辽宁省庄河市高级中学2018学年高中数学必修二人教B版

2.2.3两条直线的位置关系
［课程目标］
目标重点：两条直线平行、垂直的条件#
目标难点：理解平行和垂直条件的思路#
［学法关键］
1．注意在判断两条直线的位置关系时，如果斜率不存在，则不能运用垂直、平行的条件，而应该直接由图形得到。

两直线的位置关系是在直线的斜截式的基础上讨论的，若是其他形式，可化为斜截式来处理。

2．求两直线l 1、l 2的交点，就是求解l 1、l 2直线方程组成的方程组，其理论依据是直线方程和方程的直线的概念.
研习点1．两条直线相交和平行与重合条件
1．已知两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或1122
A B A B ≠； l 1与l 2平行的条件是A 1B 2－A 2B 1=0且C 1B 2－C 2B 1≠0；或
111222A B C A B C =≠. l 1与l 2重合的条件是A 1=λA 2，B 1=λB 2，C 1=λC 2，或111222
A B C A B C ==.
2．判定两直线相交、平行、重合的步骤；
已知两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，则判断l 1、l 2是否平行相交与重合的步骤如下：
（1）给A 1、A 2、B 1，B 2、C 1、C 2赋值；
（2）计算D 1=A 1B 2－A 2B 1，D 2=B 1C 2－B 2C 1；
（3）若D 1≠0，则l 1与l 2相交；
（4）若D 1=0，D 2≠0，则l 1与l 2平行；
（5）若D 1=0，D 2=0，则l 1与l 2重合.
3．设两条直线的方程分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，
若l 1、l 2有交点，则解方程组11122200
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是两条直线的交点。

特别值得注意的是：当l 1与l 2的方程所组成的方程组无解时，说明l 1与l 2平行；当组成的方程组有无数个解时，说明l 1与l 2重合。

研习点2．两条直线垂直的条件
1．已知两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，l 1、l 2垂直的条件是A 1A 2+B 1B 2=0；
2．若l 1的斜率是111A k B =-，l 2的斜率为222
A k
B =-，即当l 1、l 2的斜率都存在时，直线l 1与l 2垂直的条件是k 1·k 2=－1，当两条直线垂直时，这两条直线的倾斜角的差为90°。

