 过点 、 两点， ，已知NA → → → 求证： 为定值． ＝λ1AF，NB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2 为定值．
1 3 1 2 1 4 1 2
则称 A3，A4 调和分割 A1，A2，已知平面上的点 C，D 调和分割点 A， ， ， B，则下面说法正确的是 ) ，则下面说法正确的是( A．C 可能是线段 AB 的中点 ． B．D 可能是线段 AB 的中点 ． C．C、D 可能同时在线段 AB 上 ． 、 D．C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 ． 、
第8讲 │ 要点热点探究
分析】 首先理解题设给出的新定义信息， 【分析】 首先理解题设给出的新定义信息，将问题转化 成向量的共线问题讨论． 成向量的共线问题讨论．
→ ∈ ，→ D 【解析】 若 C、D 调和分割点 A，B，则AC＝λAB(λ∈R)，AD 解析】 、 ， ， → → (µ∈R)，且1＋1 ＝2. ＝µAB ∈ ， λ µ 1→ 1 1 的中点， → 对于 A：若 C 是线段 AB 的中点，则AC＝2AB⇒λ＝2⇒µ＝0，故 ： ＝ ， A 选项错误；同理 B 选项错误； 选项错误； 选项错误；
【点评】 本题是一道新定义信息题，考查学生对新定义的理解以 点评】 本题是一道新定义信息题， 及处理问题的能力 解答这类问题，首先需要分析新定义的特点， 问题的能力． 及处理问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新 定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中， 定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这 是破解新定义信息题难点的关键所在． 是破解新定义信息题难点的关键所在．
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
高考数学复习点拨：平面向量要点归纳
平面向量要点归纳由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，因此，在中学数学教材中的的地位也越来越重要，也成为近几年全国高考命题的重点和热点，以下是对平面向量中有关知识要点的归纳整理，供同学们参考．一、基本概念与运算1．要注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，这两者缺一不可．由于方向不能比较大小，因而“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．2．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：（1）有一个为零向量；（2）两个都为零向量；（3）同向且模相等；（4）同向且模不等；（5）反向且模相等；（6）反向且模不等．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．3．向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，一定要注意向量的方向．4．两个向量长度的和（差）不一定等于这两个向量和（差）的长度，因为向量的加（减）实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加（减）法是数量的加（减）法．（1）当两个非零向量a 与b 不共线时，a b +的方向不同于a b ，的方向，且a b a b +<+；（2）当向量a b ，方向相同时，a b +的方向与a （或b ）的方向相同，且a b a b +=+；（3）当向量a b ，方向相反且()a b b a >>时，a b +的方向与()a b 的方向相同，且()a b a b a b b a +=-+=-．5．对于向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：（1）数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由a λ·确定．（2）要特别注意0a =0·，而不是00a =·．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如a a λλ+-，都无法进行．（4）向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：()a a a λμλμ+=+和()a b a b λλλ+=+，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．（5）判断两个向量是否平行（共线），实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．二、基本定理及其坐标表示1．平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量1e 和2e ，平面内的任何一向量a 都可以用向量12e e ，表示为1122a e e λλ=+，并且这种表示是惟一的，即若11221122e e e e λλμμ+=+，则必有11λμ=，22λμ=．这样，平面向量本定理不仅把几何问题转化为只含有12λλ，的代数运算，而且为利用待定系数法解题，提供了理论基础.2．在利用平面向量基本定量时，一定要注意不共线这个条件.3．平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理.直角坐标系中与x 、 y 轴方向相同的单位向量是一组正交基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量α，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得x α=i +y j ．于是，平面内的任一向量α都可由x ，y 惟一确定，而有序数对()x y ，正好是向量α的坐标，这样使得平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示.在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合.很多几何问题，如共线、共点等较难问题的证明，就都可以转化为代数运算的论证，同时也为解决一些物理问题提供了一种简便有效的方法.4．平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标，如：若平面上有点1122()()A x y B x y ，，，，则2121()AB x x y y =--u u u r ，．一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等.两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，即向量的坐标表示与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.5．要注意区别两向量平行和垂直的坐标表示（1）若=a 11()x y ，，b =22()x y ，，则向量a 与b 共线的条件为12210-=x y x y ．（2）若非零向量=a 11()x y ，，b =22()x y ，，则向量a 与b 垂直的条件为12120x x y y +=．