浙江省宁波诺丁汉大学附属中学高三数学上学期期中试题

浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2017届高三数学上学期期中试题
考生注意：1.不允许用计算器。

2.参考公式：
球的表面积公式：S =4πR 2
球的体积公式：V =
3
4πR 3 其中R 表示球的半径 棱锥的体积公式：V =31
Sh 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱柱的体积公式：V =Sh
其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高
棱台的体积公式
V =)(3
12211S S S S h ++
其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,
h 表示棱台的高
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．定义集合{}12)(|-=
=x x f x A ，{})22(log |2+==x
y y B ，则=B C A R I （ ）
A ．),1(+∞
B ．[0，1]
C ．[0，1）
D ．[0，2）
2．下列命题正确的是（ ）
A ．“92>a ”是“3>a ”的充分不必要条件
B ．函数6)(2
--=x x x f 的零点是（3，0）或（﹣2，0）
C ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2﹣x ﹣6＞0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2
﹣x ﹣6≤0 D ．命题“若062=--x x ，则3=x ”的否命题为“若062=--x x ，则3≠x ” 3．已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若,,//α⊥m n m 则α⊥n B ．若,,αβ⊥⊥m m 则βα// C ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ D ．若n m =βααI ,//，则n m //
4．已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )
A. 21
B. 20
C. 19
D. 18 5．将函数x x x x x f 2sin )sin 2)(cos 23sin(
)(+-+=π的图象向左平移8
π
个单位长度后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）
A ．在)4,
0(π
上单调递增，为奇函数 B ．周期为π，图象关于)0,4
(π
对称
C ．最大值为2，图象关于直线2
π
=
x 对称 D ．在)0,2
(π
-
上单调递增，为偶函数
6．已知))(()(),0()(2
x f f x g a c bx ax x f =>++=，若)(x g 的值域为)(),,2[x f +∞的值域为
),[+∞k ，则实数k 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
7．已知点P 为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上一
点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且a
b F F 2
21||=，I 为
三角形21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立， 则λ的值为（ ）
A ．
2
2
21+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知二面角A BD A --1的大小为6
π
，若空间一条直线l 与直线CC 1所成的角为
4
π
，则直线l 与平面BD A 1所成的角的取值范围是（ ） A ．]125,12[ππ B ．]125,4[ππ C ．)2,12[ππ D ．]4
,6[π
π 二．填空题：本大题共7小题，9-11和15小题6分，,12-14小题4分，满分36分. 9. 函数x x f =
)(在1=x 处的切线l 方程是______________，
以直线l 与y 轴的交点为焦点的抛物线标准方程是_________________.
10．设函数⎩⎨⎧>≤=0
,ln 0,)(x x x e x f x ，则=))21((f f ，
方程1))((=x f f 的解集 ．
11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图
是等腰直角三角形，该几何体的表面积为____________， 体积为_______________．
12．已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足3,2,1),0(3322111=-=-=->=a b a b a b a a a . 若a =1，则数列{}n a 的通项公式为______________，若数列{}n a 唯一，则a =__________.
13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪
⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x 则y x z +=||2的取值范围是 ．
14．在AOB ∆中，已知2,1,45OB AB AOB ==∠=︒u u u r u u u r ,若OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r
,且22λμ+=,
则OA u u u r 在OP uuu r
上的投影的取值范围是 ．
15. 记{},p q max ,,p p q q p q
≥⎧=⎨<⎩，设(){}
22
,max 1,1M x y x y y x =++-+，其中,x y R ∈，
则(),M x y 的最小值是__________．
三．解答题：本大题共5小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（14分）已知在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且C a A c cos 3sin 2,2==．
（1）求角C 的大小；
（2）若C C B A sin )2sin(2sin 2=++，求ABC ∆的面积．
17．（15分）如图，矩形ABCD 中，
)1(>=λλAD
AB
，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角E AB C --为直二面角． （1）求证：平面⊥ACE 平面BCE ；
（2）设F 是BE 的中点，二面角F AC E --的平面角 的大小为θ，当]3,2[∈λ时，求θcos 的取值范围．
18．（15分）数列{}n a 各项均为正数，2
11=a ，且对任意的*N n ∈，都有)0(2
1>+=+λλn n n a a a ． （1）取1
1+=n a λ，求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+n n a a 1是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2016
1
=
λ，是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．
19．（15分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的离心率为21，焦点与短轴的两顶点的连线与圆
4
3
22=
+y x 相切． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)0,1(的直线l 与C 相交于B A ,两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NB NA ⋅为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．
20．（15分）已知函数R m x x m x g x x x f ∈+-=-
=,2
1)(,21ln )(2
2，令)()()(x g x f x F +=． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值；
（3）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求21x x +的取值范围．
2015-2016学年度第二学期期末考试
高三年级数学参考答案
一、1.B ； 2.C ； 3.D ； 4.B ； 5.A ； 6.C ； 7.D ； 8.A.
