高二数学下学期第二次月考试题文含解析试题

第四中2021-2021学年高二数学下学期第二次月考试题 文〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
考前须知：
1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名和准考证号填写上在答题卡上.
2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.
第I 卷 选择题〔60分〕
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. z 满足：(1)4i z -=，那么z 的虚部是〔〕
A. －2
B. 2
C. 2i -
D. 2i
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化为(,)a bi a b R +∈的形式，那么答案可求．
【详解】解：由(1)4i z -=，得44(1)4(1)
221(1)(1)2
i i z i i i i ++=
===+--+， 那么复数z 的虚部是2， 应选B ．
【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的根本概念，是根底题．
2.函数f 〔x 〕在x 0处的导数为1，那么000
(2x)()
lim x f x f x x
∆→+∆-∆等于 〔 〕
A. 2
B. ﹣2
C. 1
D. ﹣1
【答案】A 【解析】
分析：与极限的定义式比拟，凑配出极限式的形式：0000()()
lim '()x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆．
详解：000000(2)()(2)()
lim
2lim 2x x f x x f x f x x f x x x
∆→∆→+∆-+∆-=∆∆02'()212f x ==⨯=， 应选A ．
点睛：在极限式0000()()
lim
'()x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆中分子分母中的增量是一样的，都是x ∆，
因此有000000(m )()(m )()
lim
m lim m x x f x x f x f x x f x x x
∆→∆→+∆-+∆-=∆∆0'()mf x =． 2
2
:1y E x n
-=的一条渐近线方程为2y x =，那么E 的两焦点坐标分别为
A. (
B. (0,
C. (
D. (0,
【答案】C 【解析】 【分析】
求出双曲线的渐近线方程，可得4n =,以此求出焦点坐标.
【详解】解析：双曲线2
2
:1y E x n
-=的渐近线方程为y =或者y =，所以
2=即4n =，故21a =，24b =，25c =，所以E 的两焦点坐标分别())
,，
应选C.
【点睛】此题考察双曲线的焦点的求法，注意运用渐近线方程，考察运算才能，属于根底题．
(1,1)a x =-，(1,3)b x =+，那么“2x =〞是“//a b →
→
〞的
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
利用充要条件的判断方法进展判断即可.
【详解】假设2x =，那么()1,1a =，()3,3b =，那么//a b ；但当//a b 时，2,x =± 故“2x =〞是“//a b 〞的充分但不必要条件. 选A.
【点睛】此题考察充分不必要条件条件的判断，属根底题. 5.在“一带一路〞知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进展预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不一样且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 【答案】A 【解析】 【分析】
利用逐一验证的方法进展求解.
【详解】假设甲预测正确，那么乙、丙预测错误，那么甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；假设乙预测正确，那么丙预测也正确，不符合题意；假设丙预测正确，那么甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，应选A ．
【点睛】此题将数学知识与时政结合，主要考察推理判断才能．题目有一定难度，注重了根底知识、逻辑推理才能的考察．
f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，那么当x <0时，f (x )=
A. e 1x --
B. e 1x -+
C. e 1x ---
D. e 1x --+
【答案】D 【解析】 【分析】
先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】
()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．
当0x <时，0x ->，()()1x
f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．应选D ．
【点睛】此题考察分段函数的奇偶性和解析式，浸透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
f (x )=
2
sin cos x x
x x ++在[—π，π]的图像大致为
A.
B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由22
sin()()sin ()()cos()()cos x x x x
f x f x x x x x -+----=
==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关
于原点对称．又221422()1,2
()2
f π
π
πππ+
+=
=>2()01f πππ=>-+．应选D ． 【点睛】此题考察函数的性质与图象，浸透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或者赋值法，利用数形结合思想解题．
220x y +-=经过椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的上顶点与右焦点，那么椭圆的方程为(
)
A. 22
415x y +=
B. 2
215x y +=
C. 22194
x y +=
D.
22164
x y += 【答案】A 【解析】 【分析】
求出直线与坐标轴的交点，推出椭圆的,a b ，即可得到椭圆的方程.