（3）要注意a 与b 共线的条件适合任何向量，而垂直的条件只是适合两非零向量，另外，（1）（2）两命题都是可逆的．三、平面向量的数量积1． 平面向量a 与b 的数量积cos ab a b θ=·是数量，而不是向量，它的值是两个向量的模 与两个向量夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是0πθ≤≤．2． 平面向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积是不同的，在学习平面向量的数量的 积时，要注意以下几点：（1） 由a ≠0，且0a b =·不能推出b =0，因为对任何一个与a 垂直的非零向量b ，都有 0a b =·．（2） 由a b b c =··不能推出a c =，例如，当a =0且b c ⊥时，a b b c =··，但不能推出a c =． （3） 平面向量的数量积不满足结合律，即()a b c ·与()a b c ·不一定相等，因为前者表示与c共线的向量，后者表示与a共线的向量，而c与a不一定共线．（4）由a b，为非零向量时，a=，cosa ba bθ=·及0a b a b=⇔⊥·，可知平面向量的数量积可用来处理有关长度、角度、垂直等等问题．3．四、平面向量的应用1．向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，根据平面向量基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论．一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．2．平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，由于平面向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度（距离）、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量的语言和方法来表述和解决几何中的一些问题．3．用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．。
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
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A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
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4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
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【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
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5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
平面向量知识点归纳高考
平面向量知识点归纳高考一、向量的定义和性质在数学中，向量是由大小和方向组成的量。
平面向量可以表示为有序的数对，其中第一个数表示向量在水平方向上的分量，第二个数表示向量在垂直方向上的分量。
即向量a可以表示为a=(a₁, a₂)。
向量的性质有：1. 向量相等：如果两个向量的对应分量相等，那么这两个向量是相等的。
2. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
即a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个常数得到一个新的向量。
即k×a=(k×a₁, k×a₂)。
4. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
即a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
5. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0表示。
二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，也就是向量的大小。
向量a的模可以表示为|a|=√(a₁²+a₂²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个固定直线之间的夹角。
一般将向量与x轴正方向之间的夹角称为向量的方向角。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积或内积。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。
向量a和向量b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
2. 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积或外积。
向量积的结果是一个向量，垂直于这两个向量所在的平面。
向量a和向量b的向量积可以表示为a×b=(a₁b₂-a₂b₁)。
四、平面向量的运算定律1. 交换律：向量的加法满足交换律，即a+b=b+a；向量的数量积满足交换律，即a·b=b·a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；向量的数量积满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳平面向量是数学中的一个重要概念，用来描述平面上的位移和力的大小和方向。
下面将对平面向量的知识点进行归纳和扩展讨论。
一、平面向量的定义平面向量是指在平面内有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
平面向量可以表示为A = (x, y)，其中x和y分别表示向量在坐标轴上的分量。
二、向量的模和方向向量的模表示向量的长度，记作|A|或||A||。
向量的方向可以通过与坐标轴的夹角来表示，通常使用与x轴的正向的夹角θ来表示。
三、向量的相等与加法向量相等的条件是它们的对应分量相等，即A = (x₁, y₁)和B = (x₂, y₂)相等当且仅当x₁ = x₂且y₁ = y₂。
向量的加法可以通过对应分量的相加来实现，即(A + B) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
四、向量的数乘向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个标量。
数乘后得到的向量的大小变为原始向量的绝对值与标量的乘积，方向与原始向量保持一致。
五、向量的减法和负向量向量的减法是指将被减向量的对应分量减去减向量的对应分量。
即(A - B) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
向量的负向量是指将向量的每个分量都取反得到的新向量。
六、单位向量单位向量是指模为1的向量，通常表示为u。
