2020_2021学年高中数学第2章随机变量及其分布2.3.1离散型随机变量的均值作业含解析新人教A

第二章2.32.3.1
【基础练习】
1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．2E (X )B ．0 C ．E (X )D ．无法求 【答案】B
2．已知离散型随机变量X 的分布列为
X 1 2 3 P
35
3
10
1
10 则X 的数学期望E (A.3
2B ．2 C.5
2D ．3 【答案】A
3．李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中(不绕行)共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为1
6，则李先生在一次上班途中会遇到堵车
次数ξ的期望值E (ξ)是( )
A.1
6
B ．1
C ．6×⎝ ⎛⎭⎪⎫566
D ．6×⎝ ⎛⎭
⎪⎫166 【答案】B
4．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大，
则E (X )等于( )
A ．4
B ．5 3)=______.
【答案】300
6.(2019年某某期末)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望E(X)=______．
【答案】0.2
7．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望． 【解析】(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，
则P (A )＝C 12C 13C 15
C 310＝14
.
(2)X 的所有可能值为0,1,2，
P (X ＝0)＝
C 38C 310＝7
15
， P (X ＝1)＝C 12C 28
C 310＝715，
P (X ＝2)＝C 22C 18
C 310＝115
.
∴X 的分布列为
∴E (X )＝0×7
15＋1×7
15＋2×15＝5
.
8．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望(均值)； (2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率． 【解析】(1)ξ的可能取值为－300，－100,100,300.
P (ξ＝－300)＝0.23＝0.008，
P (ξ＝－100)＝C 13
0.22×0.8＝0.096， P (ξ＝100)＝C 230.2×0.82＝0.384，
P (ξ＝300)＝0.83＝0.512.
所以ξ的概率分布列为
E (ξ)＝(－300)×＝180.
(2)这名同学总得分不为负分的概率为
P (ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.
【能力提升】
9.(2019年某某期中)已知随机变量X 的分布列如下，E(X)=7.5，则ab 的值是( )
A.1.8
B.2.4
C.2.8
D.3.6
【答案】C
【解析】由分布列的性质可得0.3+0.1+b+0.2=1，解得b=0.4.由E(X)=7.5可得4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=7.5，解得a=7.所以ab=7×0.4=2.8.故选C.
10.(2019年某某期末)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为( ) A.20B.25C.30D.40
【答案】B
1,2,3,4)．又E (ξ)＝3，则a ＋b ＝________.
【答案】1
10
【解析】∵P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝10a ＋4b ＝1，又E (ξ)＝30a ＋10b ＝3，解得a ＝110，b ＝0，∴a ＋b ＝110
.
12.(2020年某某模拟)某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为1
3
.
(1)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.
每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.
【解析】(1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为1
3
.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障
的机器台数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4，13.
∴P (X ＝0)＝C 04×
⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝16
81
， P (X ＝1)＝C 14×
13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝32
81
， P (X ＝2)＝C 24×
⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝8
27， P (X ＝3)＝C 34×
⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝881， P (X ＝4)＝C 44×
⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181
. ∴X 的分布列为
设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ，即X ＝0，X ＝1，X ＝2，…，X ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则
∵89＜90%＜80
81
，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障
时能及时进行维修的概率不少于90%.
(2)设该厂每月可获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为18,13,8， P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝8
9
，
P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝
8
81
， P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝
1
81
， ∴Y 的分布列为
则E (Y )＝18×89＋13×881＋8×181＝1 408
81(万元).
故该厂每月获利的均值为1 408
81
万元.。