2019-2020学年湖南省湘潭市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2019-2020学年湖南省湘潭市数学高二第二学期期末教学质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．
1
x e dx =⎰
（ ）
A ．1
B ．1e +
C ．e
D ．1e -
2．若
2131ai
i i
+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
3．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则（ ） A ．0
a >⎧⎨
∆>⎩
B ．0
a >⎧⎨
∆<⎩
C ．0
a <⎧⎨
∆>⎩
D ．0
a <⎧⎨
∆<⎩
4．已知2F ，1F 是双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的上、下两个焦点，1F 的直线与双曲线的上下两支分
别交于点B ，A ，若2ABF V 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y =
B ．2
y x =±
C ．y =
D ．6
y x =±
5．直线340x y ++=的斜率为（ ） A ．13
-
B ．
13
C ．3-
D ．3
6．将函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），再将所得图象上所有的点向左平移
π
4
个单位长度，则所得图象对应的函数解析式为（ ） A ．sin(2)4y x π=+ B ．sin()24x y π
=+
C ．cos 2
x
y = D ．cos 2y x =
7．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K 2＝4.236
参照附表，可得正确的结论是（ ）
A ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
B ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”
C ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”
D ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” 9．已知定义域为
的奇函数
的导函数为()f x '，当
时，()()0f x f x x
'+
>，若
，则
的大小关系正确的是 A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
11．下列命题中真命题的个数是（ ） ①x R ∀∈，42x x >；
②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；
③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x =
B ．2
y x =-
C ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．sin y x =
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-v v
，且//a b v v ，则a b ⋅v v 的值为__________．
14．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为13
，乙每次投中的概率为1
2，每人分
别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.
15．点P 6的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是_________. 16．观察下列等式：
(11)21+=⨯
2(21)(22)213++=⨯⨯
3(31)(32)(33)2135+++=⨯⨯⨯
按此规律，第n 个等式可为__________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M N 、分别是1,CC BC 的中点
.
（1）求异面直线1AB 与BM 所成角的余弦值； （2）求二面角C AN M --的余弦值.
18．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03)-，
，(03)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA u u u r ⊥OB uuu r
？此时AB u u u r 的值是多少？
19．（6分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113
A D =.
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小. 20．（6分）已知03
x π
=是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0>ω）的一条对称轴，且()f x 的最小正周
期为π.
（1）求m 值和()f x 的单调递增区间；
（2）设角,,A B C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =， 3b =2
c
a -
的取值范围.
21．（6分）已知二项式2
n
x x ⎛ ⎝的展开式的二项式系数和为64
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中的常数项；
22．（8
分）设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0.)a R ω>∈）, 且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π
（1）求ω的值； （2）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，求a 的值． 参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
根据微积分基本原理计算得到答案. 【详解】
1
110
x x e dx e e ==-⎰.
故选：D . 【点睛】
本题考查了定积分，意在考查学生的计算能力. 2．A 【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21ai
i
++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.
详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i
2
a a ++-=
13i =--，
所以212
232
a
a +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，
解得4a =-，故选A.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．D 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可得出一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R 的等价条件. 【详解】
由于关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，
则二次函数2
y ax bx c =++的图象恒在x 轴的下方，所以其开口向下，且图象与x 轴无公共点，所以
0a <⎧⎨∆<⎩
，故选：D. 【点睛】
本题考查一元不等式在实数集上恒成立，要充分利用二次函数的开口方向和与x 轴的位置关系进行分析，考查推理能力，属于中等题. 4．D 【解析】
根据双曲线的定义，可得122BF BF a -=， 是等边三角形，即2BF AB = ∴122BF BF a -=， 即
112BF AB AF a -==
即又212AF AF a -=Q ，
2124AF AF a a ∴=+=， 1212122412AF F AF a AF a F AF ==∠=QV 中，
，， 0°2
2
2
121212||||2?120F F AF AF AF AF cos ∴=+-︒ 即
222214416224282
c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=（），
解得227c a b ==，则，
由此可得双曲线C
的渐近线方程为6
y x =±. 故选D ．
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a ，b 的关系是解决本题的关键． 5．A 【解析】 【分析】
将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率． 【详解】
将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为1
3
-，故选A ． 【点睛】
本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：
（1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为12
12
y y k x x -=-；
（3）直线y kx b =+的斜率为k ；
（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B
=-. 6．D 【解析】 【分析】
由正弦函数的周期变换以及平移变换即可得出正确答案. 【详解】
函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变）得到sin 2y x =，再将所得图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到sin 2sin 2cos 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的周期变换以及平移变换，属于中档题. 7．A 【解析】
试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即
解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 8．A 【解析】 【分析】
根据题意知观测值2K ，对照临界值得出结论. 【详解】
利用独立性检验的方法求得2 4.236 3.841K =>，
对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”． 故选A 项． 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题． 9．C 【解析】
分析：构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性． 详解：设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+，∵()'()0f x f x x +
>，即'()()'()
0xf x f x g x x x
+=>，∴当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∴()()g x xf x =是偶函数，∴(2)(2)g g -=，1
(ln )(ln 2)(ln 2)2
g g g =-=， ∵10ln 222<
<<，∴1
()(ln 2)(2)2
g g g <<，即a c b <<． 故选C ．
点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数()()g x xf x =，通过研究()g x 的单调性和奇偶性，由奇偶性可以把变量值转化到同一单调区间上，从而比较大小．
【解析】 【分析】 【详解】
()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即
()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.
