第2讲 一元二次不等式及其解法
2.2一元二次不等式的解法
刹车距离
在交通繁忙的路段,交通管理部门出于车辆安全和畅通的考 虑,对汽车的行驶速度有一定的限制,超速行驶被视为违规.因 为汽车在遇到紧急情况时,即使司机马上刹车,但由于惯性的作 用,刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下.这段 距离叫做刹车距离.车速越快,刹车距离越长.
代数方法： x 2x 1 0
x x
2 0••••
1 0
或
x 2 0 x 1 0
x 2
x 2
x 1
或
x 1
原不等式的解集是： •x | 1 x 2
想一想
y x2 x 2
x2 x 2 0
甲乙两辆汽车相向而行,在一个弯道上相遇,弯道限制 车速在40km/h以内,由于突发情况,两车相撞了,交警在现 场测得甲车的刹车距离接近但未超过12m,乙车的刹车距离 刚刚超过10m,又知两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h) 之间分别有以下函数关系:
S甲=0.01x2+0.1x
S乙=0.005x2+0.05x
2.解对应的方程。
3.画出相应函数的简图，根据图象确定所求不等 式的解集。
练习:
求下列不等式的解集 (1) x2-5x+6<0
(2)x2-x+2<0
(3) 3x2-x-4>0
(4)9x2-6x+1≤0
(5) -6x2-x+2<0
(6)2x2+4x>-3
小结
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数的相互关系及其解法：
的解集是 R,求实数k的取值范围.
例3.写出一个一元二次不等式，使它的解
2021届高考数学一轮复习训练第2讲一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2018年山东临沂期中)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)2．(2018年黑龙江大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2019年云南模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]5．(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是( )A ．－x 2＋x ＋1≤0B ．2x 2－3x ＋4<0C ．x 2＋3x ＋10≤0D ．－x 2＋4x －⎝⎛⎭⎫a ＋4a >0(a >0) 6．(多选)对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0的解集可能为( )A ．∅B ．(－1, a )C ．(a ，－1)D ．(－∞，－1)∪(a ，＋∞)7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．10．(2018年上海模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2x －1x ＋1≤1，x ∈R ，集合B ＝{x ‖ x － |a ≤1，x ∈R }．(1)求集合A ；(2)若B ∩∁R A ＝B ，求实数a 的取值范围．11．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1；(2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．12．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立？证明你的结论．第2讲 一元二次不等式及其解法1．C 解析：∵关于x 的不等式ax －b <0的解集为(1，＋∞)，∴a <0且b a＝1，即a ＝b ， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可转化为(x ＋1)(x －3)<0.解得－1<x <3，故选C.2．D 解析：由题意可知a －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 解得a ＝2或－2<a <2，即－2<a ≤2.故选D. 3．A4．B 解析：原不等式等价于(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上所述－4≤a ≤3.故选B.5．BCD6．ABCD 解析：对于一元二次不等式a (x －a )(x ＋1)>0，则a ≠0；当a >0时，函数y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向上，与x 轴的交点为a ，－1，故不等式的解集为x ∈(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a <0时，函数y ＝a (x －a )(x ＋1)开口向下，若a ＝－1，不等式的解集为∅；若－1<a <0，不等式的解集为(－1，a )，若a <－1，不等式的解集为(a ，－1)．综上，ABCD 都成立．故选ABCD.7．21 解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图D162.图D162关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (1)＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a ＞0. 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，∴a ＝6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21. 8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－b a>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0.故正确答案为①②③④.9．9 解析：由值域为[0 ，＋∞)，当x 2＋ax ＋b ＝0时有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a 2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎫c －a 2－⎝⎛⎭⎫－c －a 2＝2 c ＝6，解得c ＝9. 10．解：(1)由2x －1x ＋1≤1，得x －2x ＋1≤0.∴A ＝(－1,2]． (2)∁R A ＝(－∞，－1]∪ (2，＋∞)，B ＝[a －1，a ＋1]，由B ∩∁R A ＝B ，得B ∁R A ，∴a ＋1≤－1或a －1>2，∴a 的取值范围为(－∞，－2)∪ (3，＋∞)．11．解：(1)∵数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列， ∴a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0.解得a 1＝－1或a 1＝2.(2)∵数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，∴5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0.解得－5<a 1<2. 12．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72. 令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32⇒x ＝－1. 由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32. 由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32.∴f (－1)＝32. ∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52，且b ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a . 依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1，且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0. 由a －1>0，得a ＝32.∴f (x )＝32x 2＋x ＋1. 证明如下：∵32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0. ∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． ∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．。
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 一元二次不等式及其解法
解得0<x< 1 . 3
0
x
1,
12. (2009·南京模拟)已知不等式ax2 - 3x 6 4 的解集为{x|x<1或x>b}.
学后反思 解不等式应用题，可分以下几步思考： （1）认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系; （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化; （3）求解不等式; （4）还原实际问题.
举一反三
4.已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及 汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车 到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多 少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?
解（1）∵x∈R时，有 x2 ax 3- a 0恒成立，
则 a2 - 4(3 - a) 0,
即 a2 4a -12 0,-6 a 2.
