延平区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

延平区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，直线y=x与圆x2+y2﹣8x+4=0交于A、B两点，则线段AB的长为（）
A．4B．4C．2D．2
2．设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
3．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
4．三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
x=-，则输出的结果为（）
5．执行下面的程序框图，若输入2016
A．2015 B．2016 C．2116 D．2048
6．sin（﹣510°）=（）
A．B．C．﹣D．﹣
7．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）
A．4 B．5 C．7 D．8
8．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）
A．B．C．D．
则几何体的体积为（）
4
意在考查学生空间想象能力和计算能
）
倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函12．cos80cos130sin100sin130
︒︒-︒︒等于（）
A
B ．12
C ．1
2
- D
． 二、填空题
13
()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ． 14．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21x
f x e
x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数
0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是
15．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ． 16．若等比数列{a n }的前n 项和为S n
，且
，则= ．
17．已知向量,满足42
=a ，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 18．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k P A ·k PB ＝－1
2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．
20．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(22112≥+=+---n S S S n n n n . Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256
log ()1
n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.
21．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，(1,2
P 是椭圆上
1122|,||PF F F PF 成等差数列．
（1）求椭圆C 的标准方程；、
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，且12||2F F =，点
在该椭圆上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与以原点为圆心，b 为半径的圆上相切于第一象限，切点为M ，且直线l 与椭圆交于P Q 、两
点，问22F P F Q PQ ++是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．
23．已知函数f （x ）=|x ﹣m|，关于x 的不等式f （x ）≤3的解集为[﹣1，5]． （1）求实数m 的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．
24．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？
（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．
延平区实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：圆x2
+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
3．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C ．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
4． 【答案】A
【解析】解：∵a=0.52=0.25， b=log 20.5＜log 21=0， c=20.5＞20=1， ∴b ＜a ＜c ． 故选：A ．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：由于20160-<，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到2x =，从而可得1y =，由于
20151>，则进行2y y =循环，最终可得输出结果为2048．1
考点：程序框图． 6． 【答案】C
【解析】解：sin （﹣510°）=sin （﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣， 故选：C ．
7． 【答案】D
【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m ﹣2＞10﹣m ，即m ＞6，
，解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．
8． 【答案】A
【解析】解：因为直线x=
和x=
是函数f （x ）=sin （ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，
所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，
所以φ=．
故选A．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．
9．【答案】D
【解析】
10．【答案】B
11．【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y=cos x，再向右平移个单位得到y=cos[（x）]，
由（x）=kπ，得x=2kπ，
即+2kπ，k∈Z，
当k=0时，，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
12．【答案】D 【解析】
试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
=． 考点：余弦的两角和公式.
二、填空题
13．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝
⎦ 【解析】
试题分析：
作出函数y =
()23y k x =-+的图象，
如图所示，
函数y =的图象是一个半圆，直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303
224
k -=
=+，当直线()23y k x =-+
2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
.111]
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键. 14．【答案】
【解析】试题分析:
设
,由题设可知存在唯一的整数0x
，使得
在直线的下方.
因为
,
故当
时
,
,
函数
单调递减;
当时,,函数
单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得
,应填答案
3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
据题设建立不等式组求出解之得
.
15．【答案】 2
【解析】解：∵x 2+y 2
=4的圆心O （0，0），半径r=2， ∴点（0，1）到圆心O （0，0）的距离d=1， ∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min =2=2
．
故答案为：2
．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且， ∴S 4=5S 2，又S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，
∴（S 4﹣S 2）2
=S 2（S 6﹣S 4）， ∴（5S 2﹣S 2）2
=S 2（S 6﹣5S 2），
解得S6=21S2，
∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S2表示S4和S6是解决问题的关键，属中档题．
2
17．【答案】
3
【解析】
18．【答案】[﹣1，﹣）．
【解析】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k∈[﹣
1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．
【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ）， 则c 2a 2＋m 2
b
2＝1， ∴m ＝±b 2
a ，
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k P A ·k PB ＝－1
2
得
b 2a
c ＋a ·b 2a c －a
＝－12，即b 2＝12a 2，②
由①②解得a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （2，1），此时S △PMN ＝1
2
×22×2＝
2.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得x 24＋k 2x 22＝1，即x ＝±2
1＋2k
2
，
∴y ＝±2k
1＋2k 2
，
即M （21＋2k
2
，
2k 1＋2k
2
），N （
－21＋2k
2
，
－2k 1＋2k
2
），
∴|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋2k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋2k 22 ＝4
1＋k 21＋2k 2
，
点P （2，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝|2k －1|k 2＋1，∴S △PMN ＝12|MN |d ＝1
2
·
4
1＋k 21＋2k 2·|2k －1|
k 2＋1
＝2·|2k －1|1＋2k 2
＝2
2k 2＋1－22k
1＋2k 2
＝2
1－22k 1＋2k 2
， 当k ＞0时，22k 1＋2k 2≤22k
22k ＝1，
此时S ≥0显然成立， 当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，－22k 1＋2k 2≤1＋2k 2
1＋2k 2＝1，
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－
2
2
时，取等号． 此时S ≤22，综上所述0≤S ≤2 2.
即当k ＝－22时，△PMN 的面积的最大值为22，此时l 的方程为y ＝－2
2x .
20．【答案】
【解析】Ⅰ由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()3211≥+=--n a a n n n
22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--
()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n
n n n n
检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1．
Ⅱ 由8
82222222562log ()log log 28212
n n n n b n a -====-- N *n ∈
法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=；
当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，1243==S S .
法二：可利用等差数列的求和公式求解
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明54m =
时，7
16
QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由1x ty =+及2
212
x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221
,22
t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，
∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2
(1)t +121211()416
y y t y y -++＝
222
222
11212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++．
综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立． 22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
23．【答案】
【解析】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；
（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+22]≥（a﹣2b+2c）2=4，
∴a2+b2+c2≥
当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，
∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，
解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，
即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．。