广东省市深圳市龙岗区南湾学校2022年数学九上期末达标检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．5
2．如果△ABC ∽△DEF ，相似比为2：1，且△DEF 的面积为4，那么△ABC 的面积为（ ）
A ．1
B ．4
C ．8
D ．16
3．若2a ＝3b ，则下列比列式正确的是（ ）
A ．23a b =
B ．23a b =
C ．23b a =
D ．23a b
= 4．如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有( )
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
5．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大后得到△DEF ，已知△ABC 与△DEF 的面积比为1：9，则OC ：CF 的值为（ ）
A ．1：2
B ．1：3
C ．1：8
D ．1：9
6．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（ ）
A．
2
2
B．
3
2
C．
3
3
D．1
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．40°
9．单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。

如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其左视图是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．抛物线y ＝﹣3（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣1，﹣3）
B ．（﹣1，3）
C ．（1，﹣3）
D ．（1，3）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为_____．
12．在函数y 2x 1=-中，自变量x 的取值范围是 ．
13．如图，圆O 是一个油罐的截面图，已知圆O 的直径为5m ，油的最大深度4CD =m （CD AB ⊥），则油面宽度AB 为__________m ．
14．如图，二次函数()(202)y x x x =-≤≤的图象记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；……如此进行下去，得到一条“波浪线”.若(2020,)P m 在这条“波浪线”上，则m =____.
15．已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，若∠A ＝35°，则∠BCD ＝_____________．
16．如图，在平面直角坐标系中，点)
3,0A ，点()0,1B ，作第一个正方形111OA C B 且点1A 在OA 上，点1B 在OB 上，点1C 在AB 上；作第二个正方形1222A A C B 且点2A 在1A A 上，点2B 在12A C 上，点2C 在AB 上…，如此下去，其中1
C
纵坐标为______，点n C 的纵坐标为______．
17．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC ，BC 上，有两个顶点在斜边AB 上，则ABC ∆的面积为__________．
18．如图，在111A B C △中，已知111111745,A B B C AC ===,,依次连接111A
B C △的三边中点， 得222A B C △，再依次连接222A B C △的三边中点得333A B C △，···，则555A B C 的周长为_____________________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣4）、B （0，﹣4）、C （1，﹣2）． （1）△ABC 关于原点O 对称的图形是△A 1B 1C 1，不用画图，请直接写出△A 1B 1C 1的顶点坐标：A 1 ，B 1 ，C 1 ；
（2）在图中画出△ABC 关于原点O 逆时针旋转90°后的图形△A 2B 2C 2，请直接写出△A 2B 2C 2的顶点坐标：
A 2 ，
B 2 ，
C 2 ．
20．（6分）初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209
m ，与篮圈中心的水平距
离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？
21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x =的图像在第二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件：CA CB ⊥，且CA CB =，点C 的坐标为(3,0)-，5cos 5
ACO ∠=。

（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当0x <时，m kx b x
+<的解集。

22．（8分）如图，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴相交于点A 、B 两点，与y 轴相交于点C(0，﹣3)，抛物线的对称轴为直线x ＝1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D ，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并证明你的结论．
23．（8分）某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500
万元作为固定投资. 已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为120元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为z（万元）。

（年获利＝年销售额—生产成本—投资）
（1）试写出z与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，到第一年年底，当z取最大值时，销售单价x定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？24．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．
25．（10分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球1个，若从中随
机摸出一个球，这个球是白球的概率为2 3
（1）求袋子中白球的个数
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次都摸到白球的概率．26．（10分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据三角形中位线定理可知EF=1
2
DN，求出DN的最大值即可．
【详解】解：如图，连结DN，∵DE=EM，FN=FM，
∴EF=1
2 DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=6，AB=8，
∴2222
8610
BD AD AB
=+=+=，
∴EF的最大值=1
2
BD=1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
2、D
【解析】试题分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC和△DEF的面积比为4：1，又△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为1．
故选D．
考点：相似三角形的性质．
3、C
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【详解】解：∵2a＝3b，
∴
2
3 b
a
=
故选：C．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知其变形.
4、C
【解析】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．
①②③是只是中心对称图形，④只是轴对称图形，
故选C.