(2)方法一：当x∈[-2,2]时，gx x2 ax 3 - a 0 ,分如下三种
情况讨论：
图1
图2
图3
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有 a2 - 4(3 - a) 0 ,即-6≤a≤2.
x2
的解集为B，若
A
,B则实数a的取值范围是.
解析: ∵A={x|2<x≤3},B={x|x>a},又 A,∴a≤B2.
x2 1 x a 0
答案: (-∞,2］
11. 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万 元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度 增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地 提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润y=（出 厂价-投入成本）×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在 什么范围内?
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法基础知识1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a )1(ax -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{ax x <<； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a ＞1时，不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是]31,21[--，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二 一元二次不等式恒成立问题 考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[)2,2(-C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，0] C ．),1[+∞[ D DD D ．]1,(-∞(解析] 法一：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二：当x ∈[)2,1(-]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[)2,1(-])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围． 解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4，综上可知，使原不等式恒成立的x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练]1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3,0)D ．[－4，＋∞)解析：选A x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝x 2－4x ，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取到最小值，为－3，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3]，故选A. 2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：)0,22(-3．不等式(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立，则x 的取值范围是________．解析：由题意知(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2－4x )a －3x 2＋2x ＜0对a ∈(0,1)恒成立．令g (a )＝(x 2－4x )a －3x 2＋2x ，当x ＝0时，g (a )＝0，不满足题意．当x ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝－3x 2＋2x ≤0，g (1)＝(x 2－4x )－3x 2＋2x ≤0，得x ≤－1或x ≥23.答案：(－∞，－1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1．(2019·石家庄模拟)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( )A ．[－1,0)B ．[－1,2)C ．(0,1]D ．[1,2)解析：选C 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C. 2．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D ．{x |x <2} 解析：选C 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或 解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.4．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 解析：选A 由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x－1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为}3121|{-<<-x x ，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,(-∞)B B ． (－∞，－6]]C ． ]2,6[-D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( )A ．1 B.14 C.12D ．－1解析：选C 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m的最大值为12.故选C.8．(2018·北京东城区期末)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆]3,1[，则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D ．[)3,1( 解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[]3,1[]， 所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为]511,1(-，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}． 答案：{x |0<x <2}10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )． 答案：(a ，－a )11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．解析：关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80， 所以实数a 的取值范围是[45,80)． 答案：[45,80)12．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12， 所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为)23,21(-。
2014届高考数学知识点总复习教案一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 B2．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )．A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba . ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3. 答案 B4．(2013·莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)6．在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－x 2＋x ＋a 2－a .故－x 2＋x ＋a 2－a <1对任意x ∈R 都成立．即－x 2＋x <－a 2＋a ＋1对任意x ∈R 都成立．而－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，只需－a 2＋a ＋1>14即可，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )．(1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围． 解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m ，x 1·x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C2．(2012·南通期末)若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1的解集为( )．A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,2)D ．(－3,2)解析 若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立， 则Δ＝4a 2－4a <0，所以0<a <1.又a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1，则2t ＋1>t 2＋2t －3>0，即⎩⎨⎧2t ＋1>t 2＋2t －3，t 2＋2t －3>0，所以1<t <2. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·大同一模)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________． 解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32 三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
高考复习 第7篇 第2讲 一元二次不等式及其解法知识点+例题+练习 含答案
第2讲 一元二次不等式及其解法 考点一 一元二次不等式的解法【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．解析 由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)，∴a ＜0.且⎩⎪⎨⎪⎧1－ab a ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13，∴a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0， 解得x ＞12或x ＜－32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．【训练1】 (2013·江西卷改编)使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是________． 解析 当x >0时，原不等式可化为x 2＜1＜x 3，解得x ∈∅，当x ＜0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x 2＞1，x 3＜1，解得x ＜－1.答案 (－∞，－1)考点二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2013·烟台期末)解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即a ＞－2，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 【训练2】 (1)(2013·重庆卷改编)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于________． (2)解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.(1)解析 法一 ∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4(－8a 2)＝15，又∵a ＞0，∴a ＝52.法二 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0， ∵a ＞0，∴不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(－2a,4a )， 又∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15， ∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 答案 52(2)解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0， 即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a ＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考点三 一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]．(2)法一 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＜67. 法二 ∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.【训练3】 (1)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)(2014·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是________．解析 (1)当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ， 只需⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12.综上，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)∵x ∈(0,2]， ∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞1．解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．2．当判别式Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)解集为R ；ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)解集为∅.二者不要混为一谈．3．含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .思想方法6——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2012·福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”；a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析 由定义可知：f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ＞0，∴f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x ＞0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0＜m ＜14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1＜x 2＜x 3，易知x 2＞0，且x 2＋x 3＝2×12＝1， ∴0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14. 令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x ＜0，解得x ＝1－34或1＋34(舍去)．