单位向量的一个重要性质是与任意非零向量的数乘结果都是与原始向量的方向相同的向量。
七、向量的数量积（内积）向量的数量积定义为A · B = |A||B|cosθ，其中A和B是两个向量，θ是它们之间的夹角。
数量积可以用来计算两个向量之间的夹角、向量的投影以及向量的正交性。
八、向量的向量积（叉积）向量的向量积定义为A × B = |A||B|sinθn，其中A和B是两个向量，θ是它们之间的夹角，n是一个垂直于A和B的单位向量。
向量积可以用来计算面积、判断向量的方向以及计算平面的法向量。
九、平面向量的基本定理平面向量的基本定理是指对于任意两个平面向量A和B，有A · B= 0当且仅当A与B垂直。
(完整版)[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结,推荐文档
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⇔ a一．【课标要求】平面向量的概念及运算（1） 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义， 理解向量的几何表示；（2） 向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3） 平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。
以选择 题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
此类题难度不大，分值 5~9 分。
预测 2010 年高考： （1） 题型可能为 1 道选择题或 1 道填空题；（2） 出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。
三．【要点精讲】1. 向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点 a , b , c的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ， a ；坐标表示法 a = xi + y j = (x , y ) 。
向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小，记作｜ a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为 0 的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ⇔ ｜ a ｜＝0。
由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与 0 的区别）③单位向量模为 1 个单位长度的向量，向量 a 为单位向量 ｜ 0｜＝1。
高中 平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识点+例题
辅导讲义――平面向量的基本定理及向量坐标运算教学内容1．平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量a 的分解. 当e 1、e 2所在的直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.[例1] 若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是（ C ）A ．b a 2-与b a 2+-B ．b a 53-与b a 106-C ．b a 2-与b a 75+D ．b a 32-与b a 4321- [巩固] 已知向量a ，b 非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（ A ）A ．b a +，b a -B ．b a -，a b -C ．b a 21+，b a +2 D ．b a 22-，b a - [例2] 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 的中点，若AC n AB m BE +=，则n m +的值是__________.21-[巩固1] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若DB AD 2=，CB CA CD μλ+=，则μλ的值为_________.21[巩固2] 设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AB AD 41=，BC BE 32=，若),(2121R AC AB DE ∈+=λλλλ，则21λλ+的值为_________.43[巩固3] 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OB y OA x OP +=，且PA BP 3=，则x=_______；y=______.43，41知识模块1平面向量的基本定理 精典例题透析[巩固4] 非零向量a ，b ，m a =，n b =，若向量b a c 21λλ+=，则c 的最大值为___________.n m 21λλ+[例3] 如图，已知Rt △BCD 的一条直角边BC 与等腰Rt △ABC 的斜边BC 重合，若AB=2，∠CBD=︒30，AC n AB m AD +=，n m -=_______.-1[巩固] 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为_________.答案 23解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E .由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝231．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y 使得：a =x i +y j .（x ，y ）叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =（x ，y ） 2．平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)， |a |＝2121y x +.知识模块2平面向量的坐标表示[巩固] 已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =，若b a 2-与c 共线，则k 的值为________.1题型一：平面向量基本定理的应用[例]（1）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于_______. （2）如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1) 45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.[巩固]已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是________.答案 0解析 ∵DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →. 