专题3.1 函数的概念与表示(精讲精析篇)(原卷版)

专题3.1函数的概念与表示（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 求函数的定义域
1.(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
2.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
3．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
A ．[0,5
2
] B ．[1,4]- C ．[5,5]- D ．[3,7]-
A.[]0,2
B.1[1]3
，
C.[-15]，
D.无法确定
【特别提醒】
求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．
热门考点02 求函数的解析式
1. 求函数解析式的四种方法
【特别提醒】
谨防求函数解析式的两种失误：
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围． (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
热门考点03 分段函数及其应用
1.(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
2.根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 【典例8】（山东省2018年普通高校招生（春季））已知函数，则
的值等于
__________．
A.(1)f x -的图象
B.()f x -的图象
C.(||)f x 的图象
D.|()|f x 的图象
【典例10】（上海高考真题（理））设若
，则a 的取值范围为_____________.
【典例11】（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围
是__________．
【典例12】（2014浙江高考理第15题）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0
,0
,2
2
x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围
是______ 【总结提升】
关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
A ．[)2,+∞
B ．(][),2
2,-∞+∞ C ．(],2-∞-
D ．R
【总结提升】 函数值域的常见求法： (1)配方法
配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性
①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即
若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．
②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．
③形如y ＝x ＋k x (k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k
x (k
＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋k
x (k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，
其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法
利用导函数求出最值，从而确定值域．
巩固提升
A ．⎡⎣
B ．⎡⎣
C ．{}1
D ．{}1,1-
A.32x +
B.38x +
C.31x -
D.34x -
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，但与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，但与b 有关
A.()2,+∞
B.()1,-+∞
C.()()1,22,-+∞
D.R
A ．π
B ．0
C ．2π
D ．9
A ．2(),()f x g x ==
B ．,0
()(),0x x f x g t t x x ≥⎧==⎨
-⎩
，＜
C ．()()2
2
()1,()2f x x g x x =-=- D ．(),()f x g x ==
A ．16
B ．18
C ．21
D ．24
A ．02a <<
B ．02a ≤≤
C ．02a <≤
D ．02a ≤<
A ．-3或-4
B ．±3
C ．±3或-4
D ．-3
A ．(0,1)
B ．(,1]-∞
C ．[0,1]
D ．[1,)+∞
A ．1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．1,22
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．1,22⎛⎤
-
⎥⎝⎦
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
A ．(,0][2,)-∞+∞
B ．(,0)(2,)-∞+∞
C ．{0,2}
D ．[0,2]。