∴1－34＞x 1＞0，∴3－14＞－x 1＞0， ∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116， ∴1－316＜x 1x 2x 3＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【自主体验】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1；②⎩⎨⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0. 综上可知：－1＜x ＜2－1.答案 (－1，2－1)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1)基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝________.解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3]2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4.答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)3．(2013·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为________．解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 {x |x <4}4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 (2,3)5．(2014·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 (－2,1)6．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________. 解析 由于不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax－1＝0的根，∴a ＝－2. 答案 －27．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0恒成立，所以Δ≤0，即Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，整理得2sin 2 α－cos 2α≤0，即4sin 2 α≤1，所以sin 2 α≤14，即－12≤sin α≤12，因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 8．(2014·福州期末)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________.解析 原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3. 答案 [－4,3] 二、解答题9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 10．(2014·长沙质检)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]． 法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是________．解析 不等式2x(x －a )＜1可变形为x －a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a ＜1，所以a ＞－1. 答案 (－1，＋∞)2．(2013·西安二模)在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc .若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32.答案 323．(2014·铜陵一模)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析 由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a 4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0.答案 (－4,0)二、解答题4．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。
高考数学一轮复习 第7章 不等式 2 第2讲 一元二次不等式及其解法教案 理-高三全册数学教案
第2讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的 图象一元二次方 程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实 根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实 数根ax 2＋bx ＋c>0(a >0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c<0(a >0) 的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.4．绝对值不等式的解法(1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2；(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式2x 2－x －3>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <32B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <－32解析：选B.2x 2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.所以不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >32或x <－1. 不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)解析：选A.由不等式x －12x ＋1≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.设二次不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________． 解析：由不等式ax2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6. 答案：6若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下三个命题角度：(1)解不含参数的一元二次不等式； (2)解含参数的一元二次不等式；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[典例引领]角度一 解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3.【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．角度二 解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度三 已知一元二次不等式的解集求参数已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.【答案】 {x |x ≥3或x ≤2}(1)解一元二次不等式的方法和步骤 (2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[通关练习]1．(2018·陕西西安模拟)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0，B ＝{x |x 2<2x }，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |0≤x <1} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1}解析：选A.因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x x －1≤0＝{x |0≤x <1}， B ＝{x |x 2<2x }＝{x |0<x <2}，所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，故选A.2．(2018·广东清远一中模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(1，3)C ．(－1，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，所以a ＝b <0，所以不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，所以所求解集是(－1，3)．故选C.3．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]一元二次不等式恒成立问题(高频考点)一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围； (3)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[典例引领]角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定 参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时不等式为－4<0， 对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2. 所以实数a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]角度二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围(转化与化归思想)若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0， 解得－22<m <0.【答案】⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 角度三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)不等式恒成立问题的求解方法①一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．②一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．③一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)求解不等式恒成立问题的数学思想求解此类问题常利用分类讨论思想及转化与化归思想，如例22是不等式与函数的转化，例23是主元与次元的转化，而例21是对二次项系数是否为0进行讨论．[通关练习]1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13.答案：m ≥132．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：因为不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1，2]上恒成立，所以4x－2x ＋1≥a 在[1，2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． 易错防范(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．(2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1，2) B ．[1，2] C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －ba 的值为( ) A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－ba＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56. 3．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 解析：选C.不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.4．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.5．(2018·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：选A.不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，故f (x )<0的解集是{x |x <－1或x >3}，故f (－2x )<0的解集为{x |－2x <－1或－2x >3}，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >12.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．函数y ＝lg （1－x ）－2x 2＋12x ＋32的定义域为________． 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋12x ＋32>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x －16<0，1－x >0，解得－2<x <1， 即原函数的定义域为{x |－2<x <1}．答案：(－2，1)8．(2018·江西南昌模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，329．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即|ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔－2≤ax ≤6. 当a >0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a≤x ≤6a ；当a <0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6a≤x ≤－2a .(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]，所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．(2018·陕西咸阳模拟)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13 B ．18 C ．21D ．26解析：选C.设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)． 答案：[2，8)4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立， 所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
第二章考点一元二次不等式及其解法完整版课件
(x－1)·(3x－2)≥0⇒x≤
∴原不等式的解集为
x
|23x或 23x≥或x1，1
.
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(2)2x(x＋1)>3x2－3； 解：2x(x＋1)>3x2－3⇒x2－2x－3<0⇒(x－3)(x＋1)<0⇒ －1<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－1<x<3}．
2．不等式x2－2 022x－2 023>0的解集为( D )
A．x |－2 023＜x＜1
B．x | x 1或x 2023
C．x | 1 x 2023
D．x | x 1或x 2023
【提示】 x2－2 022x－2 023>0⇒(x＋1)(x－2 023)>0⇒x<－1或 x>2 023.
(4)(x－2)(3－x)≥3－x. 解：原不等式可化为(x－3)(3－x)≥0，即(x－3)2≤0，解 得x＝3， ∴原不等式的解集为{3}．
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例3 已知关于x的不等式ax2＋4x＋b＜0的解集为 (－∞，－2)∪(6，＋∞)，求实数a，b的值． 【思路点拨】 此类题一般通过“构造方程”或“构造不等式 ”来求解．
解：由题意得，方程ax2－bx＋3＝0的两个根为x1＝1，
x2＝
3 2
，根据韦达定理得
1
3 2
b a
,
1
3 2
3 a
,
解得
a 2, b 5.
