福建省福州一中、福州三中、福安二中联考高考数学模拟试卷 文(含解析)

福建省福州一中、福州三中、福安二中2016年联考高考数学模拟试
卷（文科）（解析版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）
A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}
2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x ﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）
A．2 B．C．1 D．3
4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=
5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）
A．在[，]上是增函数
B．其图象关于直线x=﹣对称
C．函数g（x）是奇函数
D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]
7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n
项的和，则（n∈N+）的最小值为（）
A．4 B．3 C．2﹣2 D．
8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）
A．B．C．D．
9．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a
的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）
A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]
10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y 轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．
11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）
A．π B．π C．π D．π
12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）
A．2015 B．2016 C．4030 D．4032
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．设i为虚数单位，则复数= ．
14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．
15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= ．
16．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC的最大值为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．
（1）证明数列{a n}是等比数列；
（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．
18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：
（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；
（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．
19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．
20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．
21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．
（1）求b；
（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BEBD﹣AEAC．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．
（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．=|x+m|．
（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；
（Ⅱ）当x≠0时，证明：．
2016年福建省福州一中、福州三中、福安二中联考高考数学模拟试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）
A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}
【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．
【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，
集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，
∴M∪N={x|x≥﹣2}，
故选A．
【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．
2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x ﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．
【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；
命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），
令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，
故函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；
故¬p∧q真是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．
3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）
A．2 B．C．1 D．3
【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．
【解答】解：∵|+2|=2，
∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，
解得||=2，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．
4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=
【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），
则离心率e===，即4b2=a2，
故渐近线方程为y=±x=x，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，
∵S=﹣12+22﹣32+42=10
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．
6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）
A．在[，]上是增函数
B．其图象关于直线x=﹣对称
C．函数g（x）是奇函数
D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．
【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，
显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．
当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．
当x=﹣时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B．
当x∈[0，]时，2x∈[0，]，cos2x∈[﹣，1]，函数g（x）的值域是[﹣1，2]，故选：D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．
7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n
项的和，则（n∈N+）的最小值为（）
A．4 B．3 C．2﹣2 D．
【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13成等比数列，
∴（1+2d）2=1+12d．
得d=2或d=0（舍去），
∴a n=2n﹣1，
∴S n==n2，
∴=．
令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4
当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）
A．B．C．D．
【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可
【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥
由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，
由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，
将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，
可求得此两侧面的面积皆为=，
故此三棱锥的全面积为2+2++=，
故选A．
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．
9．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）
A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]
【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．
【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴y′=，
设切点为（x0，y0），k=，
∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），
而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，
∴直线l1的斜率为，
又∵直线l2与y=x+1平行，
∴直线l2的斜率为，
∴实数a的取值范围是[，）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．
10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y 轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．
【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．
由，可得|BF1|=1，
在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2
=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，
由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，
解得a=，
则e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．
11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）
A．π B．π C．π D．π
【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，
∵正四面体的各棱长均为4，
∴正四面体体积为=，
∴没有水的部分的体积是，
设其棱长为a，则=，
∴a=2，
设小球的半径为r，则4×r=，
∴r=，
∴球的表面积S=4=．
故选：C．
【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．
12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）
A．2015 B．2016 C．4030 D．4032
【分析】特殊值法：令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2014代入可得f （x）+f（﹣x）=4032．根据条件x＞0时，有f（x）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．
【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，
∴令x1=x2=0，得f（0）=2016，
再令x1+x2=0，将f（0）=2014代入可得f（x）+f（﹣x）=4032．
设x1＜x2，x1，x2∈[﹣2016，2016]，
则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣2016，
∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．
又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），
∴f（x2）＜f（x1），
即函数f（x）是递减的，
∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．
又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，
