西安铁一中分校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

西安铁一中分校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
一、压轴题
1．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，21012BC AC CD ===，．
（1）求⊙O 的半径；
（2）求AD 的长；
（3）若E 为弦CD 上的一个动点，过点E 作EF//AC ，EG//AD ． EF 与AD 相交于点F ，EG 与AC 相交于点G ．试问四边形AGEF 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为直线CD 上的一个动点，连接BC ；
①如图1，是否存在点P ，使∠PBC ＝∠BCO ？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P 在x 轴上方，连接PA 交抛物线于点N ，∠PAB ＝∠BCO ，点M 在第三象限抛物线上，连接MN ，当∠ANM ＝45°时，请直接写出点M 的坐标．
3．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点F ，直线132
y x =+与抛物线交于()()2266A B -，
，，两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点E 是线段OC 上的
一个动点(不与端点重合)，过点E 作//EG BC 交BF 于点C ，连接DE DG ，．
（1）求抛物线的解析式及点F 的坐标；
（2）当DEG ∆的面积最大时，求线段EF 的长；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点()4H n ，和点P ，使EHP ∆为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．
4．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2115:L y x bx a a
=+-的顶点D 在第四象限，且经过(1,)A m n +，(1,)(0,0)B m n m n ->>两点直线AB 与y 轴交于点C ，与抛物线的1L 对称轴交于点E ，8AC BC ⋅=，点E 的纵坐标为1．
（1）求抛物线1L 所对应的函数表达式；
（2）若将直线AB 绕着点E 旋转，直线AB 与抛物线1L 有一个交点Q 在第三象限，另一个交点记为P ，抛物线2L 与抛物线1L 关于点P 成中心对称，抛物线2L 的顶点记为1D ． ①若点Q 的横坐标为-1，抛物线1L 与抛物线2L 所对应的两个函数y 的值都随着x 的增大而增大，求相应的x 的取值范围；
②若直线PQ 与抛物线2L 的另一个交点记为Q ，连接1PD ，11Q D ，试间：在旋转的过程中，1PD Q ∠的度数会不会发生变化？请说明理由．
5．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．
（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；
（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；
（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-
++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求m 的值和D 点坐标；
（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；
（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．
7．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ．
（1）求证：AB =AC ；
（2）①证明：GE =EC ；
②若BC =8，OG =1，求EF 的长．
8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 A (-1，0) ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴与点(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，点D 为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）已知经过点A 的直线y ＝kx +b (k >0)与抛物线在第一象限交于点E ，连接AD ，DE ，BE ，当2ADE ABE S S ∆∆=时，求点E 的坐标．
（3）如图2，在（2）中直线AE 与y 轴交于点F ，将点F 向下平移233
+到Q ，连接QB ．将△OQB 绕点O 逆时针旋转一定的角度α（0°<α<360°）得到OQ B ''，直线B Q ''与x 轴交于点G ．问在旋转过程中是否存在某个位置使得OQ G '是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．
9．定义：对于二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠，我们称函数
221()1111()222ax bx c x m y ax bx c x m ⎧++-≥⎪=⎨---+<⎪⎩为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如：2
y x 的m 分函数为221()11()2
x x m y x x m ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩．设二次函数244y x mx m =-+的m 分函数的图象
为G ．
（1）直接写出图象G 对应的函数关系式．
（2）当1m =时，求图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标．
（3）当图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，求m 的取值范围．
（4）当0m >，图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时，直接写出m 的取值范围．
10．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价1y （元/千克）关
于时间t 的函数关系式分别为11602
y t =-+（040t <≤，且t 为整数）； ()()21030,3033040,20
t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量m （千克）关于时间t 的函数关系如图2的点列所示．