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第2讲 一元二次不等式及其解法
A 级 课时对点练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是 ( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x ＋6＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0x ＋6＞3，所以不难解得原不等式的解集为 (－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A2．不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2<x <3}，则bx 2－ax －1>0的解集为 ( )A ．{x |2<x <3} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13<x <12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13 D.{}x |－3<x <－2 解析：由题意知2,3是方程x 2－ax －b ＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝－b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6. ∴不等式bx 2－ax －1>0为－6x 2－5x －1>0，即6x 2＋5x ＋1<0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13. 答案：C3．(2009·山东卷)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为 ( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案：B4．(2010·青岛模拟)已知不等式①x 2－4x ＋3＜0和②x 2－6x ＋8＜0及③2x 2－9x ＋m ＜0，若同时满足①②的x 也满足③，则有 ( )A ．m ＞9B ．m ＝9C ．m ≤9D ．0＜m ＜9解析：据已知满足①②两个不等式的解集为(2,3)，又当2＜x ＜3时，2x 2－9x ＋m ＜0恒成立，令f (x )＝2x 2－9x ＋m ，结合二次函数的图象可知只需⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0f (3)≤0即可，解得m ≤9. 答案：C5．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意实数x 均成立，则实数m 的取值的范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：原不等式化为：(m －2)x 2＋(2m －4)x －4＜0，∴m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜0Δ＜0解得：－2＜m ≤2. 答案：B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6．(2010·烟台模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥1，x 2－2x －2， x ＜1，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围为________．解析：据题意原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥12x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1，分别解之，然后取并集即为原不等式的解集．答案：(－∞，－1)∪[1，＋∞)7．(2010·辽宁卷)已知－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．解析：设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3， 解得⎩⎨⎧ m ＝－12，n ＝52，∴－2＜－12(x ＋y )＜12， 5＜52(x －y )＜152，则3＜－12(x ＋y )＋52(x －y )＜8，即3＜2x －3y ＜8.本题还可以运用线性规划解决．A (3,1)，B (1，－2)．目标函数z ＝2x －3y 经过点A 时z ＝3，经过点B 时z ＝8，∴z ∈(3,8)．答案：(3,8)8．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋ax －2，由题意知：Δ＝a 2＋8＞0，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)9．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )＞－1. 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝－1，f (－1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.由f (x )＞－1，得－4x 2＋4x ＋7＞－1，即－1＜x ＜2，∴f (x )＞－1的解集为{x |－1＜x ＜2}．另：此题也可设为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8(a ＜0)． 10．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解：原不等式变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式变为－2x －2≥0，故其解集为{x |x ≤－1}；(2)当a ≠0时，不等式即为(ax －2)(x ＋1)≥0.①当a ＞0时，不等式即为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； ②当a ＜0时，不等式即为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0，2a －(－1)＝a ＋2a， 当－2＜a ＜0时，2a＜－1， 故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式即为(x ＋1)2≤0，故其解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，－1＜2a， 故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 综上，当a ＝0时，解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，解集为{x |－1≤x ≤2a}． (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)1．(2010·汕头质量测评)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)＜0，即1－2m ＋4＜0⇒m ＞52. 答案：B2．(2010·湖州模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为 ( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由函数为奇函数，故f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x＜0⇔xf (x )＜0，当x ＞0时，只需f (x )＜0，根据已知此时不等式的解为0＜x ＜1；同理当x ＜0时 ，只需f (x )＞0，根据已知此时不等式的解为－1＜x ＜0，综上可得不等式解集为(－1,0)∪(0,1)．答案：C二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．(2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥01， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的范围是________．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＞02x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0， 解得：－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1.∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)4．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，又开口向下，∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是单调递增函数．若f (x )＞0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＞0，即b 2－b －2＞0，∴(b －2)(b ＋1)＞0，∴b ＞2或b ＜－1.答案：b ＞2或b ＜－1三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)5．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集是{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a 与b 的值；(2)解关于x 的不等式x －c ax －b＞0(c 为常数)． 解：(1)由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，代入即得a ＝1，∴x 2－3x ＋2＝0∴b ＝2.(2)不等式x －c ax －b＞0等价于(x －c )(x －2)＞0. 当c ＞2时，解集为{x |x ＜2或x ＞c }；当c ＜2时，解集为{x |x ＜c 或x ＞2}；当c ＝2时，解集为{x |x ≠2，x ∈R }．6．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜(k ＋1)x －k 2－x.解：(1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b －x ＋12＝0， 得⎩⎨⎧93a ＋b ＝－9164a ＋b ＝－8⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. f (x )＝x 22－x(x ≠2)． (2)不等式即为x 22－x ＜(k ＋1)x －k 2－x可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x＜0即(x －2)(x －1)(x －k )＞0. (ⅰ)当1＜k ＜2时，解集为(1，k )∪(2，＋∞)； (ⅱ)当k ＝2时，解集为(1,2)∪(2，＋∞)； (ⅲ)当k ＞2，解集为(1,2)∪(k ，＋∞)．。
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a叫做二次项系数;bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
2、一元二次方程的解法(1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根,当0≥b 时，b a x ±=+,b a x ±-=，当b 〈0时,方程没有实数根.（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c（4)、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。
一元二次不等式及其解法
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应 方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方 程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0， 那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有 其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪 一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他 参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义 只含有 1 个 未知数，并且未知数的 最高次数为 2 的 不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等 式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 式的 解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三 例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2， 求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．
2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法分层演练 理(含解析)新人教A版
