中考数学专题复习函数应用题

中考数学专题复习函数应用题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分
一、解答题
1．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①①①三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
2．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x/(元/千克)506070
销售量y/千克1008060
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？
3．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元;①花卉的平均每盆利润始终不变.
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W 1，W 2（单位：元）
（1）用含x 的代数式分别表示W 1，W 2;
（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少?
4．一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k ，a ，c 的值；
（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相
交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.
5．在平面直角坐标系中，已知点()()()1,2.2,3.2,1A B C ，直线y x m =+经过点A ．抛物线21y ax bx =++恰好经过,,A B C 三点中的两点．
()1判断点B 是否在直线y x m =+上．并说明理由；
()2求,a b 的值；
()3平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．
6．已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．
（1）求a 的值；
（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较
y 1与y 2的大小，并说明理由；
（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．
参考答案：
1．（1）23304
y x x =-+（0＜x ＜40）；（2）当x=20时，y 有最大值，最大值是300平方米．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，可得出AE=2BE ，设BE=a ，则有AE=2a ，表示出a 与2a ，进而表示出y 与x 的关系式，并求出x 的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可．
试题解析：（1）①三块矩形区域的面积相等，
①矩形AEFD 面积是矩形BCFE 面积的2倍，
①AE=2BE ，
设BE=a ，则AE=2a ，
①8a+2x=80，
①a=-14
x+10，3a=-34x+30， ①y=（-34x+30）x=-34x 2+30x ， ①a=-14
x+10＞0， ①x ＜40，
则y=-34
x 2+30x （0＜x ＜40）； （2）①y=-34x 2+30x=-34（x-20）2+300（0＜x ＜40），且二次项系数为-34
＜0， ①当x=20时，y 有最大值，最大值为300平方米．
考点：二次函数的应用．
2．(1)y ＝－2x ＋200(4080)x ≤≤ (2)W ＝－2x 2＋280x －8 000(3)售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求一次函数的表达式；
（2）利用利润的定义，求与之间的函数表达式；
（3）利用二次函数的性质求极值.
【详解】
解：(1)设y kx b =+，由题意，得501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩
，①所求函数表达式为2200y x =-+.
(2)2(40)(2200)22808000W x x x x =--+=-+-.
(3)22228080002(70)1800W x x x =-+-=--+，其中4080x ≤≤，①20-<，
①当时，随的增大而增大，当7080x <≤时，随的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.
考点： 二次函数的实际应用.
3．（1）W 1=-2x²+60x+8000，W 2=-19x+950；（2）当x=10时，W 总最大为9160元.
【解析】
【详解】
【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期培植盆景（50+x ）盆，花卉（50-x ）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，①花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W 1，W 2与x 的关系式；
（2）由W 总=W 1+W 2可得关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可得.
【详解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期培植盆景（50+x ）盆，花卉
[100-(50+x)]=（50-x ）盆，由题意得
W 1=(50+x)(160-2x)=-2x²+60x+8000，
W 2=19(50-x)=-19x+950；
（2）W 总=W 1+W 2=-2x²+60x+8000+（-19x+950）=-2x²+41x+8950，
①-2＜0，41-2-2⨯（）
=10.25， 故当x=10时，W 总最大，
W 总最大=-2×10²+41×10+8950=9160.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找准数量关系列出函数解析式是解题的关键.
4．（1）k =-2，a =-2，c =4；（2）2(1)7W m =-+, W 取得最小值7.
【解析】
【分析】
（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax 2+c ，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a 的值；
（2）由A （0，m ）（0＜m ＜4）可得OA=m ，令y=-2x 2+4=m ，求出B ，C 坐标，进而表示出BC 长度，将OA ，BC 代入W=OA 2+BC 2中得到W 关于m 的函数解析式，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，
①一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为0，
①顶点坐标为（0,4）
①c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x 2+4，令
y=m ，得2x 2+m-4=0 ①4-m x=2
±
，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则124-m x x =22+， ①W=OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ①当m=1时，W 取得最小值7
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B ，C 坐标是解题的关键.
5．（1）点B 在直线y x m =+上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）54
【解析】
【分析】
（1）先将A 代入y x m =+，求出直线解析式，然后将将B 代入看式子能否成立即可； （2）先跟抛物线21y ax bx =++与直线AB 都经过（0，1）点，且B ，C 两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A ，C 两点，然后将A ，C 两点坐标代入21y ax bx =++得出关
于a ，b 的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h ）2+k ，根据顶点在直线1y x 上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为-h 2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】
（1）点B 在直线y x m =+上，理由如下：
将A （1，2）代入y x m =+得21m =+，
解得m=1，
①直线解析式为1y
x ， 将B （2，3）代入1y x ，式子成立，
①点B 在直线y x m =+上；
（2）①抛物线21y ax bx =++与直线AB 都经过（0，1）点，且B ，C 两点的横坐标相同， ①抛物线只能经过A ，C 两点，
将A ，C 两点坐标代入2
1y ax bx =++得124211a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得：a=-1，b=2； （3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h ）2+k ，
①顶点在直线1y
x 上，
①k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为-h 2+h+1，
①-h 2+h+1=-（h-12）2+54
， ①当h=12时，此抛物线与y 轴交点的纵坐标取得最大值54． 【点睛】
本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
6．（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3）3
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴2b x a
=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果
（3）先根据求根公式计算出1x m =±，再表示出|1(1)|AB m m =+--+，12CD x x =-=233
m =，即可得出结论 【详解】
解：（1）由题意得：212x a
-=-= 1a
（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>
∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，
当1x >时，y 随x 的增大而增大．
∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，
1x =-时，4y =，0x =时，1y =
114y ∴<<
同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大 1x =时，0y =．
2x =时，1y =
201y ∴<<
12y y ∴>
（3）令221x x m -+=
22(1)0x x m -+-= 2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-
4m =
24121
m x m ±∴==±⋅ 11x m ∴=+ 21x m =-+
|1(1)|AB m m ∴=+--+
2m =
令23(1)x m -=
2(1)3m x ∴-=
1313m x ∴=+ 2313
m x =-+ 12CD x x ∴=-233
m =
23233
AB m CD m
∴== ∴AB 与CD 的比值为3
【点睛】
本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点。