数学沪科版九年级(上册)22.3.2相似三角形的性质定理2、3

解：两种蛋糕是相似的，
相似比是1：2，
面积的比为
1 2
2
1:
4
设半径是30cm的蛋糕够x人吃
1：4＝2：x
x=8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
A1 A
B
C
B1
C1
新知探究
一 相似三角形周长比等于相似比
合作探究
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形， 它们都相似吗？ （都相似） 3
2 1
(1)
(2)
(1)与(2)的相似比=__1_∶__2_, (1)与(2)的周长比=__1_∶__2_， (1)与(3)的相似比=__1_∶__3_, (1)与(3)的周长比=__1_∶__3_.
∴ AD
=
3 .
AB 5
∴ AD DB
=
3 2.
D
E
B
C
新知探究
例3：如图所示，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC
的面积为100cm2 ，且
AE AC
AD AB
3 5
求四边形BCDE的面积.
AE 解：∵∠BAD=∠DAE，且AC
AD AB
3, 5
∴△ABC ∽△ADE .
∴它们的相似比为5：3，
AD AD
k
•k
k2.
2
新知探究
归纳总结
定理3： 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
新知探究
例2：如图，△ABC的面积为25，直线DE//BC，如果 △ADE
的面积为9，求
AD DB
的值.
A
解： ∵ DE//BC，
∴ △ADE ∽△ABC.
∴
AD2 AB2
=
SΔADE SΔABC
=
9 25 .
第二十二章 相似形
22.3.2 相似三角形的性质定理2、3
教学目标
1.掌握相似三角形的性质定理2、3；（重点） 2.运用相似三角形的周长、面积比解决实际问题.(难点)
复习导入
问题引入
问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、对 应中线的比和对应角平分线的比等于相似比.那么它们周长、 面积之比也等于相似比吗？
解：在△ABC和△DEF中，
A D
∵ AB＝2DE，AC＝2DF.
∴
DE DF 1 AB AC 2
.
B
CE
F
又 ∠D＝∠A, ∴∴△D△EDFE的F∽周△长AB=C1，△相AB似C比的为周长12 =. 12.
2
新知探究
判断 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长 也扩大为原来的5倍；
解：对. 一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5 原周长 ＝1 扩大5倍周长 5 扩大5倍周长＝5×原周长
新知探究
二 相似三角形面积的比等于相似比的平方
合作探究
问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，
回答以下问题：
（1）
（2）
（3）
2 1
3
(1)与(2)的相似比= __1_∶__2_,
S△GEC SBiblioteka ABCEC BC2
EC 2 BC 2
G
1 2
EC 2 22
EC2 2.EC
2.
BE BC EC 2 2.
即△ABC平移的距离为 2 2.
随堂小测
5. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是 30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃，半径是30cm的 蛋糕够多少人吃（假设两种蛋糕高度相同）？
B A′
D
C
∵△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，并
且∠B=∠B′，
∴△ABD∽△A′B′D′. AD AB . AD AB
B′ D′ C′
∵△ABC∽△A′B′C′.
AB BC . AB BC
AD k. AD
S△ABC S△A B C
1 BC • 2 1 BC •
AD AD
BC • BC
(1)与(2)的面积比=__1_∶__4_ (1)与(3)的相似比=__1_∶__3_, (1)与(3)的面积比=__1_∶__9_
有什么规律吗？ 结论： 相似三角形的面积比 等于 相似比的平方 ．
新知探究
想一想：怎么证明这一结论呢？
A
证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,
如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高 AD和A′D′.
则图中阴影部分的面积为
（C）
1
1
1
1
A.3 B. 5
C.6
D.8
A
E
D
F
B
C
随堂小测
4.将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分的 面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.
解：根据题意，可知EG∥AB.
∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.
∴△GEC∽△ABC
A D
B
CE
F
巩固练习
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
DE DF 1 AB AC 2
又 ∠D＝∠A
∴ △DEF∽△ABC，相似比为 1
2
S△DEF SABC
1 , SDEF 4 48
1 4
，SDEF
12.
课堂小结
相似三角形周长之比等于 相似比
相似三角 形的性质 定理2、3
C B1
有 AB BC CA kA1B1 kB1C1 kC1A1 k.
A1B1 B1C1 C1A1
A1B1 B1C1 C1A1
A1 C1
新知探究
归纳总结
定理2： 相似三角形周长的比等于相似比.
新知探究
例1.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝ ∠D，△ABC的周长是24，求△DEF的周长．
面积比为25：9.
A
E D
又∵△ABC的面积为100 cm2 ， B
C
∴△ADE的面积为36 cm2 .
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
新知探究
如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k， 它们面积的比是多少？
A′
A
D′
D
B
B′
C
C′
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
2.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较 大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的
4
周长_1_4__cm，面积为__3__cm2.
巩固练习
3. 若△ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60cm和72cm，且 AB=15cm，B′C′=24cm，求BC，AC，A′B′,A′C′的长.
新知探究
判断
一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形 的面积也扩大为原来的9倍．
解：错.∵一个四边形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9，
∴S扩S大原后四的边四形边形＝
1 9
2
，
即边长扩大9倍后的四边形，面积为原四边形面积的81倍.
巩固练习
1.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角 形与原三角形的周长比等于___1_:2__,面积比等于__1_:_4___.
解：∵ △ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60cm和
72cm，
AB BC CA 60 ,
A
A1B1 B1C1 C1 A1 72 A
∵AB=15cm，B′C′=24cm，
∴BC = 20cm， AC = 25cm，
A′B′=18cm，A′C′=30cm. B
C B
C
巩固练习
4.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D， △ABC的面积是48，求△DEF的面积．
相似三角形面积之比等于 相似比的平方
性质的应用
随堂小测
1.已知△ABC与△A′B′C′的相似比为2：3，则对 应边上中线之比 2:3 ，面积之比为 4:9 .
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9， 周长的比为_1_:_3___ .
随堂小测
3.如图，在 ABCD中，E为AD的中点，若 S ABCD=1，
(3)
结论： 相似有三什角么形规的律周吗长？比 等于相__似__比__．
新知探究
想一想：怎么证明这一结论呢？ 求证：相似三角形的周长比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
A
AB BC CA k,
A1B1 B1C1 C1A1
B
AB kA1B1, BC kB1C1, CA kC1A1,