2019年高考数学总复习 专题6.3 等比数列及其前n项和导学案 理

第三节 等比数列及其前n 项和
最新考纲
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.了解等比数列与指数函数的关系. 知识梳理
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 数学语言表达式：
a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n
＝q (n ∈N *
，q 为非零常数). 2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1
(a 1≠0，q ≠0)．
3．等比中项
如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b
G
，G 2
＝
ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项．
4．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q
1－q
.
5．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q
n －m
(n ，m ∈N ＋)．
(2)若{a n }为等比数列，且若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *
)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2
k .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2
n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数
列．
(4)等比数列{a n }的单调性：
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列.
(5)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m
. (6)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n
. 典型例题
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或
1
2
【答案】C
【解析】根据已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2
＝7，
a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，
①②
②÷①得1＋q ＋q
2
q
2
＝3. 整理得2q 2
－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12
.
(2)[2017·江苏高考]等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63
4，则a 8＝
________. 【答案】 32
【解析】 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，
则⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 11－q 31－q ＝7
4
，
a 1
1－q 6
1－q
＝634
，两式相除得1－q
3
1－q
6＝
1－q 3
1－q
3
1＋q
3
＝19
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝14，q ＝2，
所以a 8＝14
×27＝25
＝32.
(3)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________. 【答案】6
规律方法
1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．
2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．
【变式训练1】 (1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 【答案】 B
【解析】 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，
∴S 7＝a 11－q 71－q ＝a 11－27
1－2
＝381，解得a 1＝3.故选B.
（2）设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1
a n
<1，若a 3＋a 5＝20， a 3a 5＝64，则S 4等于( ) A ．63或120 B ．256 C ．120 D ．63
【答案】 C
【解析】 由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＋a 5＝20，
a 3a 5＝64，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝16，
a 5＝4或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝4，a 5＝16.
又a n ＋1
a n <1，所以数列{a n }为递减数列，故⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝16，a 5＝4.
设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2
＝a 5a 3＝14
，
因为数列为正项数列，故q ＝1
2
，从而a 1＝64，
所以S 4＝64×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12
＝120.故选C.
3．[2017·北京高考]若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2
＝________. 【答案】1
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝
a 4－a 13
＝
8－(－1)
3
＝3，
由b 4＝b 1q 3得q 3
＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.∴a 2b 2＝a 1＋d b 1q ＝－1＋3－1×(－2)
＝1.
4.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________． 【答案】 S n ＝2n
－1.
【解析】设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q 3
＝9，
a 21·q 3
＝8，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝8，q ＝1
2
.
又{a n }为递增数列，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2，∴S n ＝1－2n
1－2
＝2n
－1.
5.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构
成等差数列，则a n ＝________. 【答案】a n ＝2
n －1
.
【解析】解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2
q
＋2＋2q
＝7，即2q 2
－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，所以q ＝2，所以a 1＝1.
故数列{a n }的通项为a n ＝2
n －1
.
6.数列{ɑn }中，已知对任意n∈N *
，ɑ1＋ɑ2＋ɑ3＋…＋ɑn ＝3n
－1，则ɑ2
1＋ɑ2
2＋ɑ2
3＋…＋ɑ2
n 等于( ) A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n
－1 D.14
(3n －1)
【答案】B
【解析】∵ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn ＝3n
－1，n ∈N *
，n ≥2时，ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn －1＝3n －1
－1，
∴当n≥2时，ɑn ＝3n
－3
n －1
＝2·3
n －1
，
又n ＝1时，ɑ1＝2适合上式，∴ɑn ＝2·3
n －1
，
故数列{ɑ2
n }是首项为4，公比为9的等比数列， 因此ɑ2
1
＋ɑ22
＋…＋ɑ2n
＝4（1－9n
）1－9＝12
(9n
－1)．
7.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 【答案】 A
【解析】 (a 1a 2a 3)×(a 7a 8a 9)＝a 6
5＝50，a 4a 5a 6＝a 3
5＝5 2.选A.
8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________. 【答案】 31
【解析】 a 3a 5＝a 2a 6＝64，因为a 3＋a 5＝20，所以a 3和a 5为方程x 2
－20x ＋64＝0的两根，因为a n >0，
q >1，所以a 3<a 5，所以a 5＝16，a 3＝4，所以q ＝
a 5a 3＝164＝2，所以a 1＝a 3q 2＝4
4
＝1，所以S 5＝1－q
5
1－q
＝31. 9.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.55
8 【答案】 A
【解析】 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝1
8
.故选A.
10.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16
【答案】 B
【解析】 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2
＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．
∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23
＝30.故选B.
11.(2016·全国Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ.
【答案】（1）略（2）λ＝－1.
【解析】(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ
，a 1≠0.
由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得
a n ≠0，
所以
a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1
的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1
.
(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫λλ－15＝132
. 解得λ＝－1.
12.已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n
，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n
}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n
3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
【答案】（1）a n ＝3n
＋5n
.（2）T n ＝5n ＋1
2·3n ＋n －5
2
.
【解析】(1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n
， 所以a n ＋1－3
n ＋1
＝5a n －2·3n －3
n ＋1
＝5(a n －3n
)，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，
所以数列{a n －3n
}是首项为5、公比为5的等比数列． 所以a n －3n
＝5n
，所以a n ＝3n
＋5n
.
(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n
3n ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫53n
，
则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫531＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋…＋1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫53n ＝n ＋53⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53n 1－53
＝5n ＋12·3n ＋n －52.
13.已知数列{a n }满足2a 1＋4a 2＋ (2)
a n ＝n n ＋1
2
.
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n n 是等比数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和T n . 【答案】（1）略（2）T n ＝2－
n ＋2
2
n
.
【解析】(1)证明：当n ＝1时，由2a 1＝1，得a 1＝12，
当n ≥2时，由2a 1＋4a 2＋ (2)
a n ＝n n ＋1
2
，得
2a 1＋4a 2＋…＋2n －1
a n －1＝
n －1n
2
，
于是2n
a n ＝
n n ＋1
2
－
n －1n
2
＝n ，整理得a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，又a 1＝1
2
符合上式，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等比数列．。