第2讲 一元二次不等式及其解法1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1，2)B ．[1，2]C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >13，则a －b a 的值为( )A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a＝1－b a ＝1－16＝56. 3．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 解析：选C.不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.4．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.5．(2019·福建龙岩模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32解析：选A.不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，故f (x )<0的解集是{x |x <－1或x >3}，故f (－2x )<0的解集为{x |－2x <－1或－2x >3}，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－32或x >12.6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2} 7．函数y ＝lg （1－x ）－2x 2＋12x ＋32的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋12x ＋32>0，1－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x －16<0，1－x >0，解得－2<x <1， 即原函数的定义域为{x |－2<x <1}． 答案：(－2，1)8．(2019·江西南昌模拟)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y－3<0，解得－12<y <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 9．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.10．(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝4－|ax －2|(a ≠0)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈[0，1]时，不等式f (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数有意义，需4－|ax －2|≥0，即|ax －2|≤4，|ax －2|≤4⇔－4≤ax －2≤4⇔ －2≤ax ≤6.当a >0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2a ≤x ≤6a ；当a <0时，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6a≤x ≤－2a .(2)f (x )≥1⇔|ax －2|≤3，记g (x )＝|ax －2|，因为x ∈[0，1]，所以需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤3g （1）≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧2≤3|a －2|≤3⇔－1≤a ≤5，又a ≠0，所以－1≤a ≤5且a ≠0.1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．(2019·陕西咸阳模拟)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13B ．18C ．21D ．26解析：选C.设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0， 解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a ＝6，7，8. 则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.3．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8)． 答案：[2，8)4．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________． 解析：因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y 2＋4(λ－8)y 2＝y 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8，4]5．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解：(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
高三数学一轮复习课件：一元二次不等式及其解法 新人教A版
课堂互动讲练
【误区警示】 (1)讨论不全面， 如仅按a>0和a<0两种情况讨论；
(2)当a<0时，x系数化1时不等号 方向未变向；
(3)讨论结束后未按讨论的情况作 出结论，或将各种结果求并作答．
课堂互动讲练
考点三 一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题 1．解决恒成立问题一定要搞清 谁是自变量，谁是参数．一般地，知 道谁的范围，谁就是变量，求谁的范 围，谁就是参数．
(2)当 a<0 时，不等式转化为 x(ax －2)>0，
即 x(x－2a)<0.
∵
2 a
<0，
∴不
等
式的
解
集
为
2 {x|a
<x<0}．
课堂互动讲练
(3)当 a>0 时，不等式转化为 x(ax－2)<0， 又2a>0，
∴不等式的解集为{x|0<x<2a}． 综上所述：当 a＝0 时，不等式解集为 空集； 当 a<0 时，不等式解集为{x|2a<x<0}； 当 a>0 时，不等式解集为{x|0<x<2a}．
三基能力强化
3．设p：x2－x－20>0，q：1－ x2<0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
三基能力强化
4．(教材习题改编)已知函数f(x) ＝－3x2＋5x－2，则使函数值大于0的 x的取值范围是________．
答案：{x|23<x<1}
第2课时 一元二次不等式及其 解法
基础知识梳理
1．一元二次不等式与相应的二次 函数及一元二次方程的关系如下表：基础知识梳理判别式
第2讲 一元二次不等式及其解法
第2讲一元二次不等式及其解法◆高考导航·顺风启程◆[知识梳理]1．一元二次不等式及标准形式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式，其标准形式为ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a>0.2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：＝有两相异实根有两相等实根x＝x没有实数根1．(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法2．分式不等式与一元二次不等式的关系 (1)x －ax －b >0等价于(x －a )(x －b )>0.(2)x －a x －b<0等价于(x －a )(x －b )<0. (3)x －ax －b ≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )(x －b )≥0，x －b ≠0.(4)x －a x －b ≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )(x －b )≤0，x －b ≠0. 3．两个常用的结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a >0.Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[知识自测]1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R . (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．不等式x －1x ＋2<0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，故原不等式的解集为(－2,1)． [答案] C3．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是______． [解析] 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0， 即k 2>2，∴k >2，或k <－ 2. [答案] (－∞－2)∪(2，＋∞)题型一 不含参数的一元二次不等式的解法(基础保分题，自主练透)(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是______．[解析] 当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－12 (2)解下列不等式： ①－3x 2－2x ＋8≥0； ②0<x 2－x －2≤4.[解] ①原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. ②原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．方法感悟解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 【针对补偿】1．(2018·皖北协作区联考)不等式log 2(－x 2＋x ＋2)>1的解集为( ) A ．(－2,0) B ．(－1,1) C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] 要使原式有意义满足：－x 2＋x ＋2>0， 解得－1<x <2.原式可化为log 2(－x 2＋x ＋2)>log 22.∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是单调递增函数， ∴－x 2＋x ＋2>2，∴0<x <1.∵－1<x <2，∴不等式的解集为(0,1)． [答案] C2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为______．[解析] 移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，于是原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x >5 题型二 含参数的一元二次不等式的解法(重点保分题，共同探讨)(1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3[解析] 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.[答案] A(2)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )． [解] 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2a ，或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 方法感悟含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【针对补偿】3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [解析] 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)． [答案] A4．解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[解] 原不等式可化为(x －1)(ax －1)<0，∴①当a ＝0时，可解得x >1，②当a >0时，不等式可化为(x －1)·⎝⎛⎭⎫x －1a <0， ∴当a ＝1时，不等式可化为(x －1)2<0，解集为∅；当0<a <1时，1a >1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a >1时，1a <1，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1； ③当a <0时，不等式可化为(x －1)·⎝⎛⎭⎫x －1a >0， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1a . 综上可知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1a ； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 题型三 与一元二次不等式有关的恒成立问题(高频考点题，多角突破) 考向一 函数f (x )≥0(≤0)在x ∈R 上恒成立问题1．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)[解析] ∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. [答案] D2．