【点睛】
解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-
(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.
11．B 【解析】
若1x =，42x x =则，故命题①假；若“p q ∧”是假命题，则,p q 至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“32
,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是
“32
000,10x R x x ∃∈-+>”，即命题③是真命题，应选答案B ．
12．D 【解析】
分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可. 详解：四个选项中的函数都是偶函数，
在[]0,1上,,A B C 三个函数在[]0,1上都递减，不符合题意， 在[]0,1上递增的只有D ，而故选D ．
点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．168 【解析】 【分析】
根据向量//a b r r ，设λa b =r r ，列出方程组，求得1
2
λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==r r ，再利用向量的数
量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，向量//a b r r ，设λa b =r r
，
又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-r r
， 所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，
即2423(21)2(32)
m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩
，解得17
,,622m n λ===，
所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==r r
，
所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=r r
. 故答案为：168. 【点睛】
本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．
16
； 【解析】 【分析】
将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得. 【详解】
根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立； 根据题意：乙恰好比甲多投进2次，
包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.
则乙投进3次，甲投进1次的概率为32
1
3112123318C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
乙投进2次，甲投进0次的概率为2
3
23
11212239
C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
故乙恰好比甲多投进2次的概率为111 1896
+=. 故答案为：16
. 【点睛】
本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题. 15
【解析】
【分析】
设三条弦长分别为x,2x,y,由题意得到关于x,y 的等量关系，然后三角换元即可确定弦长之和的最大值. 【详解】
设三条弦长分别为x,2x,y,则：2
2
2
(2)6x x y ++=,即：5x 2+y 2=6, 设6
cos ,6cos 5
x y θθ=
=,则这3条弦长之和为： 3x+y=
36sin 6cos 5
θθ+2105sin()θϕ=+,其中5
tan ϕ=
, 所以它的最大值为：
2105. 故答案为2105
5
． 【点睛】
本题主要考查长方体外接球模型的应用，三角换元求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16． (n+1)(n+2)…(n+n)=2n ×1×3×…×(2n -1) 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n 个等式的左边含有n 项相乘，由括号内数的特点归纳第n 个等式的左边应为： （n+1）（n+2）（n+3）…（n+n ），
每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，
由此可知第n 个等式的右边为2n •1•3•5…（2n-1）．
所以第n 个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n ）=2n •1•3•5…（2n-1）． 故答案为
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）2
6
；（26【解析】 【分析】
（1）以1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，计算直线对应向量，根据向量夹角公式得到答案.
（2）分别计算两个平面的法向量，利用法向量的夹角计算二面角余弦值.
【详解】
（1）如图，以1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则
1(0,0,0),(2,0,2),(2,0,0),(0,2,1)A B B M ，
∴1(2,0,2)AB =u u u r ,(2,2,1)BM =-u u u u v
12cos ,,40444162
AB BM ∴===-++++u u u v u u u u v ∴异面直线1AB 与BM 所成角的余弦值为26
.
