2020版广西高考人教版数学(文)一轮复习考点规范练：30 等比数列及其前n项和 Word版含解析

考点规范练30　等比数列及其前n 项和
一、基础巩固
1.已知等比数列{a n }满足a 1=,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( )
14
A.2
B.1
C.
D.1218
a 3a 5=4(a 4-1),∴=4(a 4-1),解得a 4=2.
a 24又a 4=a 1q 3,且a 1=,∴q=2.∴a 2=a 1q=.
14122.在正项等比数列{a n }中,a 2,a 48是方程2x 2-7x+6=0的两个根,则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为( )A. B.9 C.±9 D.35
21233
a 2,a 48是方程2x 2-7x+6=0的两个根,
∴a 2·a 48=3.
又a 1·a 49=a 2·a 48==3,a 25>0,
a 225∴a 1·a 2·a 25·a 48·a 49==9.故选B.
a 52533.(2018北京,文5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从
第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ,122则第八个单音的频率为( )
A.f
B.f
C.f
D.f
3232212251227
,这十三个单音的频率构成首项为f ,公比为的等比数列,则第八个单音的频率为(122122
)7f= f.
12274.已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( )
A.7
B.5
C.-5
D.-7
{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8.
联立可解得{a 4+a 7=2,a 4a 7=-8,{a 4=4,a 7=-2或{a 4=-2,
a 7=4,
当时,q 3=-,
{a 4=4,a 7=-21
2故a 1+a 10=+a 7q 3=-7;
a 4
q 3当时,q 3=-2,
{a 4=-2,
a 7=4故a 1+a 10=+a 7q 3=-7.
a 4
q 3综上可知,a 1+a 10=-7.
5.等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =(
)A.n (n+1) B.n (n-1) C. D.n (n +1)2n (n -1)2
a 2,a 4,a 8成等比数列,
∴=a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14),解得a 1=2.
a 24∴S n =na 1+d=2n+n 2-n=n 2+n=n (n+1).
n (n -1)
2故选A .
6.设数列{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 . -12
S 1=a 1,S 2=a 1+a 2=2a 1-1,S 4=4a 1+×(-1)=4a 1-6.
4×32∵S 1,S 2,S 4成等比数列,∴(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),
整理,得2a 1+1=0,解得a 1=-.
1
27.设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= .
　121
,可得a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,
所以a 1=1,a 2=3.
再由a n+1=2S n +1,a n =2S n-1+1(n ≥2),
得a n+1-a n =2a n ,即a n+1=3a n (n ≥2).
又因为a 2=3a 1,
所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以S 5==121.1-35
1-38.(2018辽宁部分重点高中联考)已知数列{a n }是等差数列,a 2,a 4,a 8成等比数列,则该等比数列的公比为 .
或2
{a n }的公差为d.
∵a 2,a 4,a 8成等比数列,∴=a 2a 8,
a 24∴(a 1+3d )2=(a 1+d )(a 1+7d ),
即d 2=a 1d ,∴d=0或d=a 1.
当d=0时,a 2=a 4,公比为1;
当d=a 1时,a 2=2d ,a 4=4d ,公比为2.
故等比数列的公比为1或2.
9.(2018全国Ⅰ,文17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =.
a n n (1)求
b 1,b 2,b 3;
(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{a n }的通项公式.
由条件可得a n+1=a n .2(n +1)
n 将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4.
将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12.
从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.
(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得,即b n+1=2b n ,又b 1=1,
a n +1n +1=2a n n 所以{
b n }是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1,所以a n =n ·2n-1.
a n n 10.已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{
b n }满足b 1=1,b 2=,a n b n+1+b n+1=nb n .
13(1)求{a n }的通项公式;
(2)求{b n }的前n 项和.
由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=,得a 1=2.
13
所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.
(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=,
b n 3因此{b n }是首项为1,公比为的等比数列.
13记{b n }的前n 项和为S n ,
则S n =.
1-(13)n 1-13=32‒12×3n -111.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4(a 3+1),3a 3=5a 4,数列{b n }是等比数列,且b 1b 2=b 3,2b 1=a 5.
