四川省绵阳市2014届高三数学第三次诊断性考试 文

四川省绵阳市2014届高三数学第三次诊断性考试 文
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无线；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3. 考试结束后，将答题卡收回。

已知集合{
}1
==x x M ，{}x
x
x N ==2
，则=⋃N M
A.
{}1 B.{}1,1- C.{}1,0 D.{}1,0,1-
复数25
-i 的共轭复数是
A.i +-2
B.i +2
C.i --2
D.i -2 3. 某设备零件的三视图如右图所示，则这个零件的表面积为
A.8
B.6
C.4
D.3
4. 已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是 A.2=a B.1=a C.0=a D.R a ∈
5. 执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为 A.5 B.
5
log 8
C.9
D.9
log 8
点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离
1
＜PA 的概率为
A.41
B.21
C.4π
D.π
函数4ln )2()44ln()2()(2
--+--=x x x x x f 的零点个数为 A.3 B.2 C.1 D.0
已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重 合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，
且△ABC 的面积S 满足2
2212a c b S -+=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g
的表达式为
A.
)
2
cos(
)(x x g π
=
B.
)
2
cos(
)(x x g π
-=
C.
)
21
2sin()(+=x x g D.
)
21
2sin()(-=x x g 已知椭圆)0(122
2＞＞n m n y m x =+的左顶点为A ，右焦点为F ，点B 在椭圆上.BC ⊥x
轴，点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，其它的面积S 满
足
)(52
22c a b S --=，则椭圆的离心率为 A.41 B.51
C.22
D.42
设R c b a ∈,,，且2=++c b a ，122
2
2
=++c b a ，则c 的最大值和最小值的差为
A.2
B.310
C.316
D.320
为了参加全市的中学生创新知识竞赛，绵阳一中举行选拔赛，共有2000名学生参加.为 了了解成绩情况，从中抽取了50名学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计请 你根据如下表所示未完成的频率分布表，估计该校成绩超过80分的人数为______.
12. 设y x ,满足约束条件⎩
⎨
⎧≤-≤-≤≤0131y x x 则y x z -=2的最大值为________.
已知幂函数)(x f y =的图像经过点)
22
,21(，则=+)5(lg )2(lg f f _________.
已知b a ,是两个单位向量，且
kb
a b ka -=+3，若b a ,的夹角为60°则实数=k ___.
对非负实数m “四舍五入”到个位的值记为
m
.如
48.0=，
1
64.0=，
1
495.1=，
........,若3)23
(2=+-x x ，则=x
________.
（本小题满分12分） 已知
n
S 是等比数列
{}n a 的前n 项和，693,,S S S 成等差数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ；
（Ⅱ）证明：
582,,a a a 成等差数列.
（本小题满分12分）
绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株棉花苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：
（Ⅰ）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比较，写出两个统计结论；
（Ⅱ）从甲、乙两块试验田的棉花苗株高在[23,29]中抽3株，求至少各有1株分别属于甲、乙两块试验田的概率.
（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点),(),,(2211y x B y x A 在单位平面上，∠xOA=α，
∠AOB=π4，且α∈(π6，π2
).
（Ⅰ）若cos(α+π3
)
147
-=，求1x 的值； （Ⅱ）过点A,B 分别做x 轴的垂线，垂足为C 、D ，记△AOC 的面积为S1，△BOD 的面积为
S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.
19.（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，且满足
AD=DC=CB=
a AB =2
1
在直角梯形ACEF 中，
︒=∠90,21
//
ECA AC EF ，已知二面角E-AC-B 是直二面角.
（Ⅰ）求证：AF BC ⊥； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.
（本小题满分13分）
已知函数,
221
ln )(2x ax x x f --=其中0,≠∈a R a .
（Ⅰ）若))1(,1(f 是)(x f 的一个极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数)(x f 的图像上任意一点处切线的斜率1-≥k 恒成立，求实数a 的最大值； （III ）试着讨论)(x f 的单调性.