设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)[解析] 对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4. [答案] B考向二 函数f (x )≥0(≤0)在给定区间上恒成立问题3．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＜67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＜67. 考向三 函数f (x )≥0(≤0)在给定参数范围内恒成立问题4．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． [解析] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 故x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．方法感悟一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法5．(2018·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为______．[解析] 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. [答案] [－8,4]6．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．[解] 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 7．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． [解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x 的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．◆牛刀小试·成功靠岸◆课堂达标(三十一)[A 基础巩固练]1．(2018·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( ) A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B ．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)[解析] 由题意得－x 2＋4x －3>0，即x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，又ln(－x 2＋4x －3)≠0，即－x 2＋4x －3≠1，∴x 2－4x ＋4≠0，∴x ≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．[答案] D2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )[解析] 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎫12，94.[答案] B3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件. 那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间[解析] 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16， 所以每件销售价应为12元到16元之间． [答案] C4．(2018·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5][解析] x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.[答案] A5．(2018·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)[解析] 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. [答案] A6．(2018·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 [解析] 设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0，知方程f (x )＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－235，1 [答案] B7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1(x <0)，－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是______． [解析] ∵f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1， ∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <1x ＋(x ＋1)x ≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋(x ＋1)(－x )≤3， 解得－3≤x <1，或x ≥1，即x ≥－3.[答案] {x |x ≥－3}8．(2018·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围为______．[解析] 函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．[答案] (－∞，5)9．若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为______．[解析] 由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15， 可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0， 即x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0， 解得－1<x <45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. [答案] ⎝⎛⎭⎫－1，45 10．(2018·河南省洛阳市高二期中)解关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)．[解] (1)当a ＝0时，有－2x ＜0，∴x ＞0.(2)a ＞0时，∵Δ＝4－4a 2.①当Δ＞0，即0＜a ＜1.方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为 2±4－4a 22a ＝1±1－a 2a， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1－1－a 2a ＜x ＜1＋1－a 2a .②当Δ＝0，即a ＝1时，有x 2－2x ＋1＜0，∴x ∈∅；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0无实数根，不等式ax 2－2x ＋a ＜0无解，∴x ∈∅.(3)当－1＜a ＜0时，Δ＞0，不等式ax 2－2x ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1－1－a 2a 或x ＞1＋1－a 2a . 综上，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为：当－1＜a ＜0时， 关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1－1－a 2a 或x ＞1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为：{x |x ＞0}；当0＜a ＜1时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1－1－a 2a ＜x ＜1＋1－a 2a . 当a ≥1时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为：∅.[B 能力提升练]1．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 [解析] f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0，由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1，∴x <－32或x >12. [答案] A2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定[解析] 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a 2＝1，故a ＝2. 由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.[答案] C3．(2018·温州模拟)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为______．[解析] ∵4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立， 令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0.∴a 的取值范围为(－∞，0]．[答案] (－∞，0]4．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是______．[解析] 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0，再求f (x )<5的解， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x <5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5， 得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．[答案] {x |－7<x <3}5．(2018·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4. 因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ＞34. 则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.[C 尖子生专练]某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8 (0≤x ≤5)，10.2 (x >5)， 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？[解] 依题意得G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝R (x )－G (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8 (0≤x ≤5)，8.2－x (x >5)， (1)要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤5，－0.4x 2＋3.2x －2.8>0 或⎩⎪⎨⎪⎧ x >5，8.2－x >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤5，x 2－8x ＋7<0或5<x <8.2⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，1<x <7 或5<x <8.2⇔1<x ≤5或5<x <8.2⇔1<x <8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内．(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2，所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，又x ＝4时，R (4)4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．故此时每台产品的售价为240元．。
一元二次不等式及其解法(2)剖析
典例讲评
例1 在一个限速40km/h的弯道上，甲、 乙两汽车相向而行，发现情况不对同时 刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距 离略超过10m，已知甲、乙两种车型的刹 车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如 下关系： ＝0.05x＋ S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙 0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？ 乙超速行驶应负主要责任.
新知探究
1.假设一次上网时间为x小时(不足17 小时)，则在甲、乙两家公司上网所 收取的费用分别为： 甲：1.5x元；
x(35 x) 乙: 元 . 20
新知探究
2.如何根据上网时间选择到甲、乙两 家公司上网？
一次上网时间在5小时以内，去甲公司上 网；超过5小时，去乙公司上网； 恰好5 小时，去两家公司均可.