考点：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形
点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5、A
【分析】利用位似的性质和相似三角形的性质得到
22
S ABC AC OC
S DEF DF OF
⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴
22
S ABC AC OC
S DEF DF OF
⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
＝
1
9
，
∴
1
3
OC
OC CF
=
+
，
∴
1
2 OC
CF
=，
故选A．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
6、A
【解析】作AD ⊥BC ，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB ，再由余弦函数的定义求解. 【详解】
作AD ⊥BC 于点D ，
则AD=5，BD=5，
∴22BD AD +2255+2
∴cos ∠B=BD AB 5222
. 故选A .
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义.
7、C
【详解】解：如图所示：图象与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＜0，∵图象与y 轴交于x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，故②正确；
当x=﹣1时，a ﹣b+c ＞0，故③选项正确；
∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0有两个不相等的实数根，则m ＞﹣2，故④正确．
故选C ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
8、A
【解析】根据切线的性质由AB 与⊙O 相切得到OB ⊥AB ，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三
角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=1
2
∠AOB=30°．
【详解】解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
而∠C=∠OBC，
∴∠C=1
2
∠AOB=30°．
故选A．
【点睛】
此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；以及圆周角定理：等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
9、B
【解析】根据左视图的定义“在侧面内，从左往右观察物体得到的视图”判断即可.
【详解】根据左视图的定义，从左往右观察，两个正方体得到的视图是一个正方形，圆锥得到的视图是一个三角形，由此只有B符合
故选：B.
【点睛】
本题考查了三视图中的左视图的定义，熟记定义是解题关键.另外，主视图和俯视图的定义也是常考点.
10、D
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【详解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，3）．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、110°
【解析】试题分析：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．
考点：圆周角定理．
12、
1 x
2≥
【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负
数的条件，要使2x1
-在实数范围内有意义，必须
1
2x10x
2
-≥⇒≥．
13、1
【分析】连接OA，先求出OA和OD，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD和AB．【详解】解：连接OA
∵圆O的直径为5m，油的最大深度4
CD=m
∴OA=OC=5 2 m
∴OD=CD－OC=3 2 m
∵CD AB
⊥
根据勾股定理可得：222
OA OD m
∴AB=2AD=1m
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键．
14、1
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象C1与x轴交点坐标为：（1，1），（2，1），再利用旋转的性质得到图象C2与x轴交点坐标为：（2，1），（4，1），则抛物线C2：y=（x-2）（x-4）（2≤x≤4），于是可推出横坐标x为偶数时，
纵坐标为1，横坐标是奇数时，纵坐标为1或-1，由此即可解决问题．
【详解】解：∵一段抛物线C1：y=-x（x-2）（1≤x≤2），
∴图象C1与x轴交点坐标为：（1，1），（2，1），
∵将C1绕点A1旋转181°得C2，交x轴于点A2；，
∴抛物线C2：y=（x-2）（x-4）（2≤x≤4），
将C2绕点A2旋转181°得C3，交x轴于点A3；
…
∴P（2121，m）在抛物线C1111上，
∵2121是偶数，
∴m=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15、55°
【分析】这道题可以根据CD为斜边AB的中线得出CD=AD，由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°，则∠BCD=90°- 35°=55°.
【详解】如图，∵CD为斜边AB的中线
∴CD=AD
∵∠A=35°
∴∠A=∠ACD=35°
∵∠ACD+∠BCD=90°
则∠BCD=90°- 35°=55°
故填：55°.
【点睛】
此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质.