（1）求m 关于t 的函数关系式；
（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求a 的最大值（精确到0.01元）．
11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，AF ＝BE ＝2，连结DE ，DF ，动点M 在EF 上从点E 向终点F 匀速运动，同时，动点N 在射线CD 上从点C 沿CD 方向匀速运动，当点M 运动到EF 的中点时，点N 恰好与点D 重合，点M 到达终点时，M ，N 同时停止运动．
（1）求EF 的长．
（2）设CN ＝x ，EM ＝y ，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围． （3）连结MN ，当MN 与△DEF 的一边平行时，求CN 的长．
12．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ．
(1)求证：AH=BE ；
(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；
(3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．
13．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(1
0)，，点C 的坐标为(0)4，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．
（1）求b 的值和点D 的坐标；
（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60180MPN ︒︒≤∠<，则称P 为⊙T 的环绕点．
(1)当⊙O 半径为1时，
①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;
②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取
值范围；
（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以3,(0)3m m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭
为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．
15．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．
（1）求证：AC 是O 的切线；
（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长；
（3）若CF 的长为
34． ①求O 的半径长；
②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比． 16．已知，在平面直角坐标系中，二次函数212y x bx c =
++的图象与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()1,0．
（1）如图1，分别求b c 、的值；
（2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，连接DO 并延长交抛物线于点E ，3OD OE =，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P 为第一象限的抛物线上一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，连接EP 、EH ，点Q 为第二象限的抛物线上一点，且点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称，连接PQ ，设2AHE EPH α∠+∠=，tan PH PQ α=⋅，点M 为线段PQ 上一点，点N 为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH NH 、，满足60MHN ∠=︒，MH NH =，过点N 作PE 的平行线，交y 轴于点F ，求直线FN 的解析式．
17．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝ 度；
（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；
②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
0y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．
（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得
12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12
EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111A O C △，再将111A O C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60︒的凸四边形叫做“准筝形”．
（1）如图1，在四边形ABCD 中，270A C ∠+∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =，求证：四边形ABCD 是“准筝形”；
（2）如图2，在“准筝形”ABCD 中，AB AD =，60BAC BCD ∠=∠=︒，4BC =，3CD =，求AC 的长；
（3）如图3，在ABC 中，45A ∠=︒，120ABC ∠=︒，33AB =-，设D 是ABC 所在平面内一点，当四边形ABCD 是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD 的面积．
20．如图，⊙O 经过菱形ABCD 的三个顶点A 、C 、D ，且与AB 相切于点A ．
（1）求证：BC 为⊙O 的切线；
（2）求∠B 的度数．
（3）若⊙O 半径是4，点E 是弧AC 上的一个动点，过点E 作EM ⊥OA 于点M ，作EN ⊥OC 于点N ，连接MN ，问：在点E 从点A 运动到点C 的过程中，MN 的大小是否发生变化？如果不变化，请求出MN 的值；如果变化，请说明理由．
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一、压轴题
1．（1）⊙O的半径为10，（2）AD长为19.2，（3）存在，四边形AGEF的面积的最大值为34.56．
【解析】
【分析】
（1）如图1
利用垂径定理构造直角三角形解决问题．
（2）如图2
在（1）基础上利用圆周角和圆心角的关系证明△OCH∽△DCK，求出Dk，再据垂径定理求得AD．