（本小题满分14分）
已知圆E 的圆心在x 轴上，且与y 轴切于原点.过抛物线y2=2px(p ＞0)焦点F 作垂直于x
轴的直线l 分别交圆和抛物线于A 、B 两点.已知l 截圆所得的弦长为3,且FA 2=. （Ⅰ）求圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若P 在抛物线运动，M 、N 在y 轴上，且⊙E 的切线PM （其中B 为切点）且PN ⊙E 与有一个公共点，求△PMN 面积S 的最小值.
绵阳市高2011级第三次诊断性考试 数学（文科）参考答案及评分意见 一、选择题：每小题5分，共50分．
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．A 9．B 10．C
提示：第10题：由a+b+c=2，有a+b=2-c ．由a2+b2+c2=12知，(a+b)2-2ab+c2=12，代入可得(2-c)2-2ab+c2=12，整理得ab=c2-2c-4．于是a ，b 可以看成是关于x 的方程x2-(2-c)x+
c2-2c-4=0的两根，∴Δ=(2-c)2-4(c2-2c-4)≥0，解得-2≤c ≤10
3，于是最大值与最小值之差为163．
二、填空题：每小题5分，共25分．
11．880 12．3
13．12
14．1 15．1或2
三、解答题：共75分． 16．解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2 S9=S3+S6．
当q=1时，即得1111836a a a ≠+，不成立．…………………………………………3分
当1q ≠时，即得
9361112(1)(1)(1)
111a q a q a q q q q
---=+
---，
整理得：63210q q --=，即
323
2()10q q --=， 解得：1q =（舍去）
，或
q =．…………………………………………………7分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知36
12q q +=，
∴
43
25111(1)a a a q a q a q q +=+=+671122a q q a q =⋅=， ∵ 78122a a q =，
∴ 2582a a a +=，即a2，a8，a5成等差数列． ……………………………………12分
17．解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示．
根据茎叶图可得统计结论如下：
结论一：甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙试验
田棉花苗的平均珠高．
结论二：甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长得整
齐． ………………………………6分
（Ⅱ）甲试验田中棉花苗株高在[23，29]共有3株，分别记为A ，B ，C ， 乙试验田中棉花苗株高在[23，29]共有2株，分别记为a ，b ，
从甲，乙两块试验田中棉花苗株高在[23，29]中抽3株基本事件为：
ABC ，Aab ，Bab ，Cab ，ABa ，ACa ，BCa ，ABb ，ACb ，BCb ，共10个． ……8分 其中，甲，乙两块试验田中棉花苗至少各有1株的基本事件为：
Aab ，Bab ，Cab ，ABa ，ACa ，BCa ，ABb ，ACb ，BCb ，共9个， ……………10分
∴
9
10P =
．……………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）由三角函数的定义有
12cos cos()
3x x π
αα==+，， ……………………2分 ∵
cos()()3
62π
ππ
αα+
=∈，，
∴
sin()3
π
α+
=
， ………………………………………………………………4分
∴
1cos cos ()cos()cos sin()sin
333333x ππππππαααα⎡
⎤==+-=+++⎢⎥⎣⎦， ∴
1x =
． …………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵ 1sin y α=，则11111
cos sin sin 224S x y ααα===．
5()()
62326πππππ
αα∈+∈由，，得，，
∴
2221112cos()sin()sin(2)
223343S x y πππααα=-=-++=-+， ………………8分
12112()sin 2sin(2)
443
31sin 22cos2)82)6f S S π
αααααααπα∴=+=-+==--， 5()2()62666πππππαα∈-∈由，，可得，，
26
2π
π
α-
=
于是当
，即
max ()3
f π
αα=
=
，．……………………………………12分
19．（Ⅰ）证明：取AB 的中点G ，连结CG ． 由底面ABCD 是梯形，知DC//AG ．