∴M+N的值为4032．
故选D．
【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．设i为虚数单位，则复数= i ．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．
【解答】解： =，
故答案为：i．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．
【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．
【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），
∴f′（x）=4x﹣f′（2），
∴f′（2）=8﹣f′（2），
∴f′（2）=4
∴f（2）=8﹣2×4=0
∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）
即4x﹣y﹣8=0
故答案为：4x﹣y﹣8=0
【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．
15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．
【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．
【解答】解：由z=x+my得y=x，
作出不等式组对应的平面区域如图：
∵z=x+my的最大值为，
∴此时z=x+my=，
此时目标函数过定点C（，0），
作出x+my=的图象，
由图象知当直线x+my=，经过但A时，
直线AC的斜率k=＞﹣1，
即m＞1，
由平移可知当直线y=x，
经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，
由，解得，即A（，），
同时，A也在直线x+my=上，
代入得+m=，解得m=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．
16．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC的最大值为．
【分析】先利用余弦定理求得A，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+ cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．
【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，
∴cosA==﹣，
∴A=，
由正弦定理 c=a==2sinC，
∴S===sinBsinC
∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（B﹣C）≤，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．
（1）证明数列{a n}是等比数列；
（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．
【分析】（1）由题意得2a n=S n+，易求，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），由递推式可得结论；
（2）由（1）可求=2n﹣2，从而可得b n，进而有=，利用裂项相消法可得T n；
【解答】解：（1）证明：由S n，a n，成等差数列，知2a n=S n+，
当n=1时，有，∴，
当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，
两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1，
由于{a n}为正项数列，∴a n﹣1≠0，于是有=2（n≥2），
∴数列{a n}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，
∴数列{a n}是以为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知==2n﹣2，
∴b n=log2a n+3==n+1，
∴==，
∴T n=（）+（）+…+（）==．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．
18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：
（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；
（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．
【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．
（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．
【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，
乙部门数据的中位数是78.5；
∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，
∴a=0.05，
在80～90的频率为0.2，
∴b=0.02
在60～70的频率为0.1，
∴c=0.01．
（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：
（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），
…，
（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；
其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：
（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），
（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）
共有16种，
故所求的概率为．
【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．
【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．
（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．
（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．
∵点E，F分别是PA，PB的中点
∴EF∥AB，且
又CD∥AB，且
∴EF∥CD，且EF=CD
∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．
又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC
∴DE∥平面PBC．
（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
所以BF∥CD，且BF=CD．
所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．
在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．
又DF∩EF=F，PB∩BC=B，
所以平面DEF∥平面PBC．
因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．
（2）解：取AD的中点O，连接PO．
在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，
所以．
故．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．
20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．
【分析】（1）通过|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a、b，即可求椭圆E的方程；
（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合x1x2+y1y2=0，即可求圆的方程．
（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），利用⊥，求出半径，得到结果．
【解答】解：（1）由题知2|F1F2|=|MF1|+|MF2|，
即2×2c=2a，得a=2c．①又由，得②
且a2=b2+c2，综合解得c=1，a=2，b=．
∴椭圆E的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．
（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，
r2=，①
消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，
即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②
由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，
∴=0，得x=．
此时仍有r2=|x|=．
综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．
【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．
21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．
（1）求b；
（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）求导，从而求b；
（2）由（1）得，，从而①当
时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需
=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．
【解答】解：（1），
∵f′（e）=0，a≠e，
∴b=e；
（2）由（1）得，，
①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．
此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．
∵，
；
∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，
则只需=，
即；
②当时，
由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．
此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．
此时，
∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；
③当a＞e时，
由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，
此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．
综上所述，a的取值范围为．
【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BEBD﹣AEAC．
【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；
（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．
【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，（1分）
又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）
则A，D，E，F四点共圆（2分）
∴∠DEA=∠DFA（1分）
（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）
又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）
∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）
【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．
（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．
【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：
，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．
（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：
，
化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，
故C2的直角坐标方程为y=1．
（Ⅱ）由题意可得，，，，，
．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．=|x+m|．
（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；
（Ⅱ）当x≠0时，证明：．
【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，
可化为，解得m≤﹣2；
或，无解；
或，解得m≥3；
综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）
（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，
，…（10分）
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。