16
32n
⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】先确定直线AB 的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C 1和C 2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．
【详解】解：设直线AB 的解析式y=kx+b
则有：01b b +==⎪⎩
，解得：1
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
所以直线仍的解析式是：y=1-
+ 设C 1的横坐标为x
，则纵坐标为y=13
x -+ ∵正方形OA 1C 1B 1
∴x=y
，即13x x =-+
，解得3
x == ∴点C 1
同理可得：点C 2
的纵坐标为62-
=2
⎝⎭ ∴点C n
的纵坐标为32n
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
32n ⎛- ⎝⎭
．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 17、16
【解析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB 、AC 即可． 【详解】解：
由题意得：DE ∥MF,所以△BDE ∽△BMF,所以
BD DE BM MF =，即 2
14
BD BD =+,解得BD=1，同理解得：AN=6；又因为四边形DENC 是矩形，所以DE=CN=2，DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，ABC ∆的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16. 故答案为：16. 【点睛】
本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟练地掌握． 18、1
【分析】根据三角形的中位线定理得：A 2B 2=
12 A 1B 1、 B 2C 2=12 B 1C 1、C 2A 2=1
2
C 1A 1，则△A 2B 2C 2的周长等于△A 1B 1C 1的周长的一半，以此类推可求出△A 5B 5C 5的周长为△A 1B 1C 1的周长的4
1
2． 【详解】解：∵ A 2B 2=
12 A 1B 1、 B 2C 2=12 B 1C 1、C 2A 2=1
2
C 1A 1， ∴△A 5B 5C 5的周长为△A 1B 1C 1的周长的41
2
， ∴△A 5B 5C 5的周长为（7+4+5）×4
1
2=1． 故答案为1． 【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线定理，灵活运用三角形的中位线定理并归纳规律是解答本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）（2，4），（0，4），（﹣1，2）；（2）作图见解析；（4，﹣2），（4，0），（2，1）． 【分析】（1）根据中心对称图形的概念求解可得；
（2）利用旋转变换的定义和性质作出对应点，再首尾顺次连接即可得． 【详解】（1）△A 1B 1C 1的顶点坐标：A 1 （2，4），B 1（0，4），C 1（﹣1，2）， 故答案为：（2，4），（0，4），（﹣1，2）． （2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，
A 2（4，﹣2），
B 2（4，0），
C 2（2，1）， 故答案为：（4，﹣2），（4，0），（2，1）． 【点睛】
本题考查中心对称图形和旋转变换，作旋转变换时需注意旋转中心和旋转角，分清逆时针和顺时针旋转.
20、（1）y=−
1
9
(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功． 【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，20
9
）
代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可； （2）当1x =时，求出此时的函数值，再与3.1m 比较大小即可判断. 【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209
），顶点坐标是（4，4）． 设抛物线的解析式是()2
44y a x =-+，
将（0，
209）代入，得
()2
200449a =-+ 解得1
9
a =-，
所以抛物线的解析式是()2
1449
y x =--+；
篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2
174439
y =--+=，
∴这个点在抛物线上， ∴能够投中
答：能够投中． （2）当1x =时，()2114439
y =-
-+=<3.1， 所以能够盖帽拦截成功. 答：能够盖帽拦截成功. 【点睛】
此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.
21、（1）27
y x
=-
；（2）90x -<< 【解析】（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，证明BHC ∆≌COA ∆得到BH 与CH 的长度，便可求得B 点的坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x 的取值范围便是结果． 【详解】解：（1）如图作BH x ⊥轴于点H
则90BHC BCA COA ∠=∠=∠=︒ ∴BCH CAO ∠=∠ ∵点C 的坐标为(3,0)- ∴3OC = ∵5
cos ACO ∠=
∴35AC =6AO = 在BHC ∆和COA ∆中
有90BC AC BHC COA BCH CAO =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩
∴BHC ∆≌COA ∆
∴3BH CO ==，6CH AO == ∴9OH =，即(9,3)B - ∴9327m =-⨯=- ∴反比例函数解析式为27y x
=-
（2）因为在第二象限中，B 点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方,
所以当0x <时，m
kx b x
+<的解集为90x -<<. 【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．