【详解】由题意，直线2x y 20+-=经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点与右焦点，
可得1,2c b ==
，可得a ==
所以椭圆的HY 方程为22
4
15x y +=，应选A.
【点睛】此题主要考察了椭圆的HY 方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的额HY 方程的形式和简单的几何性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.
3222y x ax ax =-+上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 等于〔 〕
A. 0
B. 1
C. 2-
D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于a 的不等式得答案.
【详解】解:由3
2
22y x ax ax =-+,得2
342y x ax a '
=-+, 曲线3
2:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,
∴对任意实数23420x x ax a -+>，恒成立,
2(4)4320a a ∴=--⨯⨯<.
解得:302
a <<
. ∴整数a 的值是1.
故答案为B
【点睛】此题考察了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考察了数学转化思想方法,是中档题.
()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，如图是函数()()'g x xf x =的图象，那么()f x 的极
值点是( )
A. 极大值点2x =-，极小值点0x =
B. 极小值点2x =-，极大值点0x =
C. 极值点只有2x =-
D. 极值点只有0x =
【答案】C 【解析】
结合图象，2x <-时，()0g x <，故()'0,20f x x >-<<时，()0g x >，故()'0,0f x x 时，()0g x <，故()'0f x <，故()f x 在(),2-∞-递增，在()2,-+∞递减，故()f x 的极值点是2x =-，应选C.
()()221:231C x y -+-=，圆()()22
2:349C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C 、2C 上
动点，P 是x 轴上动点，那么PN PM -的最大值是( ) A. 524+
2
C. 52
D.
24
【答案】D 【解析】 【分析】
作出图形，由23PN PC ≤+，11PM PC ≥-，得出214PN PM PC PC -≤-+，利用1C 、P 、2C 三点一共线可得出PN PM -的最大值. 【详解】如下列图所示：
圆1C 的圆心()12,3C ，半径为11r =，圆2C 的圆心()23,4C ，半径为23r =，
()()
22
1223342C C =
-+-=
由圆的几何性质可得2223PN PC r PC ≤+=+，1111PM PC r PC ≥-=-，
21124424PN PM PC PC C C -≤-+≤+=，
当且仅当1C 、P 、2C 三点一共线时，PN PM -24. 应选：D.
【点睛】此题考察折线段长度差的最大值的计算，考察了圆的几何性质的应用以及利用三点一共线求最值，考察数形结合思想的应用，属于中等题.
12.a ，b R ∈，且(1)x
e a x b ≥-+对x ∈R 恒成立，那么ab 的最大值是〔 〕
A.
3
32
e B.
322
e C.
312
e D. 3e
【答案】C 【解析】
分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a ＜0，a ＞0的情况，从而得出ab 的最大值． 详解：令f 〔x 〕=e x -a 〔x-1〕-b ，那么f′〔x 〕=e x -a ， 假设a=0，那么f 〔x 〕=e x -b≥-b≥0，得b≤0，此时ab=0；
假设a ＜0，那么f′〔x 〕＞0，函数单调增，x→-∞，此时f 〔x 〕→-∞，不可能恒有f 〔x 〕≥0．
假设a ＞0，由f′〔x 〕=e x -a=0，得极小值点x=lna ，
由f 〔lna 〕=a-alna+a-b≥0，得b≤a〔2-lna 〕，ab≤a 2
〔2-lna 〕．令g 〔a 〕=a 2
〔2-lna 〕．那么g′〔a 〕=2a 〔2-lna 〕-a=a 〔3-2lna 〕=0，得极大值点a=3
2e ．而g 〔3
2e 〕=3
12
e ∴ab 的最大值是
3
12
e 应选C 点睛：此题考察函数恒成立问题，考察了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，浸透了分类讨论思想，是中档题．
第II 卷 非选择题
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.
x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≤⎩
那么z =3x –y 的最大值是___________.
【答案】9. 【解析】 【分析】
作出可行域，平移30x y -=找到目的函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目的函数可得.