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .
设等差数列{a n }的公差为d.
∵S 4=4(a 3+1),3a 3=5a 4,
∴{4a 1+6d =4(a 1+2d +1),
3a 1+6d =5a 1+15d ,
解得∴a n =11-2n.{
a 1=9,d =-2.
设数列{b n }的公比为q.∵b 1b 2=b 3,2b 1=a 5,∴解得{b 21q =b 1q 2,2b 1=1,{b 1=12,q =12.
∴b n =.(12)
n
(2)由(1)知,S n =10n-n 2.
由a n =11-2n ≤0可知n ≥5.5,
即a 1>0,a 2>0,…,a 5>0,a 6<0,a 7<0,…,a n <0.
故当n ≤5时,T n =S n =10n-n 2;
当n ≥6时,T n =2S 5-S n =n 2-10n+50.
于是T n ={
10n -n 2,n ≤5,n 2-10n +50,n ≥6.
二、能力提升
12.若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
a ,
b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p ,ab=q.∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.
又a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,
∴
①或②.{2b =a -2,ab =4{2a =b -2,ab =4解①得解②得{a =4,b =1;{a =1,b =4.∴p=a+b=5,q=1×4=4.
∴p+q=9.故选D .
13.
(2018北京石景山一模)如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,……如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小的正方形的边长为 . 2
2
,得各正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列.已知共得到1 023个正方形,则
22221+2+…+2n-1=1 023,解得n=10,故最小的正方形的边长为.22×(22
)9=13214.设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,
则a 1a 2…a n 的最大值为 .
{a n }的公比为q.
由已知a 1+a 3=10,a 2+a 4=a 1q+a 3q=5,
两式相除得,解得q=,a 1=8,a 1+a 3q (a 1+a 3)
=10512所以a 1a 2…a n =8n ·,抛物线f (n )=-n 2+n 的对称轴为n=-(12)1+2+…+(n -1)=2-12n 2+7n 21272722×(-12)
=3.5,又n ∈N *,所以当n=3或n=4时,a 1a 2…a n 取最大值为=26=64.
2-12×32+7×3
215.(2018广东东莞二模)已知等比数列{a n }与等差数列{b n },a 1=b 1=1,a 1≠a 2,a 1,a 2,b 3成等差数列,b 1,a 2,b 4成等比数列.
(1)求{a n },{b n }的通项公式;
(2)设S n ,T n 分别是数列{a n },{b n }的前n 项和,若S n +T n >100,求n 的最小值.
设数列{a n }的公比为q ,数列{b n }的公差为d ,
则解得(舍)或{2q =2+2d ,q 2=1+3d ,
{d =0,q =1{
d =1,q =2,故a n =2n-1,b n =n.
(2)由(1)易知S n ==2n -1,T n =.1-2n 1-2n (n +1)2
由S n +T n >100,得2n +>101.n (n +1)2∵是单调递增数列,{2n +n (n +1)2}
且26+=85<101,27+=156>101,6×727×82∴n 的最小值为7.
三、高考预测
16.已知数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n+1=a n +6a n-1(n ≥2).
(1)求证:{a n+1+2a n }是等比数列;
(2)求数列{a n }的通项公式.
a n+1=a n +6a n-1(n ≥2),
∴a n+1+2a n =3a n +6a n-1=3(a n +2a n-1)(n ≥2).又a 1=5,a 2=5,∴a 2+2a 1=15,∴a n +2a n-1≠0(n ≥2),∴=3(n ≥2),a n +1+2a n
a n +2a n -1∴数列{a n+1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列.
(1)得a n+1+2a n =15×3n-1=5×3n ,
则a n+1=-2a n +5×3n ,∴a n+1-3n+1=-2(a n -3n ).又a 1-3=2,∴a n -3n ≠0,∴{a n -3n }是以2为首项,-2为公比的等比数列.∴a n -3n =2×(-2)n-1,
即a n =2×(-2)n-1+3n =3n -(-2)n .。