（3）如图3
以平行四边形AGEF的面积为函数，以AG边上的高为自变量，列出一个二次函数，利用二
次函数的最值求解． 【详解】 （1）如图1
连接OC ，因为OB AC ⊥,根据垂径定理知
HC=
11
12622AC =⨯= 在RT △BCH 中
∵210BC = ∴由勾股定理知：2222BH (210)62BC HC =-=-=
∴OH=OB-BH=OB-2 又∵OB=OC
所以在RT △OCH 中，由勾股定理可得方程：
222
2)6OC OC -+=（ 解得OC=10．
（2）如图2，在⊙O 中：
∵AC=CD ，
∴OC ⊥AD （垂径定理） ∴AD=2KD ，∠HCK=∠DCK 又∵∠DKC=∠OHC=90° ∴△OCH ∽△DCK ∴
KD DC
HO OC
=
∴DC 1248
KD=
8105
HO OC =⨯==9.6 ∴AD=2KD=19.2． （3）如图3
本题与⊙O 无关，但要运用前面数据．作FM ⊥AC 于M ，作DN ⊥AC 于N ，显然四边形AGEF 为平行四边形，设平行四边形AGEF 的面积为y 、EM=x 、DN=a （a 为常量）， 先运用(2)的△OCH ∽△DCK ，得CK=7.2． 易得△DFE ∽△DAC ， ∴DN-EM EF
DN AC =（相似三角形对应高之比等于相似比） ∴
DN EM
AG=EF=
AC DN
- ∴AG=
12()
a
a x - ∴平行四边形AGEF 的面积y=
212()12
12a x x x x a a -=-+(0＜x ＜a ） 由二次函数知识得，当x=12a 122
2
a
-=
-⨯时，y 有最大值． 把x=
2a 代入到中得，
1
2
EF AC = ∴此时EF 、EG 、FG 恰是△ADC 的中位线 ∴四边形AGEF 的面积y 最大=111
S 34.56222
ADC AD CK ∆=⨯⨯=． 【点睛】
本题主要考查与圆有关线段的计算、与二次函数有关的几何最值问题．（1）的关键是利用垂径定理构造直角三角形，最后用勾股定理进行计算．（2）的关键是运用与圆有的角的性质证明相似，再进行计算．（3）难点是分清图形的变与不变，选择恰当的变量并列出函数关系式．
2．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）①存在，点P 的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M
（﹣4
3
，﹣
35
9
）
【解析】
【分析】
（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR ＝NR，列出等式即可求解．
【详解】
解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO＝1
3
，则cos∠BCO＝
3
10
；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠P′AB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠PBC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则
BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH
10
22 3110 +=
解得：CH＝5
3
，则OH＝3﹣CH＝
4
3
，故点H（0，﹣
4
3
），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝4
3
x﹣
4
3
②，
联立①②并解得：
5
8 x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝1
3
，
故设直线AP 的表达式为：y＝1
3
x s
+，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝1
3
x+1，
联立①③并解得：
4
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，故点N（
4
3
，
13
9
）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣4
3
）2+（
13
9
）2④，
联立③④并解得：
2
9
10
9
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
故点M （﹣43，﹣359
）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏． 3．（1）抛物线的解析式为211
42
y x x =
-，点F 的坐标为()20，
；（2）4EF =；（3）点P 的坐标为()()()466121456---，，，
，，或()22.-， 【解析】 【分析】
（1）因为抛物线经过原点，A,B 点，利用待定系数法求得抛物物线的解析式，再令y=0，求得与x 轴的交点F 点的坐标。

（2）过点G 作GK x ⊥轴于点K ，先求出直线1
32
y x =
+与坐标轴的两个交点，利用三角函数求出OM 与OE 的比值，再利用配方法求得面积的最值．
（3）利用两点间的距离公式求得240EH =，()2
2
22114242PH x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭
，()2
2
221
124
2PE x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再利用勾股定理与分类讨论求出P 点的坐标．
【详解】 解：()
1抛物线2
y ax bx c =++经过原点
0c ∴=
2y ax bx ∴=+
()()2,2,6,6A B -两点在抛物线上 422
3666
a b a b -=⎧∴⎨+=⎩ 解得1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故抛物线的解析式为211
42
y x x =- 令0y =，则
211
042
x x -= 解得10x =（舍去），22x =
故点F 的坐标为()2,0
()2过点G 作GK x ⊥轴于点K ，
对于1
32
y x =
+ 当0y =时，6x =-； 当0x =时，3y =
()()6,0,0,3C D ∴-
1tan tan 2
GEK DCO ∴∠=∠=
设直线EG 与y 轴交于点M ，直线EC 的解析式为()1
032
y x m m =+<< 则,2OM m OE m ==
3DM m ∴=-，易求直线BF 的解析式为3
32
y x =
- 令
13
322
x m x +=-，解得3x m =+ 故点C 的横坐标为3m +
3233EK m m m =++=+
()()()()()2
113333331162222
ABC S DM EK m m m m m ∴=
•=-+=--+=--+ 又03m <<
∴当1m =时，DEG ∆的面积最大，此时2OE =
4EF ∴=
