高三数学高考一轮复习第十一章典型习题

2011高考一轮数学复习第十一章典型习题
1．(2010年天津质检)甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人同住一间房的概率是( )
A.14
B.13
C.12
D.23
解析：选C.甲、乙随意入住两间空房，共有四种情况：甲住A 房，乙住B 房；甲住A 房，乙住A 房；甲住B 房，乙住B 房；甲住B 房，乙住A 房，四种情况等可能发生，所以甲、乙同住一房的概
率为12.
2．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率关系为( )
A ．P (A )>P (
B ) B ．P (A )<P (B )
C ．P (A )＝P (B )
D ．P (A )、P (B )大小不确定 解析：选C.横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．
3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )
A.16
B.14
C.112
D.19
解析：选A.试验是连续掷两次骰子，故共包含36个基本事件．事件“点P 在x ＋y ＝5下方”，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，
(3,1)6个基本事件，故P ＝636＝16.
4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.112
B.110
C.15
D.310
解析：选D.随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10种，其
中数字之和为3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，
∴数字之和为3或6的概率是P ＝310.
5.从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( )
A ．①
B ．②④
C ．③
D ．①③
解析：选C.③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件，所以选C.
6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )
A.16
B.536
C.112
D.12
解析：选C.由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有36对，
∴概率为336＝112.
7．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．
解析：设A 、B 、C 分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A 、B 、C 彼此互斥，且P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.
设D 表示军火库爆炸，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
所以军火库爆炸的概率为0.225.
答案：0.225
8．(2009年高考上海卷改编)若事件E 与F 相互独立，且P (E )
＝P (F )＝14，则P (E ∩F )的值等于________．
解析：因为事件E 与事件F 相互独立，故P (E ∩F )＝P (E )P (F )
＝14×14＝116.
答案：116
9．从1,2，…，10这十个数字中任意取出两个，假设两个数的和是偶数的概率为p ，两个数的积是偶数的概率为q ，给出下列说法：
①p ＋q ＝1；②p ＝q ；③|p －q |≤110；④p ≤12，其中正确的是________．
解析：从1,2，…，10这十个数字中任意取出两个，一共有45种不同的取法，两个数的和是偶数时，两个数都是偶数或都是奇数，
有20种取法，所以两个数的和是偶数的概率为p ＝2045＝49；而当两个
数的积是奇数时，两个数必须都是奇数，有10种，因此两个数的积
是偶数的概率为q ＝1－1045＝79，所以只有④p ≤12正确．
答案：④
10．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x ，y )表示“甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来．
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
解：(1)用有序实数对(x ，y )表示甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车，则甲下车的站号记为2,3,4共3种结果，乙下车的站号也是2,3,4共3种结果．甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种，分别为：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同时在第3号车站下车的事件为A ，则P (A )＝19.
(3)设甲、乙两人在不同的地铁站下车的事件为B ，则结果有：
(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，共6种结果，故P (B )＝69＝23.
11．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现
的点数为b .设复数z ＝a ＋b i.
(1)求事件“z －3i 为实数”的概率；
(2)求事件“复数z 在复平面内的对应点(a ，b )满足(a －2)2＋b 2≤9”的概率．
解：(1)z －3i 为实数，即a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，
∴b ＝3，
依题意a 可取1,2,3,4,5,6.
故出现b ＝3的概率为P 1＝636＝16，
即事件“z －3i 为实数”的概率为16.
(2)由条件可知，b 的值只能取1,2,3.
当b ＝1时，(a －2)2≤8，即a 可取1,2,3,4，
当b ＝2时，(a －2)2≤5，即a 可取1,2,3,4，
当b ＝3时，(a －2)2≤0，即a 可取2.
∴共有9种情况下可使事件发生，又a ，b 的取值情况共有36种所以事件“点(a ，b )满足(a －2)2＋b 2≤9”的概率为
P 2＝436＋436＋136＝14.
12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋1，设集合P ＝{1,2,3}，Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b .