又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，题型二：平面向量的坐标运算[例]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，知识模块3经典题型且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝124．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于________.解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则x ＝_______，y ＝________.解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k ≠1解析 若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.8．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1. 12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，若将b 与c 作为基底，则AD →等于____________. 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b .13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 利用平面向量的加、减法的运算法则将DE →用AB →，AC →表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可． 由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.14．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为_________． 答案3＋222解析 由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222.(当且仅当b ＝2a 时，等号成立) 15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A (1,0)， B (－12，32)，设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，11。
2012年高考“平面向量”专题分析
但是涉及 的知识点却包括 向量垂直 、向量 的数量积 、向量的模 、
单位 向量 等 ，此题考 查了方程 的思想 ，同时考查考生 的基本运
解法 １ ：将等式两边平方 ，由向量 的模及向量的数量 积的定 算 能 力． 例 ７ （ 徽 卷 ・ ８ 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ０（ ， ０ ， 安 理 ） ０ ）
平 面 向量 考查 除平 面 向量 基本运算 ，大 多以三角 函数 （ 或
解三角形） 、解析几何 、不等式 、函数等 为素材与向量结合形成
综 合问题 ，向量 的综合 运用 已成为近几 年考查热 点之一 ，其 中
不 乏一些设计 巧妙 、形式新颖 的亮点．
二 、试 题 分 析 １ ．类 型 分 析
教学要求． 试题通过 向量问题考查 学生 的运算求解能力 ，不是简 单 的 “ 、 难”运算 ，而是通过试题巧妙 的设计考查考生利用 繁” “
数 学 思 维 方 法 推 理 运 算 的 能 力 ，考 生 需 要 利 用 向 量 的数 与形 特
（ ）（４ ｖ６ ，一 ） Ｃ 一、 ／ ２
（ Ｄ）（ ４ｖ６ ，２ 一、 ／ ）
小题 的试卷 占绝大 多数 ，在 少部分试 卷 中解答题 以向量为载体
处理相关问题． 选择题和填空题重点考查平面 向量的概念 、数量 积及运算法则 ，一般属 于基 本题 ，强调 “ 通性通法 ” ，难度一般 与教材 习题相 当 ，多数 试题 与点坐标 、长度 、角度 、垂直等 问 题 有关 ；而解 答题 ，是 向量 与解 析几何 、三角 、不等 式 、函数 等 知识进行交 会 ，形成 综合 问题 ，在 问题解决过 程 中，需 要运
Ｎ ． ８ ０２ Ｏ７ ２ １ －
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｓ Ｅｄ ｃ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉ ｅｅ Ｍａｈ ｍａｉ 期 —
初二数学平面向量的基本概念与运算
初二数学平面向量的基本概念与运算在初二数学课程中，平面向量是一个重要的概念。
本文将介绍平面向量的基本概念以及常见的运算方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、平面向量的基本概念平面向量是指具有大小和方向的量。
在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(x, y)。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
二、平面向量的表示与命名方式平面向量通常用代表向量的字母加上一个箭头上方的小写字母来表示，例如向量AB可表示为→AB。
三、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则。
即将两个向量的起点相连，然后以这个线段作为对边，分别以两个向量的方向和大小作为两条边，构成一个三角形。
此时，向量的和就是由三角形的第三条边所代表的向量。
2. 向量的数乘向量的数乘，即将向量的每个分量都与一个实数相乘。
数乘后得到的向量与原向量的方向相同（当数大于0）或相反（当数小于0），而大小则是原向量大小的绝对值与数的绝对值的乘积。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来实现。
具体地说，要得到向量AB与向量AC的差向量，可以将向量AC取反再与向量AB相加。
4. 平面向量的模平面向量的模表示向量的长度，通常用|→AB|来表示。
在直角坐标系中，可使用勾股定理来计算模长，即|→AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ -y₁)²)。
5. 平面向量的单位向量单位向量是指模长为1的向量。
可以通过将向量除以自身的模长来得到单位向量。
6. 平面向量的数量积平面向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量对应分量的乘积之和，即→AB·→CD = AB·CD = x₁x₂ + y₁y₂。
数量积有很多应用，如计算两个向量的夹角、判断两个向量之间的关系等。
7. 平面向量的夹角两个非零向量的夹角可以通过数量积的定义来计算。
设向量→AB和→CD的夹角为θ，则有cosθ = (AB·CD) / (|→AB|·|→CD|)。
高考数学 核心考点 第8课时 平面向量及其运算复习
