微分中值定理证明方法浅探

(
b f b
x 一
(
f
x 一
) (
x
) ) F )
a a
月 歼 | 土
军
夕
氏〕 (
( 一 (一
( (
) I
) F )
ù E 八
曰 曰 日 盯
一
扩
〔 证 明〕
中 F
、
( 满 足在 〔
内可导
,
x
、
b 〕 上连 续
a
_
;
)
a
在
( b
且
)
中
z
了 、 、 ` 了 、 ` / 一
`
x
)
、 户 . 、
、 ó 飞 ` 一 了 、 . 了
f
( (
x
a ) 在 闭区 间 (
、
b
〕 上 连续 (
a
在开 区间 (
b
a
b
a
、
) 内可 导
b
,
且 f
)
=
,
f
)
f
`
,
则
即
;
z
( 图
2
)
在 (
二0
) 内至 少存在 一 点 七 使 得
a
、
( 幼 ) 内
、
了
,
、
_
f
(
b
)
一 f
a
。
(
a
)
罗尔定 理 的 几 何意 义 是 在 (
至 少 存 在 一 点 七 使得 在 点 ( 毛 切 线平行 于 X 轴
x f ( )一 〔 ,
定 理的 几 何意 义 又 可 说 成 在 (
少 存在 一 点 息 使 得在 点 ` 毛 切线斜 率等 于 两 端点 连 线 A
,
b
( )
) 内至
, 。
+
f
邑 ) 处的 在
a
、
红 二也 二二业
b一
a
B 的斜 率
(
。
x
一
a
) 〕
冬
。
己
b 两 端 长 度 是 相 等的
于是
中
,
考虑 辅 助 函 数 )
二 f f
(
x
(
b
x
)
a
一
f ( 〔
a
) (
、
十 一
a
A
J I | , 山 | 4 !
吕
i
厂 | 一 ! 名
( (
= f
)
一 f
(
a x
b一
) 〕
显 然
,
中
、
x
a ) 满足 在 〔
,
_
b〕上 连
l
l
续
;
在 (
中
`
a
b
) 内可 导
f
产
且
一
a
(
x
)
(
b
x
)
a
! 二
( (
) )
一 f
(
。
)
,
b
斗
尤
又中 (
数学 通讯 中 曾介 绍 过 以罗 尔定 理 为 出 发 点
即
,
定理 ) ) b (
a
、
。
设 函数 f (
,
X
)
g
(
X
、
〔 证 明〕
中 b
a
、
b 〕 上 连续
a 在开 区 间 (
(
x
a ) 满 足 在 〔 ;
、
b 〕上 连
续
;
在
且
f
) 内可导
中
`
且 )
= f b
`
(
`
b
)
一 f
(
a
)
`
= g
a
(
b)一 g(
通 过几
点 鱿
<
乞 < b
是否 还 存 在 一 ( ) ) 使 得在 点 ( 息 f 毛 ) 处
B 的斜率 ?
