高中数学4.2.3直线与圆的方程的应用

河北武中·宏达教育集团教师课时教案
一、复习提问
圆的标准方程是什么？一般方程是什么？点到直线的距离公式是什么？
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，本节通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用。

二、新课
例4、某圆拱形桥一孔圆拱的示意图（如图），这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）。

分析：建立如图所示的直角坐标系，只需求出P2的纵坐标，就可得出支柱A2P2的高度。

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问题与情境及教师活动
解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y 轴上，
设圆心的坐标是（0，b ），圆的半径为r ，那么圆的方程为：
x 2＋（y －b ）2＝r 2
因为点P （0,4），B （10,0）在圆上，所以，有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+22222210)4(0r b r b ，解得：⎩⎨⎧=-=225
.145.10r b 所以，圆的方程为：
2225.14)5.10(=++y x
把P 2的横坐标x ＝－2代入圆的方程，得 2225.14)5.10()2(=++-y ， 由题可知y ＞0， 解得：y ＝3.86 答：支柱A 2P 2的高度约为3.86米。

例5、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。

分析：如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。

本题关键是求出圆心'O 的坐标。

过'O 作AC 的
垂线，垂足为M ，M 是AC 的中点，垂
足M 的横坐标与'O 的横坐标一致。

同法可求出'O 的纵坐标。

证明：以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、BD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a ，0），B （0，b ），C （c ，0），D （0，d ），
过四边形外接圆的圆心O’分别作AC 、BD 、AD 的垂线，垂足为M 、N 、E ，则M 、N 、E 分别为AC 、BD 、AD 的中点，由中点坐标公式，有：
2'c a x x M O +==2
'd b y y N O +==河北武中·宏达教育集团教师课时教案
点评：由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计
算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．。