2020-2021初中数学向量的线性运算知识点总复习有答案解析

2020-2021初中数学向量的线性运算知识点总复习有答案解析
一、选择题
1．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r
表示向量a r 为
（ ） A ．3a e =v v
B ．3a e =-v v
C ．3e a =v v
D ．3e a =-v v
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义解答即可． 【详解】
解：∵向量e r
为单位向量，向量a r
与向量e r
方向相反， ∴3a e r r
=-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．如果向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，那么向量a r 用单位向量e r
表示为（ ）
A ．12
a e =
r
r B ．2a e =r r
C ．12
a e =-r
r D ．2a e =-r r
【答案】C 【解析】
由向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为
1
2
，根据向量的定义，即可求得答案． 解：∵向量a r 与单位向量e r
方向相反，且长度为12
，
∴12
a e =-r
r ．
故选C ．
3．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b
r r 、表示为（ ）
A ．12a b +r r
B ．12a b -r r
C ．12
a b -+r r
D ．12
a b --r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r
即可解决问题. 【详解】
解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2
∴=u u u r r ，
AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，
1AE a b 2
∴=+u u u r r r ，
故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
4．下列判断不正确的是（ ）
A ．如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u r u u u r
B ．+＝+
C ．如果非零向量a b(0)k k
=坠r r
，那么a r 与b r
平行或共线
D ．AB BA 0+=u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r
可判断D 错误 【详解】
A 、如果A
B CD =u u u r u u u r
，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；
B 、a b b a +=+r r r r
，故本选项正确；
C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r
平行或共线，故此选项正确；
D 、0AB BA +=u u u r u u u r r
，故此选项错误；
故选：D ．
【点睛】
此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键
5．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r
r
，DC b =u u u r r
，则（ ）
A ．()
12BO a b =+u u u r r r ； B ．(
)
1
2BO a b =-u u u r r r ；
C ．()
12BO b a =-+u u u r r r ； D ．(
)
12
BO b a =
-u u u r r r ．
【答案】D 【解析】
1,.2
1(b-a)2
BCD BO BD BD DC CB CB BC
BO D
∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r r r
在中，所以故选
6．若向量a r
与b r
均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．
A ．a b =r r
B ．1a =r
C ．1b =r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量a r
与b r
均为单位向量，可得向量a r
与b r
的模相等，但方向不确定． 【详解】
解：∵向量a r
与b r
均为单位向量， ∴向量a r
与b r
的模相等，
∴a b =r r
.
故答案是：D.
【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．
A ．()
12
a b -r r
B ．()
12
b a -r r
C ．()
12
a b +r r
D ．()
12
a b -+r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r r
r ，然后根据中线的定义可得：
()
12
CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .
【详解】
解：∵AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r
∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()
1122
CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r
∴()()
1122
AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r
故选C.
【点睛】
此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.
8．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．
①对于实数m 和向量a r
、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r
②对于实数m 、n 和向量a r
，恒有()m n a ma na -=-r r r
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】
①对于实数m 和向量a r
、b r ，恒有()
m a b ma mb -=-r r r r ，正确；
②对于实数m 、n 和向量a r
，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；
③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；
故选C. 【点睛】
本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．
9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+
C ．+-
D ．--
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，
，则
-+
故选B ． 【点睛】
此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.
10．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC AD n ==u u u r u u u r r
，
∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r
，
∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u
r r ，()
11=22
OC AC m n =
+u u u r u u u r u r r ()
11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u
r ，()
11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r
故选：C ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
11．已知a r
、b r
、c r
都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r
r
的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r r
C ．//a c r r
，//b c r r
D ．2,2a c b c ==-r r r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】
解：A 、||||a b =r r
只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r
，故本选项符合题意;
B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;
C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．
故选：A ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
12．下列命题正确的是（ ）
A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r
B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r
C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r
＝0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r
表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r
，所以C 选项正确；
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r
，不正确．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
13．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法
则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
14．下列说法正确的是（ ）
A ．()0a a +-=r r
B ．如果a r 和b r
都是单位向量，那么a b =r r
C ．如果||||a b =r r ，那么a b =r r
D ．12
a b =-r r （b r
为非零向量），那么
//a b r r
【答案】D
【解析】 【分析】
根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. 【详解】
解：A 、()a a +-r r
等于0向量，而不是0，故A 选项错误；
B 、如果a r 和b r
都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错
误；
C 、如果||||a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；
D 、如果12
a b =-r r （b r
为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r ，故D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
15．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r
的结果是（ ）．
A ．CA u u u r
B ．A
C u u u r
C ．0r
D ．A
E u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】
解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r
AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r
AC =u u u r ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，下列
式子中正确的是（ ）
A ．DC a b =+u u u r r r
B ．D
C a b =-u u u r r r ；
C ．DC a b =-+u u u r r r
D ．DC a b =--u u u r r r ．
【答案】C 【解析】 【分析】
由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r
，代入计算即可
得到答案. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r
，
∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，
在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r
u u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r
r r
r
， ∴DC a b =-+u u u r
r r
； 故选择：C. 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．=a b r r
B ．a r ∥c r ，b r ∥c r
C ．a r +b r ＝0
D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、该等式只能表示两a r 、b r
的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；
B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12
c r
，则a r 、b r 的方向相反，可
以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ． m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r
（+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
19．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r
是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）
A ．a e a v v v =
B ．e b b =v v v
C ．1a e a
=v v v
D ．11a b a b
=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
B. 符合向量的长度及方向，正确；
C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.
20．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=r r r B ．a b b a +=+r r r r C ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行 D ．如果a b =r r ，那么a b =r r
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可．
【详解】
A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；
B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r ，所以选项B 正确；
C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；
D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r 方向不
同，则a b ≠r r ，所以D 选项错误.
故选D.
【点睛】
本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.。