又∵ DC =21
AB=AG=a ，
∴ 四边形ADCG 是平行四边形，得AD=CG=a ，
∴ CG=1
2AB ．
∴ AC ⊥BC ．
又∵ 二面角E-AC-B 是直二面角，即平面ACEF ⊥平面ABCD ，
∴ BC ⊥平面ACEF ．
∴ BC ⊥AF ．……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）解：连结DG 交AC 于H ，连结FH ． ∵ 平面ACEF ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ACEF ，DH//BC ， ∴ DH ⊥面ACEF ．
即BC 、DH 分别是四棱锥B-ACEF 、D-ACEF 的高．
在Rt △ACB
中，AC =，
EF=a ．
由EF 错误！未指定书签。

//21
AC//CH ，且∠ACE=90º，知四边形HCEF 是矩形，
∴ FH//EC ，于是FH ⊥AH ．
在Rt △FAH
中，
12CE FH a ==．
A
B
C
D
F
E G
H
∴
11())222ACEF
a S EF AC CE =+⋅=+⋅=四边形，
∴ D ACEF B ACEF
V V V --=+11332a a =+3
=．………12分
20．解：（Ⅰ）由已知有
1
()2f x ax x '=
--，
∵ (1，f(1))是f(x)的一个极值点，
∴(1)120f a '
=--=，
解得a=-1．……………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）由题意知x>0，且
1()2f x ax x '=
--≥-1恒成立，即a ≤
211x x -. 令g(x)=211x x -，于是
323
212
()x g x x x x --'=+=， ∴ 当x ≥2时，()g x '≥0，即g(x)是[2+)∞，
上的增函数， 当0<x<2时，()g x '
<0，即g(x)是(0，2)上的减函数，
∴ 当x=2时，g(x)取最小值g(2)=1
4-
，
∴ a ≤14-
，即a 的最大值为1
4-
．…………………………………………………7分
（Ⅲ）∵ 1
()2
f x ax x '=-+=221ax x x --+，
设
2
()21(00)x ax x x a ϕ=--+>≠，， 当a>0时，
()x ϕ对称轴为1
0x a =-<，过点(0，1)开口向下，有一个正根x =，
则f(x)在
(0上是增函数，在)+∞上是减函数．
当a<0时，()x ϕ对称轴为1
0x a =->，过点(0，1)开口向上，
i ）若a ≤-1，()f x '≥0，则f(x)在(0)+∞，
上是增函数．
ii ）若10a -<<，当x ∈
(0时，()f x '≥0；当x ∈时，
()f x '≤0；当x ∈)
+∞时，()f x '≥0；
∴ f(x)在
(0上是增函数，在上是减函数，在
)+∞上是增函数．
∴ 综上所述，①当a ≤-1时， f(x)在(0)+∞，
上是增函数；
② 当10a -<<时，f(x)在
(0上是增函数，在上是减
函数，在)+∞上是增函数；
③当a>0时，f(x)在
(0上是增函数，在)+∞上是减函数．
……………………………………………………13分
21．解：（Ⅰ）设圆的标准方程为(x-r)2+y2=r2(r>0)，
由已知有F(2p ，0)，即|EF|=r-2p ．
∵ l
∴，整理得
23
44p rp -=
，①
又∵ FA 2=
∴
2p =p=1．
代入①，解得r=1．
∴ 抛物线的方程为y2=2x ，圆的方程为(x-1)2+y2=1．………………………………6分 （Ⅱ）设P(x0，y0)，M(0，b)，N(0，c)，不妨设b>c ，
PM 的方程为：
00
y b
y b x x --=
，整理得：000()0y b x x y x b --+=．
又直线PM 与圆(x-1)2+y2=1相切，
∴
1
=，
化简得
22200002()x x b y b x b =-+． 按题意，x0>2，上式化简得，
2
000(2)20x b y b x -+-=．…………………………8分 同理，由直线PC 与圆(x-1)2+y2=1相切，可得2
000(2)20x c y c x -+-=．………9分
∴ 由根与系数的关系知，
0022
y b c x -+=
-，
002
x bc x -=
-，
从而222
000
2
0448()(2)x y x b c x +--=-，……………………………………………………11分
∵ P(x0，y0)是抛物线上的点，
∴ y02=2x0，
∴
2
2
02
04()(2)x b c x -=
-，即
0022
x b c x -=
-．
故S △PMN=
00000014
()(2)4222
x b c x x x x x -⋅=⋅=+-+--
≥
=8，
当且仅当2
0(2)4x -=时，上式取等号，此时x0=4，
y0=±
∴ S △PMN 的最小值为8．………………………………………………………………14分。