中考数学考前热点冲刺指导第18讲直角三角形新人教版_19

2019年6月5日
海阔天空专属文档（翔第子91898）讲┃ 直角三角形
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[解析] (1)∵ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用 x 表示出 AE＋BE 的长；
图 18－10
(2)根据两点之间线段最短可知连接 AB 与 CD 的交点就是污水处理
厂 E 的位置．
过点 B 作 BF⊥AC 于 F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出
(2)根据两点之间线段最短可知连接 AB 与 CD 的交点就是污水
处理厂 E 的位置．
过点 B 作 BF⊥AC 于 F，则有 BF＝CD＝8，BD＝CF＝1.∴AF
＝AC＋CF＝6.
在 Rt△ABF 中，BA＝ AF2＋BF2＝ 62＋82＝10，∴此时最
少需要管道 10 km.
2019年6月5日
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∴∠BAP＝12∠BAC，∠ABP＝12∠ABC，即∠BAP＋∠ABP＝45°， ∴∠APB＝180°－45°＝135°.
2019年6月5日
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考点2 勾股定理及其逆定理
勾股定理
直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于 斜边 c 的平方．即：a_2＋__b_2_＝__c_2
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(3)根据以上推理，可作出图 18－11：
图 18－11
设 ED＝x.AC＝3，DB＝2，CD＝12.当 A、E、B 共线时求出 AB 的值即为原式最小值．
当 A 、 E 、 B 共 线 时 x2＋4 ＋ （12－x）2＋9 ＝ （3＋2）2＋122＝13，即其最小值为 13.
[方法技巧]构造直角三角形，利用勾股定理，把代数问题转化 为几何问题，体现了数形结合思想．
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7．园丁住宅小区有一块草坪如图 18－4 所示．已知 AB＝3 米，BC＝4 米，CD＝12 米，DA＝13 米，且 AB⊥BC，这块草 坪的面积是( B )
A．24 米 2 B．36 米 2 C．48 米 2 D．72 米 2
2019年6月5日
图 18－4
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8．如图 18－5 是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是 12，
上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸
管在罐内部分 a 的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大
小忽略不计)范围是( A )
A．12≤a≤13
B．12≤a≤15
C．5≤a≤12
D．5≤a≤13
图 18－5
2019年6月5日
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9．如图 18－6，以△ABC 的三边分别向外作正方形，它们 的面积分别是 S1，S2，S3，如果 S1＋S2＝S3，那么△ABC 的形 状是__直__角____三角形．
图 18－6
2019年6月5日
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10．如图 18－7 是由边长为 1 m 的正方形地砖铺设的地面示 意图，小明 沿图中所示 的折线从 A→B→C 所 走的路程为 __2___5 ___m.
勾股 定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：
定理
_a_2_＋_b_2_＝__c，2 那么这个三角形是直角三角形
的逆 定理
用途
(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证 明两条线段垂直；(3)解决生活实际问题
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整 数，称为勾股数
2019年6月5日
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第18讲 直角三角形
2019年6月5日
海阔天空专属文档（翔子989）
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┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 直角三角形的性质
定义 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角_互__余_____
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 性质 那么它所对的直角边等于斜边的__一__半____
AB 的长；
(3)根据 AE＋BE＝ （8－x）2＋25＋ x2＋1＝AB＝10，可猜想所
求代数式的值为
2019年6月5日
13.Байду номын сангаас
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解：(1)在 Rt△ACE 和 Rt△BDE 中，根据勾股定理可得 AE＝
（8－x）2＋25，BE＝ x2＋1，
∴AE＋BE＝ （8－x）2＋25＋ x2＋1；
2019年6月5日
图 18－2
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4．如图 18－3，已知：在直角△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 且交 AC 于 D.
(1)若∠BAC＝30°，求证：AD＝BD； (2)若 AP 平分∠BAC 且交 BD 于 P，求∠APB 的度数．
2019年6月5日
图 18－7
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11．如图 18－8 是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意 图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心 A 和 B 的 距离．
2019年6月5日
图 18－8
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2019年6月5日
图 18－3
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证明：(1)∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°. 又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝30°， ∴∠BAC＝∠ABD，∴BD＝AD. (2)∵∠C＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∴12(∠BAC＋∠ABC)＝45°. ∵BD 平分∠ABC，AP 平分∠BAC，
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5．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边
长，不能构成直角三角形的是(C )
A．3、4、5
B．6、8、10
C. 3、2、 5
D．5、12、13
6．在△ABC 中，∠C＝90°，若 AC＝3，BC＝5，则
AB＝( D )
A. 8
B．4
C. 20
D．都不对
2019年6月5日
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[解析] 如图，连接 AC，则由勾股定理得 AC＝5 米，因为 AC2 ＋DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°.这块草坪的面积＝SRt△ABC＋SRt△ACD
＝21AB·BC＋21AC·DC＝21(3×4＋5×12)＝36(米 2)．故选 B.
2019年6月5日
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┃典型分析┃
例 1 如图 18－9，在矩形 ABCD 中，AD＝4，DC＝3，将 △ADC 按逆时针方向绕点 A 旋转到△AEF(点 A、B、E 在同一直 线上)，连接 CF，求 CF 的长．
2019年6月5日
图 18－9
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解：∵△ADC 按逆时针方向绕点 A 旋转到△AEF， ∴△ADC≌△AEF，∴∠EAF＝∠DAC，AF＝AC， ∴∠EAF＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC，∴∠FAC＝∠BAD. 又∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠FAC＝90°. 又∵在 Rt△ADC 中，AC＝ AD2＋DC2＝ 42＋32＝5， ∴在 Rt△FAC 中，CF＝ AC2＋AF2＝ 52＋52＝5 2.
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 __一__半____
2019年6月5日
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1．如图 18－1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高线，图中与∠A 互余的角有( C )
A．0 个
图 18－1
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2019年6月5日
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如图 18－12 所示，一圆柱高 8 cm，底面半径 2 cm， 一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程(π 取 3)是 (B )
A．12 cm C．14 cm
2019年6月5日
图 18－12 B．10 cm D．无法确定
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[解析] 如图所示：
可以把 A 和 B 展开到一个平面内， 即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的宽 BC＝42π＝2π＝6，矩形的长 AC＝8， 在直角三角形 ABC 中，AC＝8，BC＝6， 根据勾股定理得：AB＝ 62＋82＝10.
2019年6月5日
2019年6月5日
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例 2 如图 18－10，A，B 两个工厂位于一段直线形河的 异侧，A 厂距离河边 AC＝5 km，B 厂距离河边 BD＝1 km，经 测量 CD＝8 km，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理 厂 E.
(1)设 ED＝x，请用 x 的代数式表示 AE＋BE 的长； (2)为了使两厂的排污管道最短，污水处理厂 E 的位置应怎 样来确定？此时需要管道多长？ (3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想， 请你猜想 x2＋4＋ （12－x）2＋9的最小值为 13.
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解：∵AC＝150－60＝90(mm)，BC＝180－60＝120(mm)， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 1202＋902＝150(mm)． 答：两圆孔中心 A 和 B 的距离是 150 mm.
2019年6月5日
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┃考向互动探究与方法归纳┃
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2019年6月5日
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2．在直角△ABC 中，∠C＝30°，斜边 AC 的长为 5 cm，
则 AB 的长为( C )
A．4 cm
B．3 cm
C．2.5 cm
D．2 cm
2019年6月5日
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3．如图 18－2，在△ABC 中，AB＝AC＝8，AD 是底 边上的中线，E 为 AC 中点，则 DE＝____4______.