典例讲评
例2 一个车辆制造厂引进了一条 摩托车整车装配流水线，这条流水线 生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 2 y(元)之间有如下的关系:y 2 x 220 x 若这家工厂希望在一个星期内，利用 这条流水线创收6000元以上，那么它 在一个星期内大约应该生产多少辆摩 托车? 约生产51～59辆.
巩固练习
1、解不等式：
x 3x 2 0 2 x 2x 3
2
课堂小结
Hale Waihona Puke 1.解决一元二次不等式的应用性问 题，关键在于构造一元二次不等式 模型.其基本思路是：将题中的某个 主变量设为x→用x表示其他相关变 量→根据题中的不等关系列出不等 式→解不等式得结论.
小结作业
2.解一元二次不等式的应用性问题 时，要注意结果必须有实际意义， 并对问题作出相应回答.
布置作业
P80习题3.2A组：5，6. B组: 4.
第二讲 一元二次不等式及其解法(理)
续表
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1}
b x|x≠－ 2a
R
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
一个技巧 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受 a 的符 号、b2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方 程有密切联系， 可结合相应的函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象， 数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的 同解变形后，化为 ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中 a＞0)的形式， 其 对应的方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不等实根 x1，x2，(x1＜x2)(此 时 Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求 解集．
第2讲 一元二次不等式及其解法
【高考会这样考】 1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型． 2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关 系问题． 3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．
基础梳理 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不 等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解 集．
题型二 已知一元二次不等式的解集求待定系数
【例2】．
式
不等式的解集为
的解集。
，求关于的不等
[审题视点] 二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的 不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的 方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其
系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
一元二次方程及不等式章节复习
第2讲：一元二次方程及不等式一．基本概念1.因式分解2.根与系数的韦达定理3.一元二次不等式的解法与恒成立4.其他不等式二．典例分析考点1.因式分解法解方程. 例1.（1）22230x ax a --=；（2）已知函数2()(1)1(0)f x ax a x a =-++>，求方程0)(=x f 的根. （3）已知函数()()222f x ax a x =-++，a R ∈，求方程0)(=x f 的根.（4）解方程：22(1)40()ax a x a R -++=∈. （5）解方程：0)21(22=-+-+a a x a x .考点2.韦达定理例2．关于x 的一元二次方程：2240x x m --=有两个实数根1x 、2x ，则21211m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．44mB ．44m -C ．4D ．-4练习1．设方程2310x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则()212223x x x x --=________. 2．已知关于x 的等式20x x a ++=的两根为1x 、2x ，则|12x x -=______________. 3．已知α、β是方程22430x x +-=的两个根，则11αβ+=________4．已知方程2310x x --=的两根为1x ，2x ，则()()1233x x --=_______________.5．设一元二次方程2630x x --=的两个实根为1x 、2x ，则2212x x +=________.6．已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=有两个不等实根.（1）求实数m 的取值范围；（2）设方程的两个实根为12,x x ，且21212()()120x x x x +-+-=，求实数m 的值；（3）请写出一个整数m 的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）考点3.一元二次不等式及其解法 例3．解下列不等式： （1）2210x x -->； （2）2133x x -≥-： （3）2230x x --+≥； （4）2830x x -+->； （5）1021x x -≤+ （6）解关于x 的不等式：2212()x ax a a R ->∈.考点4.二次函数恒成立问题例4.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对任意实数恒成立，求实数a 的取值范围. 练习1.若不等式()()222240a x a x -+--<对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2-B ．[]22-,C ．()2,+∞D ．(]2,2-2．关于x 的不等式21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．(]4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭考点5.分式不等式及绝对值不等式.例5.解下列不等式.(1).0542≥-+x x (2). x x x 25)3)(1(-<-- (3).254≤-+x x (4). 1|23|<+x例6.已知集合}23|{2x x y x A --== , 集合}30,32|{2≤≤+-==x x x y y B , 求B A ⋂与)(B AC R ⋃.总练习题1．已知集合{}260M x x x =-<，{}1N =>，则MN =（ ）A ．()2,+∞B ．()6,+∞C ．()2,6D ．()0,62．已知集合{}2260A x x x =+-≤，301x B xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}21x x -≤<B ．{}21x x -≤≤C ．{}42x x -≤<D ．322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3．已知不等式240x ax ++≥的解集为,R 则a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--⋃+ D ．()(),44,-∞-+∞4．解不等式组2230115225x x x x x ⎧+->⎪+⎪≤⎨+⎪+<⎪⎩【详解】解：因为2230115225x x x x x ⎧+->⎪+⎪≤⎨+⎪+<⎪⎩，解2230x x +->得1x >或3x <-；解1152x x +≤+，即11052x x +-≤+，()3025x x -≤+，得53x -<≤； 解25x +<，即525x -<+<，得73x -<<； 综上可得原不等式的解集为()()5,31,3--5 已知}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A . (1). 若A B ⊆，求实数a 的取值集合. (2). 若B A ⊆，求实数a 的取值集合.6．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈． （1）若[]0,3AB =，求实数m 的值；（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围． 【详解】(1)解不等式2230x x --≤得{|13}x x -≤≤，即[1,3]A =-，解不等式22240(2)(2)0x mx m x m x m -+-≤⇔-+--≤，得22m x m -≤≤+，即[2,2]B m m =-+，因[]0,3A B =，则有2023m m -=⎧⎨+≥⎩，解得2m =，所以实数m 的值为2；(2)由(1)知(,2)(2,)RB m m =-∞-⋃++∞，而RA B ⊆，则有21m +<-或23m ->，解得3m <-或5m >， 所以实数m 的取值范围(,3)(5,)-∞-+∞.7．已知集合2{5<|60}A x x x =--，2<{|}B x m x m =-<. （1）若0m =，全集U A B =⋃，求U C B ；（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数m 的取值范围. 条件①：若A B A ⋃=；条件②：若A B =∅.如果选择条件①､条件②分别解答，则按第一个解答计分. 【详解】（1）因为2560<x x --，所以16x -<<，所以{}16A x x =-<<， 又{}20B x x =-<<，所以{}26U A B x x =⋃=-<<， 所以{}06UB x x =≤<；（2）若选①：因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， 又因为2m m -<恒成立，所以B ≠∅， 所以216m m -≥-⎧⎨≤⎩，所以16m ≤≤，即m 的取值范围是{}16m m ≤≤；若选②：因为2m m -<恒成立，所以B ≠∅， 又因为AB =∅，1m ≤-或26m -≥，所以1m ≤-或8m ≥，即m 的取值范围是{1m m ≤-或}8m ≥.8．