()3点P 的坐标为()()()()4,6,6,12,14,562,2----或
【提示】 把()4,H n 代入211
42
y x x =
-，得2n = ()4,2H ∴
2222640EH ∴=+=
设点P 的坐标为211,
42x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
则()2
2
2
2114242PH x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，()2
2221124
2PE x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
当90PEH ︒∠=时，222EH PE PH +=
即()()22
2
2221111402424242x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得124,6x x =-=-，
故点P 的坐标为()()4,66,12--或 当90PHK ︒∠=时， 222PH EH PE +=
即()()22
2
222111142402424
2x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得14x =(不合题意，舍去)， 214x =-故点P 的坐标为()14,56- 当90HPE ︒∠=时．过点H 作//HQ x 轴．交抛物线于点Q ，连接QE 解得()2,2Q -，此时,QE QH ⊥故点Q 与点P 重合，此时()2,2.P - 综上可知．点P 的坐标为()()()(),,4,66,1214,562,2.----或 【点晴】
本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，抛物线与x x 轴的交点，二次函数与一次函数的交点，勾股定理，三角形的面积，两点间的距离公式，运用了分类讨论思想． 4．（1）2125
333
y x x =--；（2）①110x ≤≤；②不会发生变化，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据点A ，B 坐标求出对称轴为1x =，得到2
b a
=-
，代入抛物线解析式得到216(1)y x a a =
--，写出顶点61,D a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，根据其位置，得出0a >，根据A ，B 坐标表示
出AC ，BC 长度，结合AC ·BC=8，求得m 的值，代入点A ，B 得其坐标，将A 坐标代入抛
物线解析式得a 的值，即可得到抛物线的解析式； （2）①将1x =-代入2125333y x x =--，求得21,3Q ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，结合点E 求得PQ 解析式，
联立2125
333
y x x =
--，解得点P 的坐标，根据中心对称的性质，得到点1D 的横坐标为10，可得x 的取值范围；
②过,P Q 分别作直线1x =的垂线，垂足分别为,F G ，设出点P ,Q 坐标，求出PQ 的解析式，联立2125
333
y x x =
--，得到1212,x x x x +⋅，由
tan 1tan DPF QDG ∠=∠，得到DPF QDG ∠=∠，结合90DPF PDF ︒∠+∠=，得到90PDQ ︒∠=，可证得结果．
【详解】
解：（1）∵抛物线212
y x bx a a
=
+-过(1,),(1,)(0)A m n B m n n +->两点， ∴由抛物线对称性知：抛物线对称轴为直线1x =，
1
12b a
∴-
=⨯
2b a
∴=- 2212516(1)y x x x a a a a a
∴=
--=-- 61,D a ⎛
⎫∴- ⎪⎝
⎭
又∵顶点D 在第四象限，
60a ∴-
<，解得：1
0,0a a >> 0,0m n >>，
∴抛物线的开口向上，其图象如图所示，
1,|1|,8AC m BC m AC BC =+=-⋅=，
(1)(1)8m m ∴+-=±，解得：3m =±
0m >， 3m ∴=，
由题意可知，点E 在线段AB 上，而点E 的纵坐标为1，
(4,1),(2,1)A B ∴-，
把(4,1)A 代入216(1)y x a a =
--得，2161(41)a a
=--解得：113a =
∴抛物线1L 所对应的函数表达式为2125333
y x x =-- （2）①把1x =-代入2125333y x x =
--得，2
3
y =- 21,3Q ⎛
⎫∴-- ⎪⎝
⎭
(1,1)E ，
∴直线PQ 的解析式为51
66
y x =
+ 由25166125
333y x y x x ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
可得，21255133366x x x --=+，
解得：1211
1,
2
x x =-=
∴点P 的横坐标为
112
由中心对称的性质可得，点1D 的横坐标为10，即抛物线2L 的对称轴为直线10x =， 结合图象：
可得，x 的范围为110x ≤≤；
②在旋转的过程中，1PD Q ∠的度数不会发生变化，理由如下： 连接,PD QD ，由中心对称的性质可得，11PD Q PDQ ∠=∠． 过,P Q 分别作直线1x =的垂线，垂足分别为,F G ，如图所示，
设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的解析式为y kx b '=+，则
∵直线PQ 过(1,1)E ，
1k b '∴=+，可得，1b k '=-，
∴直线PQ 的解析式为(1)y kx k =+- 由2(1)125333y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=--⎪⎩得，2125(1)333x x kx k --=+- 整理得，2
(32)(38)0x k x k -++-= 121232,38x x k x x k ∴+=+⋅=-
2111
1125(2)1333tan 13
x x x DF DPF PF x -----∠===-，2222213tan 1251(2)333
x QDG x x x -∠==-----， ()()()121212111tan (38)(32)11tan 999
x x x x x x DPF k k QDG ---⋅++-∠--++-∴====∠ tan tan DPF QDG ∴∠=∠
DPF QDG ∴∠=∠
又90DPF PDF ︒∠+∠=
90QDG PDF ︒∴∠+∠=
90PDQ ︒∴∠=
1190PD Q ︒∴∠=，即在旋转的过程中，PDQ ∠的度数不会发生变化．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何图形的综合应用，熟知其设计的知识点及相关关系，是解题的关键．
5．（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．
【解析】
【分析】