【详解】画出不等式组表示的可行域，如下图，
阴影局部表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当
直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．
【点睛】此题考察线性规划中最大值问题，浸透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目的函数的几何意义致误，从线性目的函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进展判断取最大值还是最小值．
14.我国高铁开展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有20个车次的正点率为0.97，有40个车次的正点率为0.98，有20个车次的正点率为0.99，那么经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【解析】 【分析】
根据平均值公式计算得到答案. 【详解】平均正点率的估计值为：204020
0.970.980.990.98808080
⨯+⨯+⨯=. 故答案为：0.98.
【点睛】此题考察了平均值的计算，意在考察学生的计算才能.
()32sin f x x x =-，假设2(3)(3)0f a a f a -+-<，那么实数a 的取值范围是
__________． 【答案】(1,3)
【解析】 【分析】
确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案.
【详解】()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数，
'()32cos 0f x x =->，函数单调递增，
2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-，
解得13a <<. 故答案为：()1,3.
【点睛】此题考察了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考察学生对于函数性质的灵敏运用.
2
4y x =的准线与双曲线22
221(00)x y a b a b
，-=>>交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦
点，假设FAB ∆为直角三角形，那么双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】
)
+∞.
【解析】
试题分析：抛物线焦点(1
0)F ，，由题意01a <<，且090AFB ∠=并被x 轴平分，所以点(12)-，在双曲线上，得22141a b -=，即2222
2
41a b c a a
==--，即2242
2
22
4511a a a c a a a
-=+=--，所以22222254111c a e a a a -===+--，2015a e <∴，，故
e >故应填
)
+∞.
考点：抛物线；双曲线.
三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.
〔一〕必考题：一共60分.
17.某行业主管部门为理解本行业中小企业的消费情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.
〔1〕分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； 〔2〕求这类企业产值增长率的平均数与HY 差的估计值〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕.〔准确到0.01〕
8.602≈.
【答案】(1) 增长率超过0040的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2
1
100
50
；〔2〕
平均数0.3；HY 差0.17. 【解析】 【分析】
(1)此题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；
(2)可通过平均值以及HY 差的计算公式得出结果．
【详解】(1)由题意可知，随机调查的100个企业中增长率超过的企业有14721个，
产值负增长的企业有2个，
所以增长率超过的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2
1
100
50
．
(2)由题意可知，平均值2
0.1240.1530.3140.570.7
100
0.3y
，
HY 差的平方：
2
2
2
2
2
2
1100
20.10.3
240.10.3
530.30.3
140.50.3
70.70.3
s
1100
0.320.960.56 1.12
0.0296，
所以HY 差0.0296
0.000474
0.028.6020.17s ．
【点睛】此题考察平均值以及HY 差的计算，主要考察平均值以及HY 差的计算公式，考察学生从信息题中获取所需信息的才能，考察学生的计算才能，是简单题．
()22(,)x f x e ax x R a R =--∈∈.
〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
〔Ⅱ〕当0x ≥时，假设不等式()0f x ≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔I 〕(21)2y e x =--；〔II 〕(,2]-∞. 【解析】
分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求()min f x ⎡⎤⎣⎦，再
解()min f x ⎡⎤⎣⎦≥0，求出实数a 的取值范围.
详解：〔Ⅰ〕当1a =时，()22x
f x e ax =--，()'21x
f x e =-，()'121f e =-，
即曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为21k e =-，又()123f e =-， 所以所求切线方程为()212y e x =--.
〔Ⅱ〕当0x ≥时，假设不等式()0f x ≥恒成立()min 0f x ⎡⎤⇔≥⎣⎦， 易知()'2x
f x e a =-，
①假设0a ≤，那么()'0f x >恒成立，()f x 在R 上单调递增； 又()00f =，所以当[
)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意. ②假设0a >，由()'0f x =，解得ln
2
a
x =，
那么当,ln
2a x ⎛⎫
∈-∞ ⎪⎝
⎭
时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当ln
,2a x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以ln 2
a
x =时，函数()f x 获得最小值. 那么当ln 02
a
≤，即02a <≤时，那么当[)0,x ∈+∞时，()()00f x f ≥=，符合题意. 当ln
02
a
>，即2a >时， 那么当0,ln 2a x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()f x 单调递增，()()00f x f <=，不符合题意.