22、（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）四边形EFCD 是正方形，见解析
【分析】(1)抛物线与y 轴相交于点C (0，﹣3)，对称轴为直线x =1知c =﹣3，12
b
-
=，据此可得答案； (2)结论四边形EFCD 是正方形．如图1中，连接CE 与DF 交于点K ．求出E 、F 、D 、C 四点坐标，只要证明DF ⊥CE ，DF =CE ，KC =KE ，KF =KD 即可证明．
【详解】(1)∵抛物线与y 轴相交于点C (0，﹣3)，对称轴为直线x =1 ∴c =﹣3，122
b b
a -
=-=，即b =﹣2， ∴二次函数解析式为2
23y x x =﹣
﹣； (2)四边形EFCD 是正方形． 理由如下：
如图，连接CE 与DF 交于点K ．
∵22
23(1)4y x x x ==﹣
﹣﹣﹣， ∴顶点D (1，4)，
∵C 、E 关于对称轴对称，C (0，﹣3)， ∴E (2，﹣3)， ∵A (﹣1，0)，
设直线AE 的解析式为y kx b =+，
则0
23k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
，
解得：21k b =-⎧⎨=-⎩
，
∴直线AE 的解析式为y =﹣x ﹣1． ∴F (1，﹣2)，
∴CK =EK =1，FK =DK =1， ∴四边形EFCD 是平行四边形， 又∵CE ⊥DF ，CE =DF ， ∴四边形EFCD 是正方形． 【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法、一次函数的应用、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式． 23、（1）2
136328010
z x x =-
+-；（2）当销售单价为180元，年获利最大，并且第一年年底公司亏损了，还差40万元就可收回全部投资．
【分析】（1）销售单价为x 元，先用x 表示出年销售量，再利用每件产品销售利润×年销售量=年获利列出函数解答； （2）把（1）中所得的二次函数，利用配方法得到顶点式，然后进行判断，即可得到答案. 【详解】解：（1）由题意知，当销售单价定为x 元时，年销售量减少
1
(120)10
x -万件， ∴11
20(120)321010
y x x =--=-+， ∴y 与x 之间的函数关系式是：1
3210
y x =-+. 由题意得：
(40)5001500z y x =---
132(40)500150010x x ⎛
⎫=---- ⎪⎝
⎭
2
136328010
x x =-
+-， ∴z 与x 之间的函数关系是：2
136328010
z x x =-
+-. （2）∵2211
363280(180)401010
z x x x =-+-=---， ∵1
010
-<， ∴当180x =时，z 取最大值，为40-，
∴当销售单价为180元，年获利最大，并且第一年年底公司还差40万元就可收回全部投资；
∴到第一年年底公司亏了40万元. 【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数的应用问题，配方法的运用，解题的关键是熟练掌握题意，正确找到题目的数量关系，列出关系式.
24、（1）证明见解析；（2）DE 与⊙O 相切；（3）
2
【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形三线合一性质得到AD ⊥BC ，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB 是⊙O 的直径；
（2）DE 与圆O 相切，理由为：连接OD ，利用中位线定理得到OD ∥AC ，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE 为直角，再由OD 为半径，即可得证；
（3）由AB=AC ，且∠BAC=60°，得到DABC 为等边三角形，连接BF ，DE 为DCBF 中位线，求出BF 的长，即可确定出DE 的长．
【详解】解：（1）证明：连接AD ， ∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC ， ∴∠ADB=90°，∴AB 为⊙O 的直径； （2）DE 与⊙O 相切， 理由为：连接OD ，
∵O 、D 分别为AB 、BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥BC ，
∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切； （3）解：连接BF ，
∵AB=AC ，∠BAC=60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AB=AC=BC=6，
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE ∥BF ， ∵D 为BC 中点，∴E 为CF 中点，DE=
1
2
BF ， 在Rt △ABF 中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，
∴==，则DE=
12BF=2
．
【点睛】
本题考查圆；等腰三角形；平行线的性质．
25、（1）袋子中白球有2个；（2）P（两次都摸到白球）
4 9 =
【分析】（1）设袋子中白球有x个，根据摸出白球的概率=白球的个数÷红、白球的总数，列出方程即可求出白球的个数；
（2）根据题意，列出表格，然后根据表格和概率公式求概率即可．
【详解】解：（1）设袋子中白球有x个，则
2 13
x
x
=
+
，
解得2
x=，
经检验2
x=是该方程的解，
答：袋子中白球有2个．
（2）列表如下：
红白1 白2
红（红，红）（红，白1）（红，白2）白1 （白1，红）（白1，白1）（白1，白2）白2 （白2，红）（白2，白1）（白2，白2）由上表可知，总共有9种等可能结果，其中两次都摸到白球的有4种，
所以P（两次都摸到白球）
4 9 =
【点睛】
此题考查的是根据概率求白球的数量和求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键．
26、（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）1.
【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，
∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．
考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．。