（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2a x==12a
--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；
（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；
（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，
∴-3=4a 4a a+k=a+k -+
∴k=-3-a ；
抛物线L 的对称轴为直线-2a x=-=12a
，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)； （2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中，
∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ，
∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，
∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；
将其表示为顶点式：2
y=2(x-1)-5，
∴顶点坐标为(1，-5)；
（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，
∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，
∴1＜-a-3≤2，
∴-5≤a ＜-4；
（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，
即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；
②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，
综上所述：-1≤t ≤2．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
6．（1）21y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，
52)；（3）P （52，278 ）或P(1，92)； （4）0＜t≤
261200． 【解析】
【分析】
(1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．
(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数12y x m =-
+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．
(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围．
【详解】
解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C
把A,C 代入抛物线212
y x bx c =-++， 得：142b+c=02c=4
⎧⨯⎪⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1c=4
⎧⎨⎩ ∴21
y=x +x+42﹣．
（2）令y=0即
21x +x+4=02﹣， 解得1x =2﹣
，2x =4 ∴B （4,0）
把B （4,0）代入12
y x m =-+
得1042
m =-⨯+
m=2 122
y x =-+， ∴21y=x +x+42122y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，52
) ∴,m=2，D(﹣1，52
)． （3）设P （a ，
21
a +a+42﹣），则F （a ，1a 22-+）， ∵DN ⊥PH ，
∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标
∴N(a ，
52) FN=52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=21a +a+42﹣－52=213a +a+22
﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点，
∴①当FN=2PN 时，
11a 22+=2（213a +a+22
﹣）， 解得：a=
52或a=﹣1（舍去）， ∴P （52，278
）． ②当2FN=PN 时，
2（11a 22+）=（213a +a+22
﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去），
∴P(1,92
)， 综上P 点坐标为P （52，278 ）或P(1,92
)， (4)由（2）问得D(﹣1，
52)，又A (2,0)-，
设AD ：y=kx+b ，
5k+b=22k 0b ⎧⎪⎨⎪+=⎩
﹣﹣ ， ∴5k=2b=5
⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=
52
x+5， 又GM ⊥AD ， ∴可设GM ： y=
25﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，
∴QQ '∥AD ，
可设QQ '：y=52x+q ，又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
，代入QQ '， 得：52×45⎛⎫- ⎪⎝⎭
+q=0， q=2，
∴QQ '：y=52
x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值， ∴25+221y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩
﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪⎨⎪⎩
或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,92)又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 设H 为N,Q 中点， 则H （
110，94）， 又∵H 在直线GM 上，
∴把H 代入GM y=2
5
﹣x+p ，
得：921
=+p 4510
﹣，
P=229 100
，
∴y=2 5
﹣x+229 100
，
令y=0得：0=2 5
﹣x+229 100
，
∴x=229 40
，
即QM=229
40
+
4
5
=
261
40
，
∵M的速度为5，
∴t=261
40
÷5=
261
200
，
∴0＜t≤261 200
．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．