综上，实数a 的取值范围是(]
,2-∞.
点睛：〔1〕此题主要考察导数的几何题意和切线方程的求法，考察利用导数求函数的最小值，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理转化才能.(2)解答第2问由两次分类讨论，
第一次是分类的起因是解不等式2
x
a
e >
时，右边要化成ln 2a e ，由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是ln 2
a
x =是否在函数的定义域{|0}x x ≥内,大家要理
解掌握.
19.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.
〔1〕证明：MN ∥平面C 1DE ； 〔2〕求点C 到平面C 1DE 的间隔 ．
【答案】〔1〕见解析；
〔2〕
417
17
. 【解析】 【分析】
〔1〕利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行断定定理可证得结论；
〔2〕根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的间隔 ，得到结果. 【详解】〔1〕连接ME ，1B C
M ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线
1//ME B C ∴且112
ME B C =
又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且11
2
ND B C =
//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形
//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE
〔2〕在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥， 根据题意有3DE =
117C E =，
因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，
所以1DE EC ⊥，所以11
2
DEC S ∆=
设点C 到平面1C DE 的间隔 为d ，
根据题意有11C CDE C C DE V V --=，那么有1111
143232
d ⨯=⨯⨯，
解得
17d =
=，
所以点C 到平面1C DE 的间隔 为
17
. 【点睛】该题考察的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的断定，点到平面的间隔 的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的断定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的间隔 是文科生常考的内容.
C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，
点B 是椭圆上的动点，1ABF 的面积的最大值为1
2
-. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设经过点1F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .假设直线'l 与直线l 相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求
PQ
MN
的最小值. 【答案】见解析. 【解析】
试题分析：〔1〕由，有
c a =
，可得b c =. 设B 点的纵坐标为()000y y ≠.可得1ABF S ∆
的最大值
()1
2
a c
b - =1b =，a =即可得到椭圆C 的方程； 〔2〕由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-.
设()11,M x y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()
2,Q Q y .
联立22221
x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得()22
2210m y my +--=.由弦长公式可得2212m MN m +=+
PQ 2226
2
m m +=+，由此得到PQ MN 的表达式，由根本不等式可得到PQ MN 的最小
值. 试题解析：
〔1〕由，有
c a =
，即222a c =. ∵222a b c =+，∴b c =. 设B 点的纵坐标为()000y y ≠.
那么()1012ABF S a c y ∆=-⋅ ()1
2
a c
b ≤- 1
2
-=，
即
)
1b b -=.
∴1b =，a =
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
〔2〕由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：1x my =-. 设()11,M x y ，()22,N x y ，(),P P P x y ，()
2,Q Q y .
联立22221
x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22
2210m y my +--=.
此时(
)
2
810m ∆=+>. ∴12222m y y m +=
+，12
21
2
y y m =-+.
由弦长公式，得MN = 12y y -=.
整理，得221
2
m MN m +=+.
又12222P y y m y m +=
=+，∴1P P x my =- 22
2
m -=+.
∴2P PQ =-
2226
2
m m +=+.
∴2PQ
MN =
22=
22⎫=≥，
=
，即1m =±时等号成立.
∴当1m =±，即直线l 的斜率为1±时，
PQ MN
获得最小值2.
2
1()ln(1)2
f x x a x =
++ 〔Ⅰ〕讨论()f x 的单调性；
〔Ⅱ〕假设1a =，证明：当0x >时，()1x
f x e <-. 【答案】〔Ⅰ〕答案见解析；〔Ⅱ〕证明见解析. 【解析】
分析：〔Ⅰ〕先确定函数定义域，再求导()2 1x x a f x x
++'=+，讨论导数的正负可得单调区
间；
〔2〕令()()2
1=ln 1-e 12
x h x x x +++，求导根据单调性可得()()00h x h <=，从而得证. 详解：〔Ⅰ〕、
()f x 的定义域为()1,+x ∈-∞
由()()21ln 12f x x a x =++得()211a x x a
f x x x x
++=+=
'++ ()0f x '=令得20x x a ++=
14a ∆=-.