（2）平面ANC 的一个法向量为(0,0,1)n =r ．
设平面AMN 的一个法向量为(,,),m x y z =u r
(0,2,1),(1,1,0)AM AN ==u u u u v u u u v Q ,
由0,0m AM m AN ⋅=⋅=u u u u v u u u
v v v 得, 200
y z x y +=⎧⎨+=⎩，不妨取1,x =则1,2y z =-=，(1,1,2)m ∴=-v , 6cos ,6m n m n m n
⋅∴<>===u r r u r r u r r , ∴二面角C AN M --6【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的应用，求异面直线夹角和二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18．（Ⅰ）曲线C 的方程为2
2
14y x +=．（Ⅱ）12k =±时OA u u u r ⊥OB uuu r ，46517AB =u u u u r ． 【解析】
【分析】
（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(03)(03)-，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b =-=，
故曲线C 的方程为2
214
y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
2
1{4
1.y x y kx +==+， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，
故1212222344
k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥u u u r u u u r ，即
． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，
于是222121222223324114444
k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以12k =±时，，故OA OB ⊥u u u r u u u r
． 当12k =±时，12417x x +=m ，121217x x =-． 2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =-+-=+-u u u u r ，
而22212112()()4x x x x x x -=+-
2322
4434134171717⨯⨯=+⨯=， 所以465AB =u u u u r 【详解】
请在此输入详解！
19．（1）(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=，
22312V =⨯⨯=
（2）arctan
10
EBF ∠= 【解析】
试题分析：⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA =
=
∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯= 22312V =⨯⨯=
⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ，
∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥
∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角
∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA P ，
又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322
EF AA ==
在Rt AFB ∆中BF =
∴3
tan 2EBF ∠=÷=
∴EBF ∠= 考点：线面角，棱柱的体积
点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题．
20．（1）m ，,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（2）⎛ ⎝ 【解析】
【分析】
（1）由三角函数的辅助角公式，得()()f x x ωϕ=
-，求得2ω=，又由03x π=为对称轴，
求得
6k πϕπ=-+，进而得到则1tan m m ϕ==⇒=递增区间；
（2）由（1）和()2f B =，求得3B π=，在利用正弦定理，化简得26c a A π⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，利用角A 的范围，即可求解答案．
【详解】
（1）()()sin cos f x m x x x ωωωϕ=-=
-，所以22T ππωω==⇒=. 因为03x π
=为对称轴，所以2=32k π
π
ϕπ⨯-+，即6
k π
ϕπ=-+，
则1tan
m ϕ==m ，所以()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭. 令22226263k x k k x k π
π
π
π
π
ππππ-≤-≤+⇒-≤≤+()k ∈Z ，
所以()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z . （2）()2sin 226f B B π⎛⎫=-
= ⎪⎝⎭，所以262B ππ-=，则3B π=， 由正弦定理得22sin sin sin b a c R B A C
====，R 为ABC V 外接圆半径，
所以π3π2sin sin sin 2326c a A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∵20,3
A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2c a ⎛-∈ ⎝． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的综合应用，以及正弦定理的应用，其中解答中根据题设条件求解函数的解析式，熟记三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
21．（1）3252
x -；（2）154. 【解析】
【分析】
（1）先求出6n =，再根据二项式系数性质得到最大项.
（2）根据展开式的通项得到答案.
【详解】
（1）依题意264n =，解得6n = 则6((
22n x
x -=，它的展开式共有7项，二项式系数最大的项是第4项， 所以该展开式中二项式系数最大的项为33
332
465()(=22x T C x =-
（2）由（1）6((
22n x
x -=，它的展开式的通项616()(2r r r r x T C -+=, 即3
662161(1)()2r r
r
r r T C x --+=-，令3602r -=，则4r =， 因此该展开式中的常数项为
154
. 【点睛】 本题考查了二项式的计算，属于常考题型.
22． (1) 12ω=
(2) a = 【解析】
试题分析：(1)f(x)＝2cos2ωx ＋12sin2ωx ＋2
＋a
＝sin 23x πω⎛⎫+
⎪⎝⎭＋2＋a. 依题意得2ω·6π＋3π＝2
π，解得ω＝12.
(2)由(1)知，f(x)＝sin 3x π⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭＋2
＋a. 又当x ∈5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，x ＋3π∈70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 故12-≤sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭≤1，
从而f(x)在5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上取得最小值12- a.
由题设知12-＋2＋a a ＝12. 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质．
点评：中档题，本题较为典型，即首先利用和差倍半的三角函数公式，将三角函数式“化一”，进一步研究函数的图像和性质．本题（2）给定了自变量的较小范围，应注意确定x ωϕ+的范围，进一步确定函数的最值．。