二、9.y x y x 2,0122
==+-； 10.
{}
e e ,1,2
1
； 11. 332,734++； 12. 31,)22(1-±=n n a ； 13. ]11,1[-； 14. ]1,22(-； 15. 4
3. 三、16.解：（1）由已知得,c sin A =a cos C ,由正弦定理得,sin C sin A =sin A cos C .
又sin A >0,∴cos C ≠0,sin C =
cos C ,tan C =, ∴C =. ………………………………6分
（2）由2sin 2A+sin(2B+C )=sin C 得, 2sin 2A =sin C-sin(2B+C ),
∴4sin A cos A =sin(A+B )-sin[(π-A )+B ]=sin(A+B )+sin(B-A )=2sin B cos A. 当cos A =0时,A =,此时B =，∵c =2, ∴b =
, S △ABC =bc =
.
当cos A ≠0时,sin B =2sin A ,∴b =2a . 由c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得,4=a 2+b 2-ab . 联立
,得3
34,3
32==b a , ∴S △ABC =ab sin C =
.
综上所述,△ABC 的面积为. ………………………14分
17.证明：（1）∵二面角C ﹣AB ﹣E 为直二面角， AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴BC ⊥AE ∵AE ⊥CE ，BC∩CE=C，∴AE ⊥平面BCE
∵AE ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BCE………..6分
解：（2）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ，
则，设平面EAC 的法向量为
则，取x=1，
， 同理设平面FAC 的法
向量为，
∴
∵. …………15分
18.（1）证明：0,12
1211
2
11=+-⇒+=∴=+++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a λΘ
2
5
1,0,25101)()(
11121+=∴>±=⇒=+-∴++++n n n n n n n n n a a a a a a a a a Θ (为常数)， 所以数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧+n n a a 1是公比为25
1+的等比数列. 1
1)2
51(21,21-+=∴=n n a a Θ. ………………………………………7分
解：（2）∵a n+1=a n +ca n 2，
c=， ∴a n+1＞a n ＞0．
∴，即
=
，
∴
+
+…+=++…+=
． ∴＜
+
+…+
=
．
当n=2016时，＜1，可得a 2017＜1． 当n=2017时，2﹣
＞
+
+…+
=1，可得a 2018＞1．
因此存在n ∈N *
，使得a n ＞
1． ………………………………………………………………………………15分 19.解：（1）∵椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线
与圆x 2+y 2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3，
∴椭圆方程为
. …………………………………………………………………………………6分
（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，
则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=
如果要上式为定值，则必须有
验证当直线l斜率不存在时，也符合．
故存在点满足. (15)
分
20. 解：（1）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），
由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．………4分
（2）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx2+x，x＞0，
令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，
则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．
G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，
①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，
又因为G（1）=ln1﹣m×12+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，
所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，
因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，
故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×+（1﹣m）×+1=﹣lnm，
令h（m）=﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，
又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，
所以整数m的最小值为2．…………………………………………………………10分
（3）m=﹣1时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0，
由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即lnx1++x1+lnx2++x2=0，
整理得：+（x1+x2）=x1 x2﹣ln（x1 x2），令t=x1•x2＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）=，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上
单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1，
所以+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≤﹣﹣1，或x1+x2≥﹣1，
因为x1，x2为正整数，所以：x1+x2≥﹣1成立．………………………………………………15分。