卜人入州八九几市潮王学校第8课时平面向量及其运算1．(2021年)e1、e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝k e1＋e2，假设a·b＝0，那么k的值是________．2．(2021年模拟)设向量a、b均为单位向量，且|a＋b|2＝1，那么a与b夹角为()A.B.C.D.3．(2021年)假设向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，那么2a＋b与a－b的夹角等于()A．－B.C.D.4．(2021年模拟)如图2，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，那么·的值等于()图2A．0B．4 C．8D．－45．(2021年)在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，那么·＝________.6．(2021年全国)a与b均为单位向量，其夹角为θP1：|a＋b|>1⇔θ∈P2：|a＋b|>1⇔θ∈P3：|a－b|>1⇔θ∈P4：|a－b|>1⇔θ∈)A．P1、P4B．P1、P3 C．P2、P3D．P2、P47．(2021年)两个单位向量e1、e2的夹角为，假设向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，那么b1·b2＝______.8．(2021年模拟)点G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ、μ∈R)，假设∠A＝120°，·＝－2，那么||的最小值是()A.B.C.D.9．(2021年模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c(其中a≤b≤c)，设向量m＝(cos B，sin B)，n＝(0，)，且向量m－n为单位向量．(1)求∠B的大小；(2)假设b＝，a＝1，求△ABC的面积．10．(2021年模拟)函数f(x)＝cos2x－sin2x＋2sin x cos x＋1.(1)：x∈，求函数f(x)单调减区间；(2)假设函数f(x)按向量a平移后得到函数g(x)，且函数g(x)＝2cos2x，求向量a.。
浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件：第8课时 平面向量及其综合应用
则x1
p 2
x2
p 2
x3
p 2
0，
所以x1
x2
x3
3p， 2
因此
FA FB
FC
3p 2
x1
x2
x3
3p
6.
答案B
第十四页，编辑于星期日：十五点 二十二分。14
3.应用问题
b 0)的一个焦点是F 1, 0，
O为坐标原点．
（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正
1．熟练掌握向量运算的几何意义、物理意义及 向量的坐标运算，这是学好向量的根本．
2．学会把平面中的平行、垂直、夹角、距离等 从向量的角度认识，体会向量的工具性．
（1）要证AB CD，可转化为证 | AB CD | .
（2）要证AB / /CD，只要证存在实数 0，使AB
CD.
（3）要证AB CD，只要证AB CD 0.
第十二页，编辑于星期日：十五点 二十二分。12
【变式训练】(2011 3月舟山中学模拟)设F为抛物线
y2 4x的焦点，A、B、C是该抛物线上的点，且
满足FA+FB+FC=0,则 FA + FB + FC ( )
A．9
B．6
C．4
D．3
第十三页，编辑于星期日：十五点 二十二分。13
设A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，C(x3，y3 )，p 2，
该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a 1e1 2e2.
3．设a (x1，y1)，b (x2，y2 )，则a b a b cos
x1x2 y1y2；其几何意义是a b等于a的长度与b在a的方向上的
投影的乘积；a在b的方向上的投影 a cos a b x1x2 y1y2 .
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第8课时 平面向量及其运算
1．(2011年江苏)已知e 1、e 2是夹角为23
π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．
2．(2011年安徽模拟)设向量a 、b 均为单位向量，且|a ＋b|2＝1，则a 与b 夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4
3．(2011年湖北)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )
A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4
4．(2011年广东茂名模拟)如图2，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC
上的高，则AD →·AC →的值等于( )
图2
A ．0
B ．4
C ．8
D ．－4
5．(2011年上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.
6．(2011年全国)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
P 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣
⎡⎭⎫0，2π3 P 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π
P 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎡⎭
⎫0，π3 P 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π 其中的真命题是( )
A ．P 1、P 4
B ．P 1、P 3
C ．P 2、P 3
D ．P 2、P 4
7．(2011年江西)已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为π3
，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，
则b 1·b 2＝______.
8．(2011年安徽淮南模拟)已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →( λ、μ∈R )，若∠
A ＝120°，A
B →·A
C →＝－2，则|AG →|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23 D.34
9．(2011年广东揭阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c (其中a ≤b ≤c )，设向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(0，3)，且向量m －n 为单位向量．
(1)求∠B 的大小；
(2)若b ＝3，a ＝1，求△ABC 的面积．
10．(2011年安徽淮南模拟)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋2 3sin x cos x ＋1.
(1)已知：x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π3，求函数f (x )单调减区间； (2)若函数f (x )按向量a 平移后得到函数g (x )，且函数g (x )＝2cos2x ，求向量a .
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