已知集合2{|121},{|3100}A x a x a B x x x =+≤≤-=--≤. （1）当3a =时，求(C )R A B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.解：（1）当3a =时，2{|45},{|3100}{|25}A x x B x x x x x =≤≤=--≤=-≤≤{|4R A x x ∴=<或5}x > (){|24}R A B x x ∴=-≤<（2）A B B =，A B ∴⊆，①当A =∅时，121,2a a a +>-<即，此时满足A B ⊆； ②当A ≠∅时，要使A B ⊆成立，则需满足12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，23a ∴≤≤综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞ 9．设全集为R ，不等式307x x +≤-的解集为A ，不等式46x -<的解集为B . （1）求AB ；（2）求()C A B R .解：（1）由题意可知，()()303707x x x x +≤⇒+-≤-且70x -≠， 解得37x -≤<，则{}37A x x =-≤<，46x -<，即646x -<-<解得210x -<<，则{}210B x x =-<<，故{}310A B x x ⋃=-≤<；（2）根据题意，{}37A x x =-≤<，{}210B x x =-<<，则{}27A B x x ⋂=-<<， 故(){|2A B x x ⋂=≤-R 或7}x ≥.10．设集合11A xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}0B x x m =->，{}1C x x n =-< （1）若A B ⋂≠∅，求实数m 的范围； （2）若A C C =，求实数n 的范围.【详解】 （1）因为1110x x x--=>，解得01x <<， 所以集合{01}A x x =<<，集合{}B x x m =>，集合{11}C x n x n =-<<+， 因为A B ⋂≠∅，所以1m <. 故实数m 的范围为(,1)-∞ （2）若AC C =，则A C ⊆，所以1110n n +≥⎧⎨-≤⎩，解得01n ≤≤，即[0,1]n ∈。
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第2讲一元二次不等式及其解法【2013年高考会这样考】1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．【复习指导】1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2a Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅一个技巧一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集． 两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)解析 ∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2. 故原不等式的解集为(1,2)． 答案 D2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13D ．R解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0， ∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13. 答案 B4．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26解析∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28. 答案 C5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立； 当a ≠0时，须⎩⎨⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0. ∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1. 答案 [0,1]考向一 一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集． 【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)． 答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．[审题视点] 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a ＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考向三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2， 从而有⎩⎨⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理，得⎩⎨⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎨⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立， 只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1. 所求a 的取值范围是[－3,1]．规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【示例】►(本题满分14分)(2011·浙江)设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数．本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验，因为f ′(x 0)＝0，x 0不一定是极值点；对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多．[解答示范] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋(x －a )2x ＝(x －a )(2ln x ＋1－ax )．(2分) 因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以f ′(e)＝(e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a e ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(4分)(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立．(5分) ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2， 解得3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2eln (3e )(6分) 由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x ＋1－a x .(8分)令h (x )＝2ln x ＋1－ax ，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0， 且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e ≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2eln (3e )3e ＝2⎝⎛⎭⎪⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.(9分)又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．所以要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要⎩⎨⎧f (x 0)＝(x 0－a )2ln x 0≤4e 2，(1)f (3e )＝(3e －a )2ln (3e )≤4e 2，(2)成立．(11分) 由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0＞1，注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e.再由(3)以及函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e. 由(2)解得，3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2eln (3e ). 所以3e －2eln (3e )≤a ≤3e.(13分) 综上，a 的取值范围为3e －2eln (3e )≤a ≤3e.(14分)．本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．【试一试】 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．[尝试解答] (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1＞0恒成立．(2)若x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，∴g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减．∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a≥4.(3)若x＜0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3.设h(x)＝3x2－1x3，则h′(x)＝3(1－2x)x4，∴h(x)在[－1,0)上单调递增．∴h(x)min＝h(－1)＝4，从而a≤4. 综上所述，实数a的值为4.。