①当1
0,4
a ∆≤≥
时，()0f x '≥恒成立， ()f x 在-1+x ∈∞（，）
上单调递增.
②当0∆>时，()0f x '=的根为12x x =
=
1．
当1-1x ≤，即0a ≤时，2-1x x ∈（，）递减，2+x x ∈∞（，）递增 2．当1-1x >，即1
04
a <<
时，12-1+x x x （，），（，）∈∞递增，12x x x ∈（，）递减.
综上所述：
当0a ≤时，2-1x x ∈（，）递减，2+x x ∈∞（，）递增；
当1
04
a <<时，12-1+x x x （，），（，）∈∞递增，12x x x ∈（，）递减；
当1
4
a ≥
时()f x 在-1+x ∈∞（，）上单调递增. 〔Ⅱ〕()()2
11=ln 12
a f x x x =++当时，
所以令()()21=ln 1-e 12
x
h x x x +++
所以只需要()()21=ln 1-e 12x
h x x x +++在0+x ∈∞（，）
上的最大值小于0. ()1
'=-e 1x h x x x ++，
∴令()'=0,0h x x =.
∴令()()
2
1
(='(=1-e 01x g x h x g x x '∴-<+）
）.() '0h x ∴<
()0+h x x ∈∞在，递减，()()00h x h <=，不等式成立.
〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩〔θ为参数，[]0,θπ∈〕，
将曲线1C
经过伸缩变换：x x
y '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .
〔1〕以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程；
〔2〕假设直线cos :sin x t l y t α
α=⎧⎨=⎩
〔t 为参数〕与12,C C 相交于,A B
两点，且1AB =，
求α的值. 【答案】(1) []()2
2
30,2cos 1ρθπθ=∈+ (2) 3
πα=或者23π
【解析】
试题分析：()1求得曲线1C 的普通方程，然后通过变换得到曲线2C 方程，在转化为极坐标方程()2
在极坐标方程的根底上结合1AB =求出结果 解析：〔1〕1C 的普通方程为()2
2
10x y y +=≥，
把'x x =
，'y y =代入上述方程得，()22
''1'03y x y +
=≥， ∴2C 的方程为()2
2
103
y x y +=≥.
令cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为2
2233cos sin ρθθ=
+ 2
3
2cos 1
θ=+ []()0,θπ∈. 〔2〕在〔1〕中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，
由1
ρθα=⎧⎨=⎩
得1A ρ=，
由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩
得ρ=
11=，∴1cos 2α=±. 而[]
0,απ∈，∴3
π
α=
或者
23
π
.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =.
〔1〕求不等式()2F x x ≥+的解集；
〔2〕假设函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：
12924
a b +≥. 【答案】(1) (,0][4,)-∞⋃+∞ (2)见解析
【解析】
【详解】试题分析：
(1)由函数的对称性可得0m =，零点分段求解不等式可得不等式()2F x x ≥+的解集
(2)由绝对值不等式的性质可得()2min f x M ==，那么2a b +=，结合均值不等式的结论：1214222a b a b +=+ ()11422422a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 94≥，当且仅当23a =，43
b =时取等号.题中的不等式得证.
试题解析：
〔1〕∵函数()f x 的对称轴为1x =，∴()()02f f =∴0m =,经检验成立
∴()2f x x x =+- 22,02,0222,2x x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩
，
由()2f x x ≥+，得0222x x x ≤⎧⎨-+≥+⎩
或者0222x x <<⎧⎨≥+⎩或者2222
x x x ≥⎧⎨-≥+⎩. 解得0x ≤或者4x ≥，
故不等式()2F x x ≥+的解集为][()
,04,-∞⋃+∞.
〔2〕由绝对值不等式的性质，
可知()222x x x x -+≥--=，当且仅当02x ≤≤等号成立 ∴()2min f x M ==，∴2a b +=， ∴1214222a b a b +=+ ()11422422a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 12814422b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ()195444
≥⨯+= 〔当且仅当23a =，43
b =时取等号〕. 即12924
a b +≥. 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。