7．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC，即可得到结论成立；
（2）①先证明BE是直径，则先证明∠ACD=∠EBC，由∠ABC=∠ACB，则
∠BCD=∠ABG=∠ACE，则得到∠EGC=∠ECG，即可得到GE=EC；
②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE 中，由勾股定理得222(2)8(1)r r =++，得到半径，然后得到EC 的长度；作OM ⊥CE 于点M ，则EM=3，即可求出EF 的长度．
【详解】
解：（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，
∴∠ABO=∠BAO ，∠ACO=∠CAO ，
∵AF 是切线，
∴∠FAO=90°=∠AFC ，
∴OA ∥FC ，
∴∠CAO=∠ACE=∠ABO ，
∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO ，
∴∠AOB=∠AOC ，
∴AB=AC ；
（2）①∵AF ∥BC ，∠AFC=90°，
∴∠BCE=90°，
∴BE 是直径，
∵CD ⊥AB ，
∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC ，
∵∠DAC=∠BEC ，
∴∠ACD=∠EBC ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD ，
∴∠ABO=∠BCD=∠ACE ，
∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE ，
∴∠EGC=∠ECG ，
∴EG=EC ；
②作OM ⊥CE 于点M ，如图：
则四边形AOMF 是矩形，
∴AO=FM ，
∵OG=1，
设GE=EC=r+1，
在Rt △BCE 中，由勾股定理得
222BE BC CE =+，
∴222(2)8(1)r r =++，
解得：=5r （负值已舍去），
∴AO=FM=5，EC=6，
∵OM ⊥EC ，OM 是半径，EC 是弦， ∴116322
EM EC ==⨯=， ∴532EF FM EM =-=-=．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．
8．（1）223y x x =--；（2）点E 的坐标为（
113，289）；（3）存在；点Q '的坐标
为：（2，32-）或（32，2）或（，32）或（32-，）． 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法代入计算，结合对称轴，即可求出解析式；
（2）取AD 中点M ，连接BM ，过点A 作AE ∥BM ，交抛物线于点E ；然后求出直线AE 的解析式，结合抛物线的解析式，即可求出点E 的坐标；
（3）由题意，先求出点F 的坐标，然后得到点Q 的坐标，得到OQ 和OB 的长度，然后结合等腰三角形的性质进行分类讨论，可分为四种情况进行分析，分别求出点Q '的坐标即可．
【详解】
解：（1）根据题意，设二次函数的解析式为2y ax bx c =++， ∵对称轴为12b x a
=-
=，则2b a =-， 把点（-1，0），点（0，-3）代入，有 03a b c c -+=⎧⎨=-⎩
， 又∵2b a =-，
∴1a =，2b =-，3b =-，
∴抛物线的解析式为：223y x x =--；
（2）由（1）223y x x =--可知，
顶点D 的坐标为（1，4-），点B 为（3，0），
∵点A 为（1-，0），
∴AD 的中点M 的坐标为（0，-2）；
如图，连接AD ，DE ，BE ，取AD 中点M ，连接BM ，过点A 作AE ∥BM ，交抛物线于点E ；
此时点D 到直线AE 的距离等于点B 到直线AE 距离的2倍，
即2ADE ABE S S ∆∆=，
设直线BM 为y kx h =+，
把点B 、点M 代入，有302k h h +=⎧⎨
=-⎩， ∴直线BM 为223
y x =-， ∴直线AE 的斜率为
23
， ∵点A 为（1-，0），
∴直线AE 为2233y x =+， ∴2223323y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得：10x y =-⎧⎨=⎩（舍去）或113289x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
； ∴点E 的坐标为（113，289
）； （3）由（2）可知，直线AE 为2233y x =
+，
∴点F 的坐标为（0，23）， ∵将点F 向下平移233
+个单位长度得到Q ， ∴点Q 的坐标为（0，3-），
∴3OQ =，
∵点B 为（3，0），则OB=3，
在Rt △OBQ 中，3tan 33
OB OQB OQ ∠=
==， ∴60OQB ∠=︒，
由旋转的性质，得60Q OQB '∠=∠=︒，3OQ OQ '==， ①当3OG OQ '==时，OQ G '∆是等边三角形，如图：
∴点G 3，0），
∴点Q '3 ∴点Q '332-）； ②当3OQ Q G ''==OQ G '∆是等腰三角形，如图：
∵60OQ B ''∠=︒， ∴30Q OG '∠=︒， ∵3OQ '=， ∴点Q '的坐标为（
32，32
）； ③当3OG OQ '==时，OQ G '∆是等边三角形，如图：
此时点G 的坐标为（3，0）， ∴点Q '的坐标为（3
，32
）； ④当3Q G OQ ''==
OQ G '∆是等腰三角形，如图：
此时30Q OG '∠=︒， ∴点Q '的坐标为（32
-
，3）；
综合上述，点Q '332-）或（3233
，32）或（32-，
3
）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，也考查了解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握图形的运动问题，正确的确定点Q '的位置是关键；注意运用数形结合的思想，分类讨论的思想进行解题．
9．（1）22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪
=⎨-+-+<⎪⎩（2）图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和
最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭（3）当13m <或12m =或1m 时，图象G 在
x m ≥的部分与x 轴只有一个交点（4）
5133363m +<<
，133
43
m <<． 【解析】 【分析】
（1）根据分函数的定义直角写成关系式即可；
（2）将m=1代入（1）所得的分函数可得2243(1)121(1)2
x x x y x x x ⎧-+≥⎪
=⎨-+-<⎪⎩，然后分11
x -≤<和14x ≤≤两种情况分别求出最高点和最低点的坐标，最后比较最大值和最小值即可解答；