(1)求函数y ＝f (x )有零点的概率；
(2)求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：(a ，b )共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4),15种情况．
(1)Δ＝b 2－4a ≥0.
有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种情况，
所以函数y ＝f (x )有零点的概率为615＝25.
(2)对称轴x ＝b 2a ，则b 2a ≤1，
有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)13种情况，
函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为1315.
1．(2010年天津质检)甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人同住一间房的概率是( )
A.14
B.13
C.12
D.23
解析：选C.甲、乙随意入住两间空房，共有四种情况：甲住A 房，乙住B 房；甲住A 房，乙住A 房；甲住B 房，乙住B 房；甲住B 房，乙住A 房，四种情况等可能发生，所以甲、乙同住一房的概
率为12.
2．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率关系为( )
A ．P (A )>P (
B ) B ．P (A )<P (B )
C ．P (A )＝P (B )
D ．P (A )、P (B )大小不确定 解析：选C.横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．
3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为( )
A.16
B.14
C.112
D.19
解析：选A.试验是连续掷两次骰子，故共包含36个基本事件．事件“点P 在x ＋y ＝5下方”，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，
(3,1)6个基本事件，故P ＝636＝16.
4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.112
B.110
C.15
D.310
解析：选D.随机从袋子中取2个小球的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10种，其中数字之和为3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，
∴数字之和为3或6的概率是P ＝310.
5.从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( )
A ．①
B ．②④
C ．③
D ．①③
解析：选C.③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件，所以选C.
6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )
A.16
B.536
C.112
D.12
解析：选C.由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有36对，
∴概率为336＝112.
7．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．
解析：设A 、B 、C 分别表示击中第一、二、三个军火库，易知事件A 、B 、C 彼此互斥，且P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.
设D 表示军火库爆炸，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
所以军火库爆炸的概率为0.225.
答案：0.225
8．(2009年高考上海卷改编)若事件E 与F 相互独立，且P (E )
＝P (F )＝14，则P (E ∩F )的值等于________．
解析：因为事件E 与事件F 相互独立，故P (E ∩F )＝P (E )P (F )＝14×14＝116.
答案：116
9．从1,2，…，10这十个数字中任意取出两个，假设两个数的
和是偶数的概率为p ，两个数的积是偶数的概率为q ，给出下列说法：
①p ＋q ＝1；②p ＝q ；③|p －q |≤110；④p ≤12，其中正确的是________．
解析：从1,2，…，10这十个数字中任意取出两个，一共有45种不同的取法，两个数的和是偶数时，两个数都是偶数或都是奇数，
有20种取法，所以两个数的和是偶数的概率为p ＝2045＝49；而当两个
数的积是奇数时，两个数必须都是奇数，有10种，因此两个数的积
是偶数的概率为q ＝1－1045＝79，所以只有④p ≤12正确．
答案：④
10．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x ，y )表示“甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来．
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
解：(1)用有序实数对(x ，y )表示甲在x 号车站下车，乙在y 号车站下车，则甲下车的站号记为2,3,4共3种结果，乙下车的站号也是2,3,4共3种结果．甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种，分别为：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同时在第3号车站下车的事件为A ，则P (A )＝19.
(3)设甲、乙两人在不同的地铁站下车的事件为B ，则结果有：
(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，共6种结果，故P (B )＝69＝23.
11．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现
的点数为b .设复数z ＝a ＋b i.
(1)求事件“z －3i 为实数”的概率；
(2)求事件“复数z 在复平面内的对应点(a ，b )满足(a －2)2＋b 2≤9”的概率．
解：(1)z －3i 为实数，即a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数， ∴b ＝3，
依题意a 可取1,2,3,4,5,6.
故出现b ＝3的概率为P 1＝636＝16，
即事件“z －3i 为实数”的概率为16.
(2)由条件可知，b 的值只能取1,2,3.
当b ＝1时，(a －2)2≤8，即a 可取1,2,3,4，
当b ＝2时，(a －2)2≤5，即a 可取1,2,3,4，
当b ＝3时，(a －2)2≤0，即a 可取2.