研习点3．直线系
一般地说，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程叫直线系方程，直线系方程中除含变量x ，y 以外，还可以根据具体条件取不同值的变量，简称参数.
经过定点的直线系方程：
（1）如图所示，过定点P (x 0,y 0)的直线y －y 0=k (x －x 0)（k 为参数）是一束直线（ 方程中不包括与y 轴平行的那一条）（即x =x 0），所以y －y 0=k (x －x 0)是经过点P (x 0,y 0)的直线系方程；
（2）直线y =kx +b ,（其中k 为参数，b 为常数），它表示过定点(0，b )的直线系，但不包括y 轴（即x =0）；
（3）经过两条直线交点的直线系方程：l 1：A 1x +B 1y +C 1=0(A 12+B 12≠0)与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0(A 22+B 22≠0)交点的直线系为m (A 1x +B 1y +C 1)+n (A 2x +B 2y +C 2)=0，（其中m 、n 为参数，m 2+n 2≠0）
当m =1，n =0时，方程即为l 1的方程；当m =0，n =1时，方程即为l 2的方程. 上面的直线系可改写成（#" $ # %" & # ’" (A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0（其中λ为参数），但是方程中不包括直线l 2，但这个参数方程形式在解题中较为常用.
题型1．判断或证明直线的平行关系
例1．已知直线l 1：3x +6y +10=0，l 2：x =－2y +5，求证：l 1//l 2.
证法一：把l 1与l 2的方程写成斜截式1523y x =--，1522
y x =-+， 因为k 1=k 2，b 1≠b 2，所以l 1//l 2.
证法二：把l 2的方程写成一般式x +2y －5=0，
因为A 1B 2－A 2B 1=0，B 1C 2－B 2C 1≠0，所以l 1//l 2.
例2．已知两直线l 1：mx +8y +n =0，l 2：2x +my +1=0，试确定m 、n 的值，使l 1//l 2. 解：由m ·m －8·2=0，得m =±4，由8·(－1)－mn ≠0，得n ≠±2，
即m =4，n ≠－2或m =－4，n ≠2时l 1//l 2.
题型2．根据平行或垂直条件求直线方程
例3．求直线l 的方程：
（1）过点P (2，－1)且与直线3x －2y －6=0平行；
（2）过点P (1，－1)且与直线2x +3y +1=0垂直；
解： （1）因已知直线与所求直线平行，故所求直线可设为3x －2y +C =0，由点P (2，－1) 在直线上解得C =－8，故所求直线方程为3x －2y －8=0.
（2）因已知直线与所求直线垂直，故所求直线可设为3x －2y +C =0，由点P (1，－
1)在直线上解得C =－5，故所求直线方程为3x －2y －5=0.
题型3．求直线交点
例4．求下列两直线的交点l 1：3x +4y －2=0，l 2：2x +y +2=0
解：解方程组3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得22
x y =-⎧⎨=⎩，所以两直线的交点是(－2，2).
题型4．已知直线的位置关系，求参数值
例5．直线l 1：(m +2)x +(m 2－3m )y +4=0，l 2：2x +4(m －3)y －1=0如果l 1//l 2，求m 的值.
解：：若l 1//l 2.，则有22(2)4(3)(3)20(3)(1)44(3)0m m m m m m m ⎧+⨯---⨯=⎨-⨯--⨯-≠⎩
，解得：m =4或m =－3.
例6．直线l 1：ax +(1－a )y －3=0与l 2：(a －1)x +(2a +3)y =2互相垂直，求a 的值. 解：利用A 1A 2+B 1B 2=0，即a (a －1)+(1－a )(2a +3)=0解得：a =1 或a =－3.
【教考动向·演练】
1．如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 的值为（ B ）
（A ）－23 （B ）－6 （C ）－3 （D ）3
2 2．若直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则（ C ）
（A ）a =2 （B ）a =－2 （C ）a =2或a =－2 （D ）a =2，0，－2
3．如果直线ax +y －4=0与直线x －y －2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（ A ）
（A ）－1<a <2 （B ）a >－1 （C ）a <2 （D ）a <－2或a >2
4．直线Ax +4y －1=0与直线3x －y －C =0重合的条件是（ D ）
（A ）A =12，C ≠0 （B ）A =－12，C =4
1 （C ）A =－12，C ≠－41 （D ）A =－12，C =－4
1 5．若两条直线l 1，l 2的方程分别为 A 1x +B 1y +C 1=0，A 2x +B 2y +C 2=0，l 1与l 2只有一个公共点，则（ B ）
（A ）A 1B 1－A 2B 2=0 （B ）A 1B 2－A 2B 1≠0
（C ）1122A B A B ≠ （D ）1212
A A
B B ≠ 6．已知点P (1，1)和直线l ：3x －4y －20=0，则过P 与l 平行的直线方程是 3x －4y +1=0 ；过P 与l 垂直的直线方程是 4x +3y －7=0 .
7．设直线l 1：(m －2)x +3y +2m =0与l 2：x +my +6=0，当m = m ≠3且m ≠－1 时，l 1与l 2相交；当m = －1 时，l 1与l 2平行；当m =
21 时，l 1⊥l 2.
例8．设三条直线：x －2y =1，2x +ky =3，3kx +4y =5交于一点，求k 的值.
解：解方程组：2123x y x ky -=⎧⎨+=⎩，解得641
4k x k y k +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
即前两条直线的交点为61(
,)44
k k k +++，因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故613()4()544k k k k ++=++，解得k =1或k =163
-。