（3）由于图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，则可令对应二元一次方程的根
的判别式等于0，即可确定m 的取值；同时发现无论m 取何实数、该函数的图象与x 轴总有交点，再令x=m 代入原函数解析式，求出m 的值，据此求出m 的取值范围； （4）先令2441x mx m m -+-=或-m①，利用根的判别式小于零确定求出m 的取值范围，然后再令x=m 代入2441x mx m m -+-=或-m②，然后再令判别式小于零求出m 的
取值范围，令x=m 代入2
12212
x mx m m -
+-+=或-m③，令判别式小于零求出m 的范围，然后取①②③两两的共同部分即为m 的取值范围． 【详解】
（1）图象G 对应的函数关系式为22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪
=⎨-+-+<⎪⎩
（2）当1m =时，图象G 对应的函数关系式为2243(1)121(1)2
x x x y x x x ⎧-+≥⎪
=⎨-+-<⎪⎩．
当11x -≤<时，将2
1212y x x =-
+-配方，得21(2)12
y x =--+． 所以函数值y 随自变量x 的增大而增大，此时函数有最小值，无最大值． 所以当1x =-时，函数值y 取得最小值，最小值为7
2
y =-． 所以最低点的坐标为71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 当14x ≤≤时，将243y x x =
-+配方，得2(2)1y x =--．
所以当2x =时，函数值y 取得最小值，最小值为1y =- 所以当4x =时，函数值y 取得最大值，最大值为3y = 所以最低点的坐标为(2,1)-，最高点的坐标为(4,3)
所以，图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭．
（3）当x m ≥时，令0y =，则24410x mx m -+-=
2(4)4(41)m m ∆=-- 24(21)m =-
所以无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有交点． 所以当1
2m =
时，图象G 在12
x ≥的部分与x 轴只有一个交点． 当x m =时，2
2
2
441341y m m m m m =-+-=-+-． 令0y =，则23410m m -+-=． 解得11
3
m =
，21m =．
所以当1
3
m <或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．
综上所述，当1
3m <或12
m =或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．
（4）当2441x mx m m -+-=即24310x mx m -+-=， △=()()2
2443116124m m m m --=-+＞0，
方∵212416452<0-⨯⨯=-， ∴m 不存在；
当2441x mx m m -+-=-即24510x mx m -+-=， △=()()2
2445116204m m m m --=-+＜0，解得
1
4
＜m ＜1；① 将x=m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+3m-1＞0，因△=()()2
34133<0-⨯--=-则m 不存在；
将x=-m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+5m-1＞0，
解得5<6
m --
或>m ；
② 将x=m 代入212212x mx m m -
+-+=得 221023<m m -+
，解得33
m <
或33
m +<
③ 将x=m 代入212212x mx m m -+-+=-得 21=023m m -+，因△=23
145<02
-⨯=-故m 不存在；
在①②③
两两同时满足的为
5363m ++<＜
，1343
m -<<，即为图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时的m 的取值范围． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了新定义函数的定义、二次函数最值和二次函数图像，正确运用二次函数图像的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．
10．(1)m=()()21200304603040t t t t +≤≤⎧⎪⎨+<≤⎪⎩
,
(2) t=40时w 最大=13200， (3)a 的最大值是85
=2
a ． 【解析】 【分析】
(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点
（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,
设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上 代入解析式即可，
(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，总价=销售单价×销售量m 即可列出,
w 1=22
60720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩与w 2=2
22036003801200
t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩两种总销售w=w 1+w 2，把w 函数配方讨论当030t ≤≤，第一段w 最大与3040t <≤，在第二段，w 最大经比较即可 (3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60) 后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，Q≥3600,构造抛物线Q 在Q=3600直线上方有解即可，在-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴
=2904-24b a a -=，只要对称轴介于30与40之间即可． 【详解】
(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上, 则111
12030180b k b =⎧⎨
+=⎩①
②,
解得11
2
120k b =⎧⎨
=⎩, m=2t+120,
设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上,
则22224022030180k b k b +=⎧⎨
+=⎩③
④, 解得22
4
60k b =⎧⎨
=⎩, m=4t+60,
m=()()21200304603040t t t t ⎧+≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩
,。