2018年高考数学人教A版 文科真题演练集训：选4-5不等

真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －
3|.
(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)求不等式|f (x )|>1的解集．
解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，
y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，
可得x ＝1或x ＝3；
当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.
故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；
f (x )<－1的解集为{x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为{x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫x <13或1<x <3或x >5. 2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.
解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.
因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．
(2)当x ∈R 时，
f (x )＋
g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |
≥|2x －a ＋1－2x |＋a
＝|1－a |＋a .
所以当x ∈R 时，
f (x )＋
g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3. ①
当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．
当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.
所以a 的取值范围是[2，＋∞)．
3．[2016·江苏卷]设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y
－4|＜a .
证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3，
所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a 3＝a .
4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．
(1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，
2x ，x ≥12
. 当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；
当－12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，
解得x <1.
所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．
(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝ (a 2－1)(1－b 2)<0.
因此|a ＋b |<|1＋ab |.。