例9．光线由点A (－1，4)射出，在直线l ：2x +3y －6=0上进行反射，已知反射光线
过点B (3，6213
)，求反射光线所在直线的方程. 解：设点A 关于直线l ：2x +3y －6=0的对称点A ’的坐标为(x 0，y 0)， 则由直线l 的斜率为k =－32，得'32AA k =，即004312
y x -=+，得3x 0－2y 0=－11， 因为AA 1的中点在直线l 上，所以00142(
)3()622x y -++=，得2x 0+3y 0=2 联立方程组解得002928,1313
x y =-=， 所以反射光线A ’B 所在直线的方程为：6228621313(3)2912313
y x --=-+，得13x －26y +85=0.
【教考动向·演练】
8．过两直线3x +y －1=0与x +2y －7=0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ B ）
（A ）x －3y +7=0 （B ）x －3y +13=0 （C ）2x －7=0 （D ）3x －y －5=0
9．过点P (1，4)和Q (a ，2a +2)的直线与直线2x －y －3=0平行，则a 的值（ B ）
（A ）a =1 （B ）a ≠1 （C ）a =－1 （D ）a ≠－1
10．直线2x +y +m =0和x +2y +n =0的位置关系是（ C ）
（A ）平行 （B ）垂直
（C ）相交但不垂直 （D ）不能确定，与m ，n 取值有关
11．经过两条直线2x +y －8=0和x －2y +=0的交点，且平行于直线4x －3y －7=0的直线方程是 4x －3y －6=0 .
12．直线ax +4y －2=0与直线2x －5y +c =0垂直相交于点(1，m )，则a = 10 ，c = －12 ，m = －2 .
例5 已知直线(a －2)y =(3a －1)x －1 (1)求证无论a 为何值，直线总过第一象限．
(2)为使这直线不过第二象限，求a 的范围．
解： (1)将方程整理得为a (3x －y )+(－x +2y －1)=0，对任意实数a ，恒过直线
3x －y =0与x －2y +1=0的交点(51，5
3)， ∴直线系恒过第一象限内的定点(51，5
3)； (2)当a =2时，直线为x =51不过第二象限；当a ≠2时，直线方程化为：y =2
13--a a x －21-a ，不过第二象限的充要条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->--0210213a a a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<--02
10213a a a ⇒a >2，总之，a ≥2时直线不过第二象限．
例6 过点P (2，1)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，| PA |·| PB |的最小值及此时l 的方程．
分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法．
解 设直线AB 的倾斜角为α(2
π<α<π), 则直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=α
αsin 1cos 2t y t x 令x =O ，则得B 点所对应的参数t =－
α
cos 2， 令y =O ，则得A 点所对应的参数t =－αsin 1 ∴|PA |·|PB |=|－αcos 2|·|－αsin 1|=|
2sin |4α 当a =π4
3时|PA |·|PB |有最小值4，此时直线l 的方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ππ43sin 143cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2
21222 例1 下面三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能构成三角形，求m 的取值集合．
分析 根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论
解 （1）三条直线交于一点时：
4x ＋y －4＝0
由 解得l 1和l 2的交点A 的坐标（44－m ， －4m 4－m
），由A 在 mx ＋y ＝0
l 3上可得2·44－m －3m ·－4m 4－m
=4，解之m ＝23 或m ＝－1． （2）至少两条直线平行或重合时：
l 1、l 2、l 3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m ＝4时，
l 1∥l 2；当m ＝－16 时，l 1∥l 3；若l 2∥l 3，则需有m 2 ＝1－3m
，m 2＝－23 不可能 综合（1）、（2）可知，m ＝－1，－16 ，23 ，4时，三条直线不能组成三角形，因此m 的
取值集合是{－1，－16 ，23 ，4}．
点评 善于将原问题等价转化，讨论问题注意全面性．
例4 一直线过点P （2，3），且和两平行直线3x ＋4y ＋8＝0及3x ＋4y －7＝0都相交，两交点间线段长3 2 ，求这直线方程．
分析 由两平行线的距离以及所求直线与两平行线交点间线段的长，结合平面几何知识，求出所求直线与已知直线夹角的正切，进一步求出所求直线的斜率．
解 两平行线间的距离为|8－(－7)| 32+42
＝3 设直线交两平行线于A 、B ，直线与平行线的夹角为α，则｜AB ｜＝3 2
∴sinα＝33 2
＝ 22 ∴α＝45°，tanα＝1，设所求直线的斜率为k ， 则tanα＝｜
k+ 341－ 34k |＝1，解得k ＝17 或k ＝－7
∴所求直线的方程为x －7y ＋19＝0或7x ＋y －17＝0
点评 要注意平几知识、平几方法在解析几何中的应用
练习
1． 两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．－1＜a ＜2
B ．a ＞－1
C ．a ＜2
D ．a ＜－1或a ＞2
2． 设两直线L 1，L 2的方程分别为x ＋y 1－cosα ＋b ＝0，x sinα＋y 1+cosα －α＝0，（a ，
b 为常数，α为第三象限角），则l 1与l 2 （ ）
A ．平行
B ．垂直
C ．平行或重合
D ．相交但不一定垂直
3． 设a ，b ，k ，p 分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则
有（ ）
A ．a 2k 2＝p 2(1＋k 2)
B ．k ＝b a
C ．1a ＋1b ＝p
D ．a ＝－kb
4． 若点（1，1）到直线x cosα＋y sinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ．
5． 一束光线经过点A （－2，1），由直线l ：x －3y ＋2＝0反射后，经过点B （3，5）射出，
则反射光线所在直线的方程为 ．
6． 直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）距离之差最大，
则P 点坐标是 ．
7．在△ABC 中，｜AB ｜＝｜AC ｜，∠A ＝120°，A （0，2），BC 所在直线方程为
3 x
－y －1＝0，求边AB 、AC 所在直线方程．
8．已知△ABC 中，点A （3，－1），AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，
∠B 的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程．
参考答案
1．A 2．B 3．A 4．2＋ 2 5．29x －22y +23＝0 6．（5，6） 7．由题意得∠B ＝∠C ＝30°，设AB 边斜率的夹角公式得|k k 313
+-|＝ 33 ，从而得k = 33 又AB
斜率不存在时也适合题意，∴AB 边所在直线方程为y ＝ 33 x +2和x ＝0. 8．设B
（a ,b ），则AB 边中点为（a+32 , b －12 ）在AB 边中线上，∴6·a+32 +10·b －12 －59＝0，
① 又点B 在∠B 的平分线上，∴a －4b +10＝0 ②由①②得 a ＝10 ，b ＝5．由题
意得 14－k 1+ 14k ＝ 67－ 141+ 314 ，∴k ＝－29 从而BC 边所在直线方程为2x +9y －65＝0.。