二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质---课件-(1)

平移方法:
y=ax2向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
2
(2)抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
y 1 x2 2
y 1
有什么关系? 平移方法1:
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3
y
1 2
x
2向下平移 1个单位
y
1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
向上 直线x=－3 (－3, 5 ) 向下 直线x=1 ( 1 , －2 )
y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 , 7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平
移2个单位得到的抛物线是
。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
A
∵这段抛物线经过点(3,0)
2
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=－(43x－1)2＋3 (0≤x≤3)
O
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
例3.画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图像.指出它的开口方向、 顶点与对称轴、 2
解: 先列表
x
… -4
y 1 (x 1)2 1 … -5.5
2
再描点
-3 -2
-3 -1.5
-1 0
-1 -1.5
1 2…
-3 -5.5 …
后连线.
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
1、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交 点坐标 （0，36） 。
B(1，3) 12
C(3,0)
3x
一个运动员推铅球，铅球出手点在A处， 出手时球离地面 1 2 ｍ ，铅球运行所经 过的路线是抛物线，3 已知铅球在运动员前 4ｍ处达到最高点，最高点高为3ｍ，你 能算出该运动员的成绩吗？
3米
12 3
4米
一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面 高 2米0 ,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出 手后水9平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球 运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
6y
4
0,
20 9
2
（4，4） （5，4） (７，３） ● （8，3）
01
2
3
4
55
6
7
8
9
10
X
-2
若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），
则a=
。
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经 过点（2，3），求它的解析式。
问此球能否投中？
4米
3米
20
Hale Waihona Puke 94米8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
1 2
x2向1个左单平位移y
1 (x 1)2 2
向下平移 1个单位
y
1 2
(x 1)2
1
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
h>0
h<0
开口向上
h>0 h<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 y 1 (x 1)2 1 的开口向下, 2
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 (x 1)2 1
2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.)
3.抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下;