都是在 证 明 罗 尔定理 的基 础 上
,
切线 的斜率 等 于 两 端 点连 线 A
何 分 析 引 入 辅 助 函 数 的 方 法 来 证 明拉 格 朗 日 中值定 理 和 柯西 中值 定 理
。 , 、
b
b一
f
(
邑 )处
b
这 就 是拉 格朗 日 中值定 理
是由于
f
` a
)
一 f
(
,
)
,
与 罗 尔定 理 相 比 较
二 f
,
只少 条 件 f (
,
a x
) )
(
f
b
)
。
但 由 观 察可 知
(
a
曲线 y
=
f
(
所 以 两端 点连 线 A B 平 行 X 轴
, ,
。
因 而
a
罗 尔
和 弦 A B 的差
f
= b
f
( 毛)
一 f
a
一
a
(
)
(
)
_
` ` `
。
在 数学 实践 中
,
笔 者感 到用 解析分 析法
,
b一
U
证 明微分 中值 定 理 学 生 更 易 理 解 受
:
便 于接
f ,
( 是)
_ _
=
拉格朗日 ( L 在 (
a
、
a
g
r
a
n
ge
) 定 理 的结 论 是
,
b
) 内至 少 存 在 一 点 邑 使 得
a
b一
)
= 中
b
一。
从 而
应 用罗
(图
1
)
尔理 有 中
即
产
( 七
=
)
、
o
欲证 幼 (
一 b
) (
a
a
)
f
f
`
勺
一
一
`
卜 卜
一
一
一 ( a
一
)
f
i
l r
一 b
只 须证
`
, `
( 乙)
a ` 、 了 一一 b 一一 b 一 )
(
七 = )
f
f
一
一 二
一 a
、 声 . 一
f 一
é 八
f
l
(
b
)
一 f
a
(
然而
,
辅 助 函数
为此
,
的引入始 终是 数学上 的 一 个 难 点 们对 此也 曾进 行 过探 讨
:
。
。
微 我
分 中值 定理 的证 明 一 直受 到人们 的 关 注
,
教材 中证 明拉格 朗 日 中值定 理 和 柯 西 中 值 定理 的基本 思 想 是
罗尔 ( R
o u e
) 定理
、
:
设 函数 y
,
~
l
x
)
一 F
`
一 少
一 f
` ó l产 于 曰 一
过 原点作 平行于 A
y ~
微 分 中 值 定 理 证 明 方 法 浅 探
李
中值 定理是 微 分 学 的 基 本定理
。 ,
敏
如果 图 飞f、aຫໍສະໝຸດ 、尹它是 沟
,
A B
,
的两 端点 的 函数 值
那么
, ,
通 函 数的 局 部性 态 与 整 体 性 态 的桥 梁 数 应 用奠 定 了理 论 基础 材
, ,
为导
牛 f
a
(
b
、
见图 I
,
现 行绝 大 多 数 教
a
)
a
也就 是
< 邑 < b )
f ( 〔
x
b一
)
一
~
类 似地
小
,
引 入 辅助 函 数 (
x
以 叻 二 工( 业
b一
a
x
:
X
一
一
ó 全
一
U
)
f
=
f
(
x
)
一
a a
{ ) )
f
(
a
)
+
这 恰 是 罗 尔定理 的结 论
中
。
不妨 引入 )
a
F
( b ) 一 f ( ( b ) 一 F (
F ( 〔
x
(
x
)
f
(
、
b
) ) 内至 少 存
m
r
”
a
t h
e
m
a
t i
e
s
b一
t e
a
c
h
e
曾介绍 通 过 坐 标 变 换
故
,
据罗尔 定 理
,
在 (
a
b
平移 和 旋 转 坐 标 轴把 拉格 朗 日定 理 转 化为 罗 尔定 理 的 情形 明
。 ,
在 一 点 乙 使得
中
`
不 必 引 进 辅助 函 数 也 可 证
( 邑)
f
以 互 )二 一 旦
b一
a
f
,
( 是) =
(
b
)
一 f
a
(
a
这 样 很 自然 地 引 入 了 辅 助 函 并 证 明 了 拉 格 朗 日 中值 定 理
.
b一
〔 分析〕
此 证 明方法 引入的 辅助 函 数 从 几 何上 也
不难看 出
见( 图
l
: 这 ) 也 是罗尔 定 理 的结 论
不 妨 引入
f
中
= f
(
x
一
)
一 F
(
a
(
b
)
一 f
(
a
)
,
) 〕} 如果中 (
x
b一
亦 可证 明柯 西 定 理
.
) 满 足 罗 尔定 理 的条 件
,
则
除上 述 的 证 明方 法外 引进 一 个推论 在闭 区间 ( 内可 导
, 。
,
周祖 遴 同 志 在
。
、
必 有 罗 尔定 理 的结 论
从 而 可 证 明拉 格 朗 日
a
) 则
,
(
x
(
a
x
) (
a
一
在 该 区 间 内 至 少存在 一 点 鱿
f
< 邑 < b ) 使 得
f
( (
) )
a
一 f
)
( 邑)
=
邑 ( 是) 又中 (
a
b一
依 据 这 个 推 论 亦 可 很 自然 的 证 明拉格 朗 日定
理 及柯 西定 理 另外
, “ 。
)
= 中
b
=
b f
th
e
(
)
,
一
a
a
f