∴共有9种情况下可使事件发生，又a ，b 的取值情况共有36种所以事件“点(a ，b )满足(a －2)2＋b 2≤9”的概率为
P 2＝436＋436＋136＝14.
12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋1，设集合P ＝{1,2,3}，Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b .
(1)求函数y ＝f (x )有零点的概率；
(2)求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：(a ，b )共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4),15种情况．
(1)Δ＝b 2－4a ≥0.
有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种情况，
所以函数y ＝f (x )有零点的概率为615＝25.
(2)对称轴x ＝b 2a ，则b 2a ≤1，
有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)13种情况，
函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为1315.
1．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内任投一点．那么点落在△ABD 内的概率为( )
A.13
B.12
C.14
D.16
解析：选B.因为D 是BC 的中点，所以S △ABD ＝12S △ABC ，所以点
落在△ABD 内的概率为12.
2．如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角
为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘
内，那么他投中阴影部分的概率为( )
A.18
B.14
C.12
D.34
解析：选A.P ＝45360＝18.
3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：选A.P (A)＝38，P (B)＝28，P (C)＝26，P (D)＝13.
∵P (A)>P (C)＝P (D)>P (B)，
∴选择游戏盘A 中奖的机会最大．
4．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为
( )
A.116
B.18
C.14
D.12
解析：选C.正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求
概率为9－612＝14.
5．(2009年高考福建卷改编)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为( )
A.23
B.13
C ．1 D.12
解析：选A.圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1M 2的长度为2，B 点落在优弧M 1M 2上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23.
6．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于4的点构成的区域，N 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则落入N 中的概率为( )
A.π64
B.π32
C.π16
D.π4
解析：选A.根据题意可得点M (x ，y )满足|x |≤4且|y |≤4，其构成的区域是以原点为中心，边长为8的正方形，面积为S 1＝64，N 点所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，
面积为S 2＝π，故向M 中投一点，落入N 中的概率为P ＝S 2S 1
＝π64. 7．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该
台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分
钟的广告．
解析：60×(1－910)＝6(分钟)．
答案：6
8.两根相距9 m 的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3 m 的概率为________．
解析：灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ＝9 m ，记“灯与两端距离都大于3 m ”为事件A ，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A 发生，即μA ＝3 m ，
∴P (A )＝μA μΩ
＝39＝13. 答案：13
9．已知函数f (x )＝2ax 2－bx ＋1，若a 是
从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]
上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)上递
增的概率为________．
解析：令t ＝ax 2－bx ＋1，函数f (x )在[1，
＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断
方法，则t ＝ax 2－bx ＋1须在[1，＋∞)上递
增，
∴－－b 2a ≤1，即2a ≥b .
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤20≤b ≤22a ≥b ，画出图示得阴影部分面积．
∴概率为P ＝2×2－12×2×12×2
＝34. 答案：34
10．已知棱长为2的正方体的内切球O .若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？
解：球的直径就是正方体的棱长2.
∴球O 的体积V 球＝43π，
正方体的体积为V ＝23＝8.
由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O 内(事件A )的概率为
P (A )＝V －V 球V ＝8－43π8＝1－π6.
∴所求概率为1－π6.
11．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为
P (A )＝912＝34.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．
构成事件A 的区域为
{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，
所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×22
3×2
＝23. 12．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}．
(1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠∅的概率；
(2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝∅的概率．
解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共9组．
令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，
则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x .
因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )>0，
即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．
f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2－1.
要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b 2－1<0，即2a －b ＋2>0.
所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组．
所以A ∩B ≠∅的概率为79.
(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，
b)对应的区域为边长为2的正方形(如
图)，面积为4.
由(1)可知，要使A ∩B ＝∅，
只需f (x )min ＝－a ＋b 2－1≥0⇒2a －b
＋2≤0，所以满足A ∩B ＝∅的(a ，b )对应
的区域是图中的阴影部分，
所以S 阴影＝12